高中数学三角函数常见习题类型及解法[1].doc

方法技巧
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
例1．已知，求（1）；（2）的值.
解：（1）；
(2)
.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2．求函数的值域。
解：设，则原函数可化为
，因为，所以
当时，，当时，，
所以，函数的值域为。
例3．已知函数。
（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；
（2）证明：函数的图像关于直线对称。
解：

(1)所以的最小正周期，因为，
所以，当，即时，最大值为；
(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，
因为，
，
所以成立，从而函数的图像关于直线对称。
例4． 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。
综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。
这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1
化简得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0
∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤
∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}
例5．已知函数
（Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
解：
（Ⅰ）由=0即
即对称中心的横坐标为
（Ⅱ）由已知b2=ac
即的值域为.
综上所述， ， 值域为 .