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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,气体分子动理论,chapter 14,statistical law of thermal motion,of gas molecular,气体分子热运动,气体分子热运动,的统计规律,的统计规律,第十四章,1,本章内容,本章内容,Contents,chapter 14,气体压强与温度的统计意义,平衡态 概率 统计平均值,equilibrium state,probabiility,statical mean quantity,statical meanning of gas pressure and temperature,玻耳兹曼分布律,Boltzmann distribution,麦克斯韦速率分布律,maxwell speed distribution,气体分子的平均自由程,mean free path of gas molecular,2,平衡态,一气体系统若不受外界影响（无物质和能量交换）或只受恒定的外力场作用的条件下，气体系统的宏观特性（如温度、压强等）长时间不随时间改变的状态称为,平衡态,。,处于平衡态中的气体，其分子仍不停作热运动，但其总体平均效果不随时间改变，是一种动态平衡,。,平衡态 概率 统计平均值,14.1,3,物态参量,不受（或忽略）恒定外力场作用时，平衡态气体各部分的宏观性质是均匀的；只受恒定外力场作用时，平衡态气体的密度并不均匀。但这两种情况下气体的宏观性质都不随时间变化。,本章除玻耳兹曼分布一节考虑恒定重力场作用外，均忽略恒定外力场的作用。,描述平衡态的参量称为,物态参量,或,态参量,。如体积、压强、温度等。,4,微观与宏观量,描述单个分子特征的量（大小、质量和速度等）。,气体的微观量,单个气体分子的运动具有偶然性和随机性。,气体的宏观量,表征大量分子宏观特征的量（体积、压强和温度等）。,大量分子运动的集体表现具有统计规律性。,气体的宏观量是大量分子行为的统计平均表现,热现象与物质的分子运动密切相关。大量分子的无规则运动称为分子的热运动。,5,物态方程,物态参量之间所满足的关系式称为,物态方程,理想气体的物态方程,：,1标准大气压（1atm)=1.103 10 Pa,热力学温度,=,（摄氏温度t+273.15),注,8.31,气体的压强,单位：帕,气体的体积,单位：立方米,气体的热力学温度,单位：开,气体的质量,单位：千克,气体的摩尔质量,单位：,J mol K,气体常数,摩尔,mol,千克,6,续上,理想气体的物态方程,：,对一定量(mol)的气体,三者只要给定,两个就确定了一个平衡态,图中的一点,代表一个平衡态,若气体受外界影响，某平衡态被破坏，变为非平衡态。物态随时间而变化称为过程。,图不能表示非平衡态，也不能表示这种非平衡情况下的动态变化过程。,7,准静态过程,准 静 态 过 程,若经历非平衡过程后可以过渡到一个新的平衡态，此过程称为,弛豫,，所需时间称为,弛豫时间,。,若过程进行得,充分缓慢,，使过程中的某一状态到相邻状态的时间比弛豫时间大得多，则每一中间态都可,近似,地看作,平衡态,。这样的过程称为,准静态过程,。,准静态过程,平衡态,平衡态,图中的过程曲线，,都是,准静态过程曲线,。,8,概率,概率 统计平均值,概率,在所有可能发生的事件中，某种事件发生可能性（或相对机会）的大小。,某事件X,出现的概率,事件X出现的次数,试验总次数,在很多次的试验中,概率定义式,若可能事件有 种,则 种可能事件发生的总次数,试验总次数,各种可能事件的概率之和等于1。,称为,概率的归一化条件,。,归一化条件,9,概率密度函数,等概率假设,在气体动理论中经常用到一些等概率假设，如假设处于平衡态的气体，每个分子出现在容器内任何一点处的概率相等；每个分子朝各个方向运动的概率相等（如在直角坐标中，分子速度的三个分量的各种统计平均值相等）等,。,事件出现在 内的概率,与 的位置和 的大小有关,称,概率密度,或,概率密度函数,在 附近单位间隔内出现的概率,若表示事X的量 可连续变化（例如在某些随机因素影响下，多次测量某电机的转速可能在某一范围内变化）。,概率密度函数,若函数,的形式已知,则,10,统计平均值,对某量 进行 次测量，,测量值,出现次数,测量值乘,以出现次数,的,统计平均值,若 值可连续变化 则,连续变量的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分。,11,气体微观模型,气体的压强与温度的统计意义,一、理想气体的微观模型,气体分子的大小与分子间的平均距离相比可以忽略。,分子除碰撞瞬间外，无其它相互作用。,碰撞视为完全弹性碰撞。,这是由气体的共性抽象出来的一个理想模型。在压力不太大、温度不太低时，与实际情况附合得很好。,14.2,12,理想气体压强,二、理想气体的压强公式,宏观：器壁单位面积所受的压力,微观：大量气体分子频繁碰撞器壁对器壁单位面积的平均冲力,标准状态下,气体的分子数密度,的数量级为,个,亦即,个,其数量之多已能很好满足微观统计的要求,要考虑分子速度（大小及方向）,不同的因素,对各种不同速度间隔的分子碰壁冲量求和,考虑单位时间作用在单位面积上的冲量就是压强,运用统计平均值及平衡态概念得到压强与微观量的关系,推导思路,13,压强公式推导,容器盛同种气体，分子质量 ，居平衡态,射向器壁面元 的某分子束碰壁后反射,（不与法向平行的速度分量，其相应的动量无变化）,速度为 的某分子弹碰中的动量变化为,cos,反,X,向,在 时间内，入射分子束斜园柱体的体积 中速度基本为 的分子，都能碰撞器壁一次。,其,光滑器壁,若气体中速度基本为 的分子数密度为,则该组分子与 碰撞而发生的动量,变化为,14,续上,容器盛同种气体，分子质量 ，居平衡态,射向器壁面元 的某分子束碰壁后反射,（不与法向平行的速度分量，其相应的动量无变化）,速度为 的某分子弹碰中的动量变化为,cos,反,X,向,在 时间内，入射分子束斜园柱体的体积 中速度基本为 的分子，都能碰撞器壁一次。,其,光滑器壁,若气体中速度基本为 的分子数密度为,则该组分子与 碰撞而发生的动量,变化为,气体中速度基本为 的分子数密度为,该组分子与 碰撞而发生的动量,变化为,将上式对平衡态气体中从各个不同方向、以不同速度射向 的各组分子求和，其总动量变化为,（负射向分量）,此式包含,和,因平衡态中两者各占一半，故,的分子才能与 相碰。,的分子。只有,能与 碰撞的所有分子的总动量变化为,15,续上,光滑器壁,气体中速度基本为 的分子数密度为,该组分子与 碰撞而发生的动量,变化为,将上式对平衡态气体中从各个不同方向、以不同速度射向 的各组分子求和，其总动量变化为,（负射向分量）,此式包含,和,因平衡态中两者各占一半，故,的分子才能与 相碰。,的分子。只有,能与 碰撞的所有分子的总动量变化为,能与 碰撞的所有分子的总动量变化为,容器中气体总体的分子数密度,的,统计平均值,得,应用动量定理，,分子受器壁 作用的平均冲力为,壁对气,器壁 受气体分子作用的平均冲力,壁对气,气对壁,16,续上,光滑器壁,能与 碰撞的所有分子的总动量变化为,容器中气体总体的分子数密度,的,统计平均值,得,应用动量定理，,分子受器壁 作用的平均冲力为,壁对气,器壁 受气体分子作用的平均冲力,壁对气,气对壁,器壁 受气体分子作用的平均冲力,壁对气,气对壁,由于分子向 X、Y、Z方向运动概率相等,又因,则,可推知,得,气对壁,定义,气体分子的平均平动动能,为大量,气对壁,理想气体的压强公式,由此推得：,17,压强统计意义,三、理想气体压强的统计意义,定义,气体分子的平均平动动能,为大量,气对壁,理想气体的压强公式,气体的宏观量压强，是大量气体分子作用于器壁的平均冲力，由微观量的统计平均值 和 决定。,理想气体压强公式是反应大量分子行为的一种统计规律，并非力学定律，只对个别分子而言，气体压强没有意义。,注：,推导过程中的,和,在宏观上很小，但在微观上相对于分子的大小,和作用时间应当足够大，保证在 时间内有大量分子与 发生 碰撞。,平衡态中同种气体的分子全同，其出现位置和各向运动概率相等，这已,包含了分子之间相互碰撞因素的一种动平衡，推导中不必考虑此类碰撞。,18,气体温度公式,气体温度的统计意义,气体分子的平均平动动能,物态方程,理想气体,可用另一形式表达,其中,分子质量,总分子数,阿伏伽德罗常数,分子数密度,玻耳兹曼常数,即,压强公式,理想气体,理想气体的,温度公式,1,玻耳兹曼常数,阿伏伽德罗常数,注：,6.02,1.38,10,23,10,23,mol,J K,1,19,温度的统计意义,气体分子的平均平动动能,理想气体的,温度公式,气 体 温 度 的,统 计 意 义,气体的热力学温度,与,气体分子的平均平动动能,成正比。,气体的热力学温度可看作是对分子热运动剧烈程度的量度。,气体的温度是大量分子热运动的集体表现，具有统计意义。,离开大量分子，温度失去意义。,20,凡例,解法提要,1标准大气压,（1atm)=1.103 10 Pa,已知,某氧器瓶内，氧气的压强,1.00,atm,温度,27,C,视为理想气体，平衡态,氧分子的平均平动动能,；,分子数密度,由,3,2,1.38,10,23,27+273,3,2,J,6.21,10,21,由,3,2,3,2,3,2,1.103 10,5,6.21,10,21,25,2.66,10,个,21,虚设联想,解法提要：,由,K,C,难以实现,太阳表面温度,5490 C,标准状态下,（0 C，1atm）,理想气体的,分子平均平动动能,分子数密度,3.53,10,2,ev,2.92,10,25,m,3,个,已知,一个电子经过1伏特电势差加速后所获的,动能为1电子伏特（1ev),=,1.602,10,19,J,如果,某理想气体系统的分子平均平动动能要达到1ev,其温度将会有多高？,22,玻耳兹曼分布,14.3,玻耳兹曼分布律,分子动能势能和,分子数密度,玻耳兹曼,能量分布律,23,数学表达,气体分子能量(含动能和势能),气体分子数密度,气体热平衡温度,玻耳兹曼常数,待定常数(与温度总分子数分子种类有关),玻耳兹曼能量分布的数学表达式,24,麦氏速率分布,处于平衡态的气体，其分子沿各向运动的机会均等，这并非意味着每个分子的运动速率完全相同，而是大量不同运动速度（大小和方向）的分子，在一定条件下所形成的一种热动平衡状态。,首先引用一种简明的实验方法，说明气体的分子数按速率分布的客观规律性：,麦克斯韦速率分布律，是表示气体处于热平衡时，气体的分子数按速度大小（速率）分布的规律。,麦克斯韦速率分布律,14.4,25,麦氏速率分布实验,实验动态示意,麦克斯韦速率分布实验,恒温T,同分子量m,运动速率全同吗?,转动圆筒,开口,记录纸,剥离,麦氏分布实验,重复多次采样后,26,速率分布含义,分布曲线,转换成相对分子数密度按速率的分布,总分子数,+,速率间隔内的分子数,处于,到,速率分布函数,（速率 附近单位间隔内的分子数与总分子数之比）,27,速率分布函数,快减,快增,两者相乘,曲线,麦克斯韦速率分布律,p,3/2,p,（函数）,若,m,、,T,给定，,玻耳兹曼常数，,函数的形式可概括为,曲线,曲线,有单峰，不对称,速率分布曲线,速率 恒取正,28,归一化条件,速率分布函数的归一化条件,速率在 到 区间内的分子数 与总 分子数 之比,若将速率区间扩展至 到,即具有一切可能速率的分子数与总分子数之比应为,速率分布函数的归一化条件,称为,3/2,速率分布函数,对分子质量为,m、,热力学温度为,T、,处于平衡态的,气体,29,最概然速率,最概然速率,3/2,速率分布函数,与此函数的极大值对应的速率 称为最概然速率,或,令,即,易得,因,则,30,不同条件比较,（或 ）,不同,的速率分布曲线的比较,相同,相同,最概然速率,用,进行比较,31,平均速率,麦克斯韦速率分布律应用举例,平均速率,（算术平均速率）,根据某连续变量,x,的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分的定义。,在讨论气体分子平均自由程问题时涉及到分子的算术平均速率概念；在讨论平均平动动能时涉及到方均根速率概念。,麦克斯韦速率分布函数就是计算此类速率的概率密度函数。,或,也有,类似,3/2,注意到,32,方均根速率,方均根速率,（的统计平均值的开平方）,即 作为参与统计平均的连续变量,或,也有,类似,则,3/2,得,回忆 联系,注意到,33,速率小结,三种速率小结,最概然速率,平均速率,方均根速率,34,特征速率例题,氧气摩尔质量,已知,3.20,10,mol,温度,27,C,处于平衡态,气体分子的,和,解法提要：,27 273 300（k）,483(m s ),394(m s ),447(m s ),35,归一化例题,假设有大量的某种粒子，总数目为,N,，其速率分布函数为,均为正常数，且 为已知,画出该速率分布函数曲线,根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数,求速率在 区间的粒子数,解法提要,+,抛物线方程,得,Max,36,续上,概率分布函数应满足归一化条件,本题,要求,得,均为正常数，且 为已知,假设有大量的某种粒子，总数目为,N,，其速率分布函数为,画出该速率分布函数曲线,根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数,求速率在 区间的粒子数,解法提要,+,抛物线方程,得,Max,速率在,区间的粒子数,得,37,随堂小议,请在放映状态下点击你认为是对的答案,随堂小议,设某温度下氢与氧的分布函数,曲线如图所示,则代表氧的分布函数曲线为,（1）曲线,（2）曲线,f,(,v,),v,o,结束选择,38,小议链接1,请在放映状态下点击你认为是对的答案,随堂小议,设某温度下氢与氧的分布函数,曲线如图所示,则代表氧的分布函数曲线为,（1）曲线,（2）曲线,f,(,v,),v,o,结束选择,39,小议链接2,请在放映状态下点击你认为是对的答案,随堂小议,设某温度下氢与氧的分布函数,曲线如图所示,则代表氧的分布函数曲线为,（1）曲线,（2）曲线,f,(,v,),v,o,结束选择,40,分子平均动能,气体分子的平均动能,公式,理想气体,公式,压强,温度,气体分子的平均,平动,动能,只是气体分子运动能量的一部分在某方面产生的统计平均效果,如果将原子看成质点，将分子看成是原子的刚性连接体（刚性分子），则分子的动能除平动动能外，对于双原子分子和多原子分子还有转动动能。,分子平均动能的计算，涉及自由度概念：,41,自由度,自由度,确定某物体空间位置所需的,独立坐标的数目（），称为该物体的自由度数。,单原子分子,平动自由度,双原子分子,平动自由度,转动自由度,三及多原子分子,平动自由度,转动自由度,42,能量均分定理,能量均分定理,理想气体，平衡态，分子平均平动动能,因,故,每个平动自由度的平均平动动能均为,将等概率假设推广到转动动能，每个转动自由度的转动能量相等，而且亦均等于,在温度为 的平衡态下，气体分子的每一个自由度，,都平均地具有 的动能。,能量均分定理,（能量按自由度均分定理）,43,分子平均动能,能量均分定理,理想气体，平衡态，分子平均平动动能,因,故,每个平动自由度的平均平动动能均为,将等概率假设推广到转动动能，每个转动自由度的转动能量相等，而且亦均等于,在温度为 的平衡态下，气体分子的每一个自由度，,都平均地具有 的动能。,能量均分定理,（能量按自由度均分定理）,在温度为 的平衡态下，气体分子的每一个自由度，,都平均地具有 的动能。,能量均分定理,（能量按自由度均分定理）,气体分子的平均动能,处于平衡态温度为 的理想气体，若将气体分子看作刚性分子，如果分子有 个平动自由度，个转动自由度，则,气体分子的平均动能为,若将分子看作非刚性分子，还要考虑分子的振动动能，按一定的原则确定振动自由度。（略）,分 子,44,简例,理想气体处于平衡态时，证明气体分子的平均动能 是平均平动动能 的 倍。,解法提要：,气体温度的统计意义,气体分子平均动能的含义,本题是为了帮助理解 与 成正比的原因。,45,理想气体内能,理想气体的内能,某一定量理想气体的内能 组成气体的全部分子的平均动能之和。,mol,气体有,（,阿伏伽德罗常数,）,个分子,mol,理想气体的内能,分子的平均动能,mol,理想气体,质量,质量,摩尔质量,摩尔质量,mol,理想气体的内能,对给定气体,46,内能算例,理想气体,质量,质量,摩尔质量,摩尔质量,mol,理想气体的内能,对给定气体,若温度变化,则内能变化,例如,分子的平均动能,的内能,的内能,47,平均自由程,热运动分子之间,分子的运动路径,频繁碰撞,曲折复杂,碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的有效直径,气体分子的平均自由程,14.4,48,碰撞频率,气体分子的平均自由程,热运动分子之间,分子的运动路径,频繁碰撞,曲折复杂,碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的有效直径,为分子的平均速率,可联系,进行估算,分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞次数称,碰撞频率,碰撞频率的倒数为,相邻两次碰撞时间,分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为,平均自由程,碰撞时两分子质心距离的平均值称为,分子的有效直径,49,自由程推导,分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞次数称,碰撞频率,碰撞频率的倒数为,相邻两次碰撞时间,分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为,平均自由程,碰撞时两分子质心距离的平均值称为,分子的有效直径,为分子的平均速率,可联系,进行估算,平均自由程,若能找出 与 的关系，则 可求,质心在半径为 、长度为 的圆柱体内的分子都会与 相碰。,设分子 的碰撞路径ABCD长度,先假设其它分子静止,其中,称为,碰撞截面,但其它分子也在运动,要作相对速率修正,设气体分子数密度,则柱内分子数为,平均碰撞频率,50,自由程算式,平均自由程,平均碰撞频率,相对速率修正,证明略,恒定,若,则,51,随堂小议,容积变的容器储存有一定量的理想,气体，温度为 ，分子的平均速率,为 ，平均,升至4 时其分子,的平均速率 ，平,均碰撞,请在放映状态下点击你认为是对的答案,随堂小议,碰撞频率为 ，平均自由程为,当温度,频率 ，平均自由程 分别为,（1）,v,=4,v,0,Z,=2,Z,0,=,0,（2）,v,=2,v,0,Z,=2,Z,0,=,0,结束选择,52,小议链接1,容积变的容器储存有一定量的理想,气体，温度为 ，分子的平均速率,为 ，平均,升至4 时其分子,的平均速率 ，平,均碰撞,请在放映状态下点击你认为是对的答案,随堂小议,碰撞频率为 ，平均自由程为,当温度,频率 ，平均自由程 分别为,（1）,v,=4,v,0,Z,=2,Z,0,=,0,（2）,v,=2,v,0,Z,=2,Z,0,=,0,结束选择,53,小议链接2,容积变的容器储存有一定量的理想,气体，温度为 ，分子的平均速率,为 ，平均,升至4 时其分子,的平均速率 ，平,均碰撞,请在放映状态下点击你认为是对的答案,随堂小议,碰撞频率为 ，平均自由程为,当温度,频率 ，平均自由程 分别为,（1）,v,=4,v,0,Z,=2,Z,0,=,0,（2）,v,=2,v,0,Z,=2,Z,0,=,0,结束选择,54,作业,HOME WORK,14-1,14-16,14-23,14-24,14-27,55,
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