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浅析如何解一元一次不等式组的实际问题

不等式与方程、函数一样都是反映客观事物变化规律及其关系的模型，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后继学习的基础。现实世界既包含大量的相等关系，又存在许多不等关系。不等式组就是探索不等关系的基本工具。列不等式解决实际问题是初中数学中的难点，同时也是中考的热点。解这类题的关键是在实际问题中找出不等关系，列出不等式组。
　 对于“不等式组”，新课程标准的具体要求是：“能够根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式和一元一次不等式组， 解决简单的实际问题， 并体会不等式组也是描述实际问题的一个有效的数学模型。”
　　虽然同学们都能够记住解题步骤，但是在解这类应用题时由于经验不足，如抓不到关键词、概念混淆、思维定式等原因的存在，使学生们在解题过程中遇到困难，而不能得到正确的解法。
　　1. 思维定式造成设未知数出错并带来列式困难
例1 ：用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问有多少吨货物？
分析：此处若直接设有x吨货物，则很难列式子。可以通过求汽车的辆数间接求出有多少吨货物。根据最后一辆汽车不满也不空列出不等式。
解：设有x辆汽车，则有（4x＋20）吨货物。
根据题意可得：
0＜4x＋20－8(x－1)＜8
解这个不等式组，得 5＜x＜7。
因X只能取整数，所以x＝6，则4x＋20＝44.
因此，共有44吨货物。
评析：在列不等式解应用题中，学生设未知数时，往往受方程应用题的迁移，沿用求什么设什么的做法，常给列式带来困难，甚至出错。
　　2． 生活经验的不足及问题信息量大是造成初中生解应用题难的两大障碍
　　例2 ：地砖按每块25元出售，地砖每边长35厘米，用这种砖铺满长5.6米、宽4米的房间，需花费多少钱购买地砖？
评析：要正确地解应用题，必须读懂题目中语言文字表达的问题条件和问题要求. 本题中，学生必须清楚“地砖”、“出售”、“购买”、“铺”等词语的含义，否则不能读懂题意。
“地砖问题”中的知识包括长方形、正方形的概念，以及米与厘米之间的进率换算。像这类与生活综合知识联系较紧的应用题还有很多，信息量大，经验不足导致学生读不懂题目，不知从何下手，是学生最伤脑筋的。
总之，学生的生活经验、课外知识、社会知识的储备量，已成为度量学生解答应用题思维厚度的一把标尺。
　　3． 列不等式组时忽视关键词
例3： 为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3：2，单价和为160元。
（1）篮球和排球的单价分别是多少元？
（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种方案？
解：(1)设篮球的单价为x元，则排球的单价为2/3 x元，根据题意，得
x＋2/3 x＝160。解得x＝96。
所以2/3 x＝64。
所以篮球和排球的单价分别是96元，64元。
设购买篮球的个数为n，则购买排球的个数为（36－n）由题意，得
36－n＜11, 96n ＋64(36－n)≤3200.
解这个不等式组得：25＜ n≤28.
而n是整数，所以其取值为26，27，28，对应36－n的值为10，9，8。
所以共有三种购买方案：
① 购买篮球26个，排球10个。
② 购买篮球27个，排球9个。
③购买篮球28个，排球8个。
　　评析：解这类应用题的难点在于理清题意，寻找题目中的关键词语. 例３中的两个关键词“不超过”、“ 不少于”是列不等式（组）的依据. 另外还要注意所设未知数受实际情况的制约，此例中篮球的个数n应是正整数。
不等式应用题的取材广泛，又紧密结合实际生活，解这类题首先要理清题意，寻找关键词，比如“不少于”、“不大于”、“大于”、“小于”、“比……要节省”等，从而找到不等关系。
列出不等式组，通过解不等式确定不等式的解，最后要检验所求解是不是与实际问题相符合。
4．要能根据题意找出隐含的不等关系
某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件。已知生产一件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克；生产一件B种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克。
（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组
（2）有那几种符合题意的生产方案？请你帮助设计。
分析：此题隐含两个不等关系：
（1）所用甲种原料不能超过360千克；
(2) 所用乙种原料不能超过290千克。因此，可构建关于x的不等式组求解。
解：根据题意，得
9x＋4(50－x)≤360，3x＋10(50－x)≤290
不等式组得30≤x≤32，因为x只能取整数，所以x＝30,31,32。
因此，生产方案有三种：
① 生产A种产品30件，B种产品20件；
② 生产A种产品31件，B种产品19件；
③ 生产A种产品32件，B种产品18件。
评析：
（1）建立不等式组的条件是当感知要解决的问题同时满足几个约束条件，而这几个约束条件都是不等式时，就自然要引入不等式组。
（2）研究不等式组一定要紧密联系每一个不等式，这里要明确，组成不等式组的每一个不等式的地位是相同的，缺一不可。
　　二、学好解一元一次不等式组及应用题的策略
　　1、理解有关的概念
　　① 不等式：用“＜”或“＞”号表示大小关系的式子，叫做不等式。
　　② 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式，叫做一元一次不等式. 分母中不能含有未知数。
　　③ 不等式的解：在含有未知数的不等式中，把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式若有解，一般它的解有无数个。
　　④ 不等式的解集：如果一个不等式有解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集。不等式的解集包括所有能使不等式成立的未知数的值。
　　2、领悟不等式的三个基本性质
　　① 不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
　　② 不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
　　③ 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
　　不等式的三个基本性质是进行不等式变形的根本依据，其中前两个性质类似于等式的性质，而在运用性质③时，要注意必须改变不等号的方向，这是不等式特有的性质。
　　3、牢固掌握不等式组的解法
解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程相同：
① 去分母；
② 去括号；
③ 移项；
④ 合并同类项；
⑤ 系数化成１.
各步需注意事项：
① 去分母：不要漏乘不含分母的项，是否改变不等号的方向；
② 去括号：括号前是负号时，括号内各项均要变号；
③ 移项：移项要变号；
④ 合并同类项：系数相加，字母及字母指数不变；
⑤ 系数化成１：是否改变不等号的方向。
4、牢固掌握列不等式（组）解应用题的步骤，抓住不等关系关键词，挖掘隐含的不等关系。
列不等式组解应用题的一般步骤：
①审题，设未知数；
②找不等关系；
③列不等式组；
④解这个不等式组；
⑤根据实际情况，写出答案。
　　在能构建不等式的题目中往往有表示不等关系的词语，如“大于、小于、不大于、不小于、超过、不超过”等．我们一定要利用好这些关键信息，列出不等式组以解决实际问题。
　　有些题目中无明显表示不等关系的关键词，而是深藏于题意中，这就要求老师引导学生根据问题的实际意义，深入挖掘蕴含其中的不等关系。
　　5. 重视不等式组应用题的教学
　　在平时的教学过程中，教师既要注重知识的传授和题目的解答，也要重视学生的实践性活动的开展和教学，这样才会避免数学和实际生活脱节，同时教学中要不断地增加新的背景和内容，跟上时代，弥补生活经验的不足，激发学生学习的热情．对于不等式组应用题文字较多学生获得信息困难的问题，教师平常在教学中在应用题上要多停留，有耐心。
在实际问题中，有许多用方程很难解决的问题，而用不等式去处理则可轻易解决. 应用题是初中数学的重点，列不等式解应用题是初中数学的难点，根据题意正确地列出不等式组，解应用题就成功了一半。
一元一次不等式组解法十分重要，它与一元一次方程的解法有许多相似之处，但又有其自身特点，同学们要认清两者解法的联系与区别。正确应对学生在解题过程中遇到的困难，提高学习的积极性，增加学习数学的兴趣，才有可能应用一元一次不等式组去解决生活中的实际问题。

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