垂直弦的直径.doc

课时提升作业(二十三)
弦垂直于的直径
(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·潍坊中考)如图,☉O的直径AB=12,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP∶AP=1∶5,则CD的长为(　　)

A.4　　　　　　　 B.8
C.2 D.4
【解析】选D.连接OC,如图,设OC的长为r,

∵AB=12,BP∶AP=1∶5,
∴AP=10,∴OP=4.
由垂径定理可得△OPC是直角三角形,并且CD=2CP.
在Rt△OCP中,
由勾股定理CP===2,
∴CD=2CP=4.
2.(2013·德阳中考)如图,☉O的直径CD过弦EF的中点G,∠DCF=20°,则∠EOD等于(　　)

A.10°　　　　　　　　 B.20°
C.40° D.80°
【解析】选C.连接OF,∵直径CD过弦EF的中点G,

∴=,∠EOD=∠FOD,

∵∠FOD=2∠DCF=40°,∴∠EOD=40°.
3.(2013·泸州中考)已知☉O的直径CD=10cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为(　　)
A.2cm B.4cm
C.2cm或4cm D.2cm或4cm
【解析】选C.①如图1所示,分别连接AC和AO,
∵AB⊥CD,∴AM=AB=4 cm,
在Rt△AOM中,OM===3(cm),
CM=OC+OM=5+3=8(cm),在Rt△AMC中,
AC===4(cm),
②如图2所示,
由①可知OM=3cm, CM=OC-OM=5-3=2(cm),
在Rt△AMC中,AC===2(cm).
由①②得,AC的长为2cm或4cm.

【易错提醒】利用垂径定理和勾股定理求弦长时,要注意弦在圆上的位置,要多画图尝试,不要漏掉一种情况.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·宁夏中考)如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为　　　　cm.

【解析】过圆心O作OD⊥AB于D,连接OA.根据题意,得OD=OA=1cm,

在Rt△ADO中,由勾股定理,得AD=cm,根据垂径定理,得AB=2cm.
答案:2
5.☉O的直径为10,弦AB的长为8,P是弦AB上的一个动点,则OP长的取值范围为　　　　　　.
【解析】如图,作OM⊥AB于M,连接OB,则BM=AB=×8=4.

在Rt△OMB中,OM===3.当P与M重合时,OP为最短;当P与A(或B)重合时,OP为最长.所以OP的取值范围是3≤OP≤5.
答案:3≤OP≤5
6.(2013·吉林中考)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB于点C,连接OA,OB.点P是半径OB上任意一点,连接AP.若OA=5cm,OC=3cm,则AP的长度可能是　　　　　cm
(写出一个符合条件的数值即可).

【解题指南】1.确定一个圆中的有关线段长的范围时,求出该线段长的最小值和最大值即得范围.
2.借助垂径定理及勾股定理,把动态问题转化为静态问题,能使问题简化.
【解析】当点P与点O重合时,AP最短,长为5cm,当点P与点B重合时,AP最长,为弦AB的长,通过垂径定理可得C为AB的中点,AC===4(cm),所以AB=8cm,故5≤AP≤8.
答案:6(答案不唯一,5≤AP≤8均可)
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,AB是☉O的直径,作半径OA的垂直平分线,交☉O于C,D两点,垂足为H,连接BC,BD.

(1)求证:BC=BD.
(2)已知CD=6,求☉O的半径长.
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,且AB⊥CD,
∴CH=DH,BC=BD.
(2)连接OC,
∵CD平分OA,
设☉O的半径为r,
则OH=r,
∵CD=6,
∴CH=CD=3.
∵∠CHO=90°,∴OH2+CH2=CO2,
∴(r)2+32=r2,∴r=2.
故☉O的半径长是2.
【方法技巧】圆中经常用到作辅助线的方法
1.连接圆心和弦的端点作出半径.
2.过圆心作弦的垂线.
通过辅助线将垂径定理和勾股定理有机结合,化圆中问题为三角形问题.
8.(8分)如图,AB是☉O的直径,BC是弦,AC⊥BC,OD⊥BC于E,交☉O于D.

(1)请写出三个不同类型的正确结论.
(2)若BC=8,ED=2,求☉O的半径.
【解析】(1)不同类型的正确结论有
①BE=CE;②=;③∠BED=90°;
④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD;⑥OE2+BE2=OB2;
⑦S△ABC=BC·OE.(答案不唯一)
(2)∵OD⊥BC,∴BE=CE=BC=4.
设☉O的半径为R,则OE=OD-DE=R-2,
在Rt△OEB中,由勾股定理得OE2+BE2=OB2,
即(R-2)2+42=R2,
解得R=5,∴☉O的半径为5.
【培优训练】
9.(10分)如图,某条河上有一座圆弧形拱桥ACB,桥下面水面宽度AB为7.2 m,桥的最高处点C离水面的高度是2.4 m.现在有一艘宽3 m,船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过这里,问:这艘船能否通过这座拱桥?说明理由.

【解析】如图,MEFN为货船的顶部,货船沿中心OC前进最有利,连接OA,ON,设CD交MN于H.

∵AB=7.2,CD=2.4,EF=3,且D为AB,EF的中点,
∴OD⊥AB,OC⊥MN.
设OA=R,则OD=OC-CD=R-2.4,
AD=AB=3.6,
在Rt△OAD中,有OA2=AD2+OD2,
即R2=3.62+(R-2.4)2,解得R=3.9,
在Rt△ONH中,OH===3.6,
∴FN=DH=OH-OD=3.6-(3.9-2.4)=2.1(m),
∵2.1 m>2 m,∴货船可以顺利通过这座桥.