量词及其否定(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3 量词与量词的否定,1,思考：,下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？,(1),x,3；,(2)2,x,+1是整数；,(3)对所有的,x,R，,x,3；,(4)对任意一个,x,Z，,2,x,+1是整数。,语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；,语句(3)(4)可以判断真假，是命题。,全称量词、全称命题定义：,短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。,含有全称量词的命题，叫做全称命题。,常见的全称量词还有,“一切”“每一个”,“任给”“所有的”等,。,2,全称命题举例：,全称命题符号记法：,命题：对任意的,n,Z,，2,n,+1是奇数；,所有的正方形都是矩形。,通常，将含有变量x的语句用,p,(,x,),q,(,x,),r,(,x,),表示，变量,x,的取值范围用M表示，那么，,全称命题“对M中任意一个,x,，有,p,(,x,)成立”可用符号简记为：,读作“对任意,x,属于M，有,p,(,x,)成立”。,3,解：,（1）假命题；,例1 判断下列全称命题的真假：,（1）,所有的素数都是奇数；,（2）,（3）对每一个无理数,x,，,x,2,也是无理数。,小结：,需要对集合M中每个元素,x,，证明p(,x,)成立,只需在集合M中找到一个元素,x,0,，使得p(,x,0,)不成立即可,（举反例）,（2）真命题；,（3）假命题。,4,练习：,1,判断下列全称命题的真假：,（1）每个指数函数都是单调函数；,（2）任何实数都有算术平方根,；,（3）,5,思考：,下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？,(1)2,x,+1=3；,(2),x,能被2和3整除；,(3)存在一个,x,0,R，使2,x,+1=3；,(4)至少有一个,x,0,Z，,x,能被2和3整除。,语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；,语句(3)(4)可以判断真假，是命题。,存在量词、特称命题定义：,短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，,并用符号“”表示。,含有存在量词的命题，叫做特称命题。,常见的存在量词还有,“有些”“有一个”,“对某个”“有的”等,。,6,存在性命题举例：,存在性命题符号记法：,命题：有的平行四边形是菱形；,有一个素数不是奇数。,通常，将含有变量x的语句用p(,x,),q(,x,),r(,x,),表示，变量,x,的取值范围用M表示，那么，,存在性命题“存在M中的一个,x,0,，使p(,x,0,)成立”可用符号简记为：,读作“存在一个,x,0,属于M，使p(,x,0,)成立”。,7,解：,（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题。,例2 判断下列存在性命题的真假：,（,1）有一个实数,x,0,，使,x,0,2,+2,x,0,+3=0；,（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；,（3）有些整数只有两个正因数。,小 结：,需要证明集合M中，使p(,x,)成立的元素,x,不存在。,只需在集合M中找到一个元素,x,0,，使得p(,x,0,)成立即可,（举例证明）,8,练 习：,2,判断下列特称命题的真假：,（1）,（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；,（3）,（4）存在这样的实数它的平方等于它本身。,（5）任一个实数乘以,-1,都等于它的相反数；,（6）存在实数,x,，,x,3,x,2；,9,同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：,命题,全称命题,存在性命题,所有的,x,M，p(,x,)成立,对一切,x,M，p(,x,)成立,对每一个,x,M，p(,x,)成立,任选一个,x,M，p(,x,)成立,凡,x,M，都有p(,x,)成立,存在,x,0,M，使p(,x,)成立,至少有一个,x,0,M，使p(,x,)成立,对有些,x,0,M，使p(,x,)成立,对某个,x,0,M，使p(,x,)成立,有一个,x,0,M，使p(,x,)成立,表述方法,10,思考：,指出下列命题的形式，写出下列命题的否定,.,想一想,这些命题和它们的否定在形式上有什么不同？,（1）,所有的矩形都是平行四边形；,（2）,每一个素数都是奇数；,（3）,x,R，,x,2,-2,x,+1,0；,11,（1）p：,x,R，,x,2,+2,x,+20；,（2）p：有的三角形是等边三角形；,（3）p：有些函数没有反函数；,（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相,垂直且平分；,（5）p：不是每一个人都会开车；,（6）p：在实数范围内，有些一元二次方程无解；,探究：,写出命题的否定,12,一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论:,全称命题p:,全称命题的否定是存在性命题.,13,一般地，对于含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论:,存在性命题,它的否定,存在性命题的否定是全称命题,.,14,关键量词的否定,词语,是,一定是,都是,大于,小于,且,词语的否定,不是,一定不是,不都是,小于或等于,大于或等于,或,词语,必有一个,至少有n个,至多有一个,所有x成立,所有x不成立,词语的否定,一个也没有,至多有n-1个,至少有两个,存在一个x不成立,存在有一个成立,15,例3,写出下列全称命题的否定：,（1）p：所有人都晨练；,（2）p：,x,R，,x,2,x,+10；,（3）p：平行四边形的对边相等；,（4）p：,x,R，,x,2,x,+10；,16,例4,写出下列命题的否定,（1）所有自然数的平方是正数。,（2）任何实数,x,都是方程5,x,-12=0的根。,（3）对任意实数,x,，存在实数,y,，使,x,+,y,0.,（4）有些质数是奇数。,17,例5,写出下列命题的否定,（1）若,x,2,4 则,x,2.。,（2）若m0,则,x,2,+,x,-m=0有实数根。,（3）可以被5整除的整数，末位是0。,（4）被8整除的数能被4整除。,18,例6,写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。,（1）p：若,x,y,则5,x,5,y,；,（2）p：若,x,2,+,x,2,则,x,2,-,x,2；,（3）p：正方形的四条边相等；,（4）p：已知,a,b为实数，若,x,2,+,ax,+b0有非空实解集，则,a,2,-4b0。,19,练习：,写出下列命题的否定：,（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；,（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；,（3）p：对任意,x,Z，,x,2,的个位数字不等于3；,（4）p：任意素数都是奇数；,（5）p：每个指数函数都是单调函数；,（6）p：线段的垂直平分线上的点到这条线段两,个端点的距离相等；,20,命题的否定与否命题是完全不同的概念,1任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。,2命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。,3 原命题“若P则q”的形式，它的非命题“若p，则,q”；而它的否命题为“若p，则q”，既否定条件又否定结论。,21,思考,设,a,、b、c均为非零实数，求证：方程,ax,2,+2bx+c=0，b,x,2,+2c,x,+,a,=0，,c,x,2,+2,ax,+b=0中至少有一个有实数根。,22,