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北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章 特殊平行四边形一、平行四边形1.平行四边形定义:两组对边分别平行四边形叫做平行四边形。2.平行四边形性质（1）平行四边形对边平行且相等。（对边）（2）平行四边形相邻角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形对角线相互平分。（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。惯用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线交点，则这条直线被一组对边截下线段中点是对角线交点，而且这条直线二等分此平行四边形面积。（2）推论：夹在两条平行线间平行线段相等。3.平行四边形判定（1）定义：两组对边分别平行四边形是平行四边形。（对边）（2）定理1：两组对边分别相等四边形是平行四边形。（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等四边形是平行四边形。（对边）（4）定理3：两组对角分别相等四边形是平行四边形。（对角）（5）定理4：对角线相互平分四边形是平行四边形。（对角线）4.两条平行线距离两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线距离，叫做这两条平行线距离。 注意：平行线间距离处处相等。5.平行四边形面积:S平行四边形=底边长高=ah二、菱形1.菱形定义：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形2.菱形性质（1）菱形四条边相等，对边平行。 （边）（2）菱形相邻角互补，对角相等。（对角）（3）菱形对角线相互垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角。（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线交点（对称中心到菱形四条边距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在直线。3.菱形判定（1）定义：有一组邻边相等平行四边形是菱形。（2）定理1：四边都相等四边形是菱形。（边）（3）定理2：对角线相互垂直平行四边形是菱形。（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分四边形是菱形。（对角线）4.菱形面积：S菱形=底边长高=两条对角线乘积二分之一三、矩形1.矩形定义:有一个角是直角平行四边形叫做矩形。2.矩形性质（1）矩形对边平行且相等。（对边）（2）矩形四个角都是直角。（内角）（3）矩形对角线相等且相互平分。（对角线）（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线交点（对称中心到矩形四个顶点距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在直线。3.矩形判定（1）定义：有一个角是直角平行四边形是矩形。（2）定理1：有三个角是直角四边形是矩形。（角）（3）定理2：对角线相等平行四边形是矩形。（对角线）推论：直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一。4.矩形面积:S矩形=长宽=ab四、正方形1.正方形定义：有一组邻边相等，而且有一个角是直角平行四边形叫做正方形。2.正方形性质（1）正方形四条边都相等，对边平行。（边）（2）正方形四个角都是直角 （角）（3）正方形两条对角线相等，而且相互垂直平分，每一条对角线平分一组对角（对角线）（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线交点；对称轴有四条，是对角线所在直线和对边中点连线所在直线。3.正方形判定（1）定义：有一组邻边相等，而且有一个角是直角平行四边形叫做正方形。（2）定理1：有一组邻边相等矩形是正方形。（3）定理2：对角线相互垂直矩形是正方形。（4）定理3：有一个角是直角菱形是正方形。（5）定理4：对角线相等菱形是正方形。（6）定理5：对角线垂直且相等平行四边形是正方形。判定一个四边形是正方形主要依据是定义，路径有两种：（1）先证它是矩形，再证它是菱形。（2）先证它是菱形，再证它是矩形。4.正方形面积：设正方形边长为a，对角线长为b，则五、关于中点四边形问题知识点：（1）顺次连接任意四边形四边中点所得四边形是平行四边形；（2）顺次连接矩形四边中点所得四边形是菱形；（3）顺次连接菱形四边中点所得四边形是矩形；（4）顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是菱形；（5）顺次连接对角线相等四边形四边中点所得四边形是菱形；（6）顺次连接对角线相互垂直四边形四边中点所得四边形是矩形；（7）顺次连接多角线相互垂直且相等四边形四边中点所得四边形是正方形。第二章 一元二次方程一、一元二次方程1.一元二次方程定义含有一个未知数，而且未知数最高次数是2整式方程叫做一元二次方程。2.一元二次方程通常形式ax+bx+c=0(a0)，它特征是：等式左边是一个关于未知数x二次多项式，等式右边是零，其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。二、一元二次方程解法1.直接开平方法直接开平方法适适用于解形如(x+a)=b一元二次方程。当b0时，当b0时，方程没有实数根。2.配方法通常步骤：（1）方程ax+bx+c=0(a0)两边同时除以a，将二次项系数化为1。（2）将所得方程常数项移到方程右边。（3）所得方程两边都加上一次项系数二分之一平方。（4）配方，化成(x+a)=b。（5）开放，当b0时，当b0时，方程没有实数根。3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程解方法，它是解一元二次方程通常方法。一元二次方程ax+bx+c=0(a0)求根公式4.因式分解法一元二次方程一边为0，一边易于分解成两个一次因式乘积时使用此方法。三、补充：一元二次方程根判别式1.定义：一元二次方程ax+bx+c=0(a0)，b-4ac叫做一元二次方程ax+bx+c=0(a0)根判别式。2.性质：当b-4ac0时，方程有两个不相等实数根；当b-4ac=0时，方程有两个相等实数根；当b-4ac0时，方程没有实数根。四、补充：一元二次方程根与系数关系假如方程ax+bx+c=0(a0)两个实数根是x1，x2，那么第三章 概率深入认识一、频率与概率含义在试验中，每个对象出现频繁程度不一样，我们称每个对象出现次数为频数，而每个对象出现次数与总次数比值为频率，即把刻画事件A发生可能性大小数值，称为事件A发生概率。二、 经过试验利用稳定频率来估量某一时间概率1.在进行试验时候，当试验次数很大时，某个事件发生频率稳定在对应概率附近。2.我们能够经过数次试验，用一个事件发生频率来估量这一事件发生频率。第四章 图形相同一、成百分比线段1.定义：（1）线段比：假如选取一个长度单位量得两条线段AB、CD长度分别是m,n，那么这两条线段比就是它们长度比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n.（2）成百分比线段：四条线段a、b、c、d中，假如a与b比等于c与d比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成百分比线段，简称百分比线段。2.定理：假如a/b=c/d=m/n(b+d+n0),那么（a+c+m）/(b+d+n)=a/b二、平行线分线段成百分比1.两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成百分比。2.平行于三角形一边直线与其余两边相交。截得线段成百分比。三、相同多边形定义：各角分别相等，各边成百分比两个多边形叫做相同多边形。相同多边形对应边比叫做相同比。四、探索三角形相同条件1.两角分别相等两个三角形相同。2.两边成百分比且夹角相等两个三角形相同。3.三边成百分比两个三角形相同。4.概念：通常地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，假如AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB黄金分割点，AC与AB比叫做黄金比。五、相同三角形判定定理证实判定定理1：假如一个三角形两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两 个三角形相同。简述为：两角对应相等，两三角形相同。(此定理用最多)判定定理2：假如一个三角形两条边和另一个三角形两条边对应成百分比，而且夹 角相等，那么这两个三角形相同。简述为：两边对应成百分比且夹角相等，两三角形相同。判定定理3：假如一个三角形三条边与另一个三角形三条边对应成百分比，那么这 两个三角形相同。简述为：三边对应成百分比，两三角形相同。六、利用相同三角形测高1.利用阳光下影子2.利用标杆3.利用镜子反射七、相同三角形性质1.相同三角形对应高比、对应角平分线比、对应中线比等于相同比。2.相同三角形周长比等于相同比，面积比等于相同比平方。八、图形位似定义：通常地，假如两个相同多边形任意一组对应顶点P、P1所在直线都 经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k0),那么这么两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上，k就是这两个相同多边形相同比。第五章 投影与视图一、三视图1.主视图从正面看到图 左视图从左面看到图 俯视图从上面看到图。2.画物体三视图时,要符合以下标准:大小：长对正,高平齐,宽相等。3.虚实:在画图时,看见部分轮廓通常画成实线,看不见部分轮廓线通常画成虚线。二、投影1.物体在光线照射下,会在地面或墙壁上留下它影子,这就是投影现象。2.太阳光线能够看成平行光线,像这么光线所形成投影称为平行投影。3.在同一时刻,物体高度与影子长度成百分比。4.物体三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面平行光线)下平行投影。5.探照灯,手电筒,路灯,和台灯光线能够看成是从一点出发光线,像这么光线所形成投影称为中心投影。6.皮影和手影都是在灯光照射下形成影子.它们是中心投影。三、视点、视线、盲区定义以及在生活中应用。1.眼睛所在位置称为视点，2.由视点发出光线称为视线，3.眼睛看不到地方称为盲区。第六章 反百分比函数一、反百分比函数概念通常地假如两个变量x，y之间关系能够表示形式，那么称y是x反百分比函数。（反百分比函数解析式也能够写成形式。自变量x取值范围是x0一切实数，函数取值范围也是一切非零实数。）二、反百分比函数图象反百分比函数图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。因为反百分比函数中自变量x0，函数y0，所以，它图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线两个分支无限靠近坐标轴，但永远达不到坐标轴。三、反百分比函数性质四、反百分比函数解析式确实定确定反百分比函数解析式方法仍是待定系数法。因为在反百分比函数中，只有一个待定系数，所以只需要一对对应值或图像上一个点坐标，即可求出k值，从而确定其解析式。五、反百分比函数中反百分比系数几何意义过反百分比函数图像上任一点P（x,y）作x轴、y轴垂线PM，PN，垂足分别是M、N，则所得矩形PMON面积。