椭圆的手工画法及锥坡问题.doc

椭圆的长轴为AB，短轴为CD。 作图步骤如下：
(1）连接A、C，以O为圆心、OA为半径画弧，与CD的延长线交于点E，以C为圆心、CE为半径画弧，与AC交于点F；
(2）作AF的垂直平分线，与长短轴分别交于点O1、O2，再作对称点O3、O4；O1、O2、O3、O4即为四段圆弧的圆心；
(3）分别作圆心连线O1O4、O2O3、O3O4并延长；
(4）分别以O1、O3为圆心，O1A或O3B为半径画小圆弧K1AK和NBN1，分别以O2、O4为圆心，O2C或O4D为半径画大圆弧KCN和N1DK1（切点K、K1、N1、N分别位于相应的圆心连线上），即完成近似椭圆的作图。
一、四心近似法（近似画法）
已知相互垂直且平分的椭圆长轴和短轴,则椭圆的近似画法(四心近似法)步骤如下所示:
第一步：

画出长轴AB和短轴CD，连接AC；
第二步：

在AC上截取CF，使其等于AO与CO之差CE；
第三步：

作AF的垂直平分线，使其分别交AO和OD（或其延长线）于O1和O2点。以O为对称中心，找出O1的对称点O3及O2的对称点O4，此O1、O2、O3、O4各点即为所求的四圆心。通过O2和O1、O2和O3、O4和O3各点，分别作连线；
第四步：

分别以O2和O4为圆心，O2C（或O4D）为半径画两弧。再分别以O1和O3为圆心，O1A（或O3B）为半径画两弧，使所画四弧的接点分别位于O2O1、O2O3、O4O1和O4O3的延长线上，即得所求的椭圆
二、同心圆法（理论画法）
已知相互垂直且平分的椭圆长轴和短轴,则椭圆同心圆画法的步骤如下所示:
第一步：

以椭圆中心为圆心，分别以长、短轴长度为直径，作两个同心圆；
第二步：

过圆心作任意直线交大圆于1、2点，交小圆于3、4点，分别过1、2引垂直线，过3、4引水平线，它们的交点a、b即为椭圆上的点；
第三步：

按第二步的方法重复作图，求出椭圆上一系列的点；
第四步：

用曲线板光滑地连接诸点，即得所求的椭圆。

计算机辅助
椭圆锥坡的设计与施工放样方法

1. 引言
开革开放以后国家大搞基础设施建设，大量的公路、铁路拔地而起，椭圆锥坡在公路铁路建设中屡见不鲜。椭圆锥坡主要运用于公路铁路的防护工程，它通常出现在桥头与路基的搭接处，涵洞的进出口位置，路基挡墙与边坡的连接处。
近些年计算机技术取得了飞速发展，大量的工程软件运用于公路、铁路中，使公路、铁路中的设计施工劳动量大大减少。然而关于椭圆锥坡的设计与施工放样也需要大量的运算，但介绍这方面的书籍、论文却很少，本文通过计算机编程来解决椭圆锥坡中设计、施工需要的大量运算。本文所采用的程序语言为Visual Basic语言，编写平台为VisualBasic6．0，实践证明利用计算机编程可以大大提高椭圆锥坡的设计和施工放样的效率。
2．椭圆锥坡概述及其研究价值
如图1所示为一桥台与路基连接处的椭圆锥坡。路基边坡填方坡度为1:n ，沿桥台的纵向坡度为1:m。椭圆锥坡其一端聚于一个公共顶点，而另一端（底脚）则与椭圆周上相对的点相连[1]。由于两个坡度方向的投影不相等，因此锥坡底面为一椭圆。

图 1椭圆锥坡
椭圆锥坡有其重要的研究价值，以下将介绍椭圆锥坡在公路铁路建设中的特殊意义。桥台处设置锥坡可以使水流通畅、流量均布，保护桥台免受水流侵蚀，并且可以加固桥台、简化桥台构造从而降低桥梁造价。如图2所示为一U型桥台[1]，由于在桥台两侧布置了椭圆锥坡就可以平衡来自U型糟内填充物的侧向压力，从而使桥台受力更合理。锥坡的存在还可以使U型桥台沿路堤前进方向减窄，从而节省了桥台的大量圬工体积。在其他类型的桥台处布设椭圆锥坡能收到同样的力学和经济效果。

　　　　　　　图2 U型桥台处的锥坡（1－椭圆锥坡、2－U型桥台、3－路堤）
　　涵洞的进出口位置放椭圆锥坡可以起到良好的导流作用。如图3所示的八字流线型涵洞[1]，进水口的椭圆锥坡可以促使水流的良好收缩，引导水流均匀平顺地流进涵洞，而在出水口设椭圆锥坡可以引导水流均匀扩散流向下游。椭圆锥坡在进水口可以保护水流对岸坡地冲刷，在出水口可以防止水流的回旋、回流以及横流。

图3涵洞口处的椭圆锥坡（1—椭圆锥坡、P－P1锥坡切线、d－涵洞洞口直径）
　　在路基设计中也经常出现布置椭圆锥坡的情况，如图4所示，为一段路基。当填方路堤向设有路肩挡土墙的一边过渡时一般就要设置如图所示的椭圆锥坡，这样的椭圆锥坡起到过渡作用，很好的处理了路堤边坡向路肩挡土墙的连接，既美观又经济实用。

3．椭圆锥坡的设计及计算机程序
　　3．1正椭圆锥坡与斜椭圆锥坡
　　由于椭圆锥坡由一系例曲线构成，因此对椭圆锥坡的设计是个复杂的过程，对椭圆锥坡的设计应该从平面图、侧面图及正面图三个方面进行设计。在对椭圆锥坡设计之前我们应该将其分为两类即正椭圆锥坡和斜椭圆锥坡（如图5所示）。正椭圆锥坡的两个边界坡线在平面上的投影正好是底面椭圆的长半轴和短半轴，而斜椭圆锥坡的两个边界坡的投影在正好是底面椭圆的两个共轭半径。这种分法主要是由于桥梁与路基的连接方式不同造成的，当桥梁与路基平直的连接时，所设的锥坡即为正椭圆锥坡，但往往桥梁与路基不是平直的连接而有一定的斜交角，因此所构成的斜交椭圆锥随斜交角的不同而不同。所以在桥梁中斜锥坡运用比较广泛，而由于涵洞一般都与路基正交，涵洞进出口的锥坡大多数都采用正椭圆锥坡，路基的连接部位一般都会选择在平直的部位因此在路基工程中一般会选择正椭圆锥坡作为连接物。

3．2椭圆锥坡的平面设计
对椭圆锥坡的平面设计其实就是对底面椭圆的确定，即确定底面椭圆与两临界边坡投影的关系 。两临界边坡必须满足以下三条原则[2]：①设计最小坡度的要求（一般为1：1）②锥坡与路基相连一侧的坡度必须与路基一致③锥坡底面要分别与路基边坡底线和桥台前缘平切。因此只要我们知道设计最小稳定坡度、路基边坡、坡高及斜交角（正椭圆锥坡为90°）就可以确定底面椭圆的具体布置。
3．2．1正椭圆锥坡设计原理与计算机程序编写
正椭圆锥坡与路基连接的坡线在底面的投影就是椭圆的长半轴，而短半轴显然必须是最小坡度线的投影，如图6所示为一填方路基向设有路肩挡土墙的路基过渡其连接处为正椭圆锥坡。椭圆的长半轴a＝h×m，短半轴b＝h×n，其中路基的坡度为1：m，设计最小坡度为1：n。所以底面椭圆的方程为：x2/m2+y2/n2＝h2 ，与路基的的交界坡度线在水平面的投影即为椭圆的长半轴a，沿路肩挡土墙方向的坡线在水平面的投影即为短半轴b。
图6正椭圆锥坡的平面图
　　计算机程序代码如下：
　　Private Sub Command1_Click()
　　'定义未知参数
　　Dim m As Double, n As Double
　　Dim h As Double
　　'定义所求的参数
　　Dim a As Double, b As Double
　　'输入已知参数给文本框
　　m = Val(Text1.Text)
　　n = Val(Text2.Text)
　　h = Val(Text3.Text)
　　'计算椭圆长半轴和短半轴
　　a = m * h: b = n * h
　　'将计算结果以文本框形式输出
　　Text4.Text = Str(a)
　　Text5.Text = Str(b)
　　End Sub
　　运行结果：

　　（输入路基边坡坡率m＝1．5，最小设计坡率n＝1．0，坡高h＝8后运算结果如上图椭圆长半轴a＝12短半轴b＝8。）
3．2．2斜椭圆锥坡设计原理与计算机程序编写
　　由于斜椭圆锥坡的两个临界半径在平面的投影正好是椭圆的一对共轭半径，所以在讨论斜椭圆锥坡的平面设计之前我们先来讨论一下椭圆共轭半径的性质。利用平面解析几何的知识我们可以将图7中的椭圆x2/a2+ y2/b2=1看成圆x2+ y2 = a2经过X－>x, Y－>(a/b) y变换而来即在圆上x坐标不变y坐标向x轴压缩,压缩后椭圆上y轴坐标为先前圆上Y坐标的b/a。如图所示经过变换Q点变为，P变到，又在圆上OP与OQ是两互相垂直的半径即OP⊥OQ，根据椭圆共轭半径的定义可知与为椭圆x2/a2+ y2/b2=1的一对共轭半径[3]。又椭圆共轭半径有× ×sinφ＝a ×b，2+2＝a2 +b2。

图7 椭圆的共轭半径
斜椭圆锥坡与正椭圆锥坡的平面设计主要不同在于，底面的椭圆投影位置不同。如图8所示的斜椭圆锥坡为一斜交桥台处的椭圆锥坡。

　　为了满足椭圆锥坡设计的三条原则，底面的椭圆必将是如图8所示的斜交椭圆。椭圆的中心就是桥台的一个角点与路基路肩的交点在平面的投影，即点O，过O点做路基边坡底线的垂线OM⊥PQ，垂足为M。又过点O，作ON的垂线OP⊥ON，OP与PQ交于点P。再在直线PQ上，作P点关于M点的对称点Q，连接OQ，则Q点即为椭圆与路基边坡的切点。
　　因此在⊿OPQ中∠P＝∠OQP＝φ；又设路基边坡坡度为1：m，最小设
计坡度为1：n，坡高为h，则OM＝mh，b＝nh。①
　　在RT⊿OQM中 ②
　　又OQ与ON共轭，所以=a b ③；2+2=a2+b2 ④ 。
　　将①、②式分别代入③式，消掉b和可得a与的关系式：
⑤
将⑤式代入④式解得 ：

　　　　　　　　 ⑥
　　将⑥式代入⑤式解得： ⑦
以上推导已求出了平面上椭圆的长半轴a、短半轴b、与路基相连的坡度线投影、与桥台边缘连接坡度线投影，以下求解与a的夹角（即求OQ相对于椭圆长轴的偏角）
在图9中设Q点坐标为Q（x，y）则 ⑧ ； ⑨
又因为Q点在椭圆上将⑧式和⑨式代入椭圆方程得：
，化简得： ⑩ 所以

　　 图9
综上：通过已知参数路基边坡坡度系数（m），最小设计坡度系数（n），坡高（h）及斜交角（φ）可得斜椭圆锥坡的平面设计要素，即底面椭圆的各未知参数。归纳如下：
椭圆的长半轴
　　　椭圆的短半轴b＝nh
两共轭半径
与路基相连坡度线投影与长轴的夹角
计算机程序代码：
Private Sub Command1_Click()
Dim pi As Double
pi = 3.14159265
Dim m As Double, n As Double
Dim h As Double, u As Double
Dim r As Double, t As Double
Dim v As Double, p As Double
‘ 输入已知参数
m = Val(Text6.Text)
n = Val(Text7.Text)
h = Val(Text8.Text)
r = Val(Text9.Text)
u = r / 180 * pi
‘判断输入的参数是否越界
If m < 0 Or n < 0 Or h < 0 Or r <= 0 Then
p = MsgBox("输入椭圆的各参数有误", vbOKCancel)
End If
Dim a As Double, b As Double
Dim a1 As Double, b1 As Double
‘计算未知参数
a1 = m * h / Sin(u)
b1 = h * Sqr(n ^ 2 / (m ^ 2 - n ^ 2) * (m ^ 2 / Sin(u) ^ 2 - n ^ 2))
a = m / n * b1
b = n * h
t = Atn(b / a * Sqr((a ^ 2 - a1 ^ 2) / (a1 ^ 2 - b ^ 2)))
v = t / pi * 180
‘输出计算结果
Text1.Text = Str(a)
Text2.Text = Str(b)
Text3.Text = Str(a1)
Text4.Text = Str(b1)
Text5.Text = Str(v)
End Sub

运行结果如下：

（输入m＝1．5，n＝1．0，H＝10，路桥偏角φ＝45°各未知参数的值见上图）
3．3 椭圆锥坡的横断面设计
3．3．1横断面设计原理
　　椭圆锥坡横断面设计主要运用在路基设计中，在路基中通过对椭圆锥坡的横断面分析才能确定坡角处挡土墙的高度，如图10所示的一段路基正面图示。由于锥体坡沿路线方向在变化，要确定坡底的路堤挡土墙高度就必需确定锥体的横断面。

　　很明显在图10路基中的椭圆锥坡为正椭圆锥坡，那么在一个椭圆锥中沿图示虚线方向剖切以后，在椭圆锥坡横断面上将留下一条什么样的曲线呢？如图11所示，我们称这样的曲线为锥体曲线。以下将对该曲线的数学涵义进行解释，即推导该曲线的数学解析方程。
图11 锥体曲线的数学涵义

建立图11所示的坐标设底面椭圆的方程为： ，
设椭圆上存在一点，椭圆锥体高度为h
则椭圆锥体顶点坐标，从而可得空间直线PM的方程：
（参数），即 Ⅰ
又因为在椭圆 上有： Ⅱ
消掉Ⅰ、Ⅱ式中的、、可得：

　以上方程即为椭圆锥体曲面的空间方程。
　 设一个平面切得锥体后的曲线方程：

可见以上方程为一双曲线方程。又因为 ,其中m为
路基边坡坡率,n为最小设计坡率。所以以上双曲线方程为：

　　通过已知量坡高h、路基边坡坡率m，最小设计坡率n就可以设计出椭圆锥坡横断面上的椭圆锥体双曲线。
3．3．2计算机程序代码与运算结果分析
Public Sub zhuti()
‘定义各参数
Dim h As Double, y As Double
Dim n As Double, m As Double
Dim a As Double, b As Double
Dim z1 As Double, z2 As Double
Dim x1 As Double, x2 As Double
‘输入已知参数
h = InputBox("请输入坡高h")
y = InputBox("请输入里程y")
m = InputBox("请输入路基边坡坡率m")
n = InputBox("请输入最小设计坡坡率n")
a = h * m: b = h * n
‘判断输入的里程是否已经到坡角
If y > b Then
y = MsgBox("输入的里程已经到坡角最边缘", vbOKCancel)
End If
Dim p(2) As Double, q(2) As Double
Dim l As AcadLine
x1 = 0: z1 = h - h * y / b
‘绘制椭圆锥体曲线
Do
x2 = x1 + 0.01’通过改变步长可以提高曲线的精度
z2 = h - h * Sqr(x2 ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2)
p(0) = x1: p(1) = z1: p(2) = 0
q(0) = x2: q(1) = z2: q(2) = 0
Set l = ThisDrawing.ModelSpace.AddLine(p, q)
x1 = x2: z1 = z2
Loop Until z1 < 0
ThisDrawing.SaveAs ("椭圆锥体曲线.dwg")
End Sub
　　输入h＝8，y＝6，m＝1．5，n＝1．0以后在CAD对象界面上显示如下一条锥体双曲线：

　　通过对h＝8的椭圆锥面
　　即：沿y＝6的平面进行剖切后的曲线对比如图12。可见当x的步长取0．01时两条曲线已几乎完全吻合。

　　以上横断面的设计主要以正椭圆锥坡为研究对象，对于斜椭圆锥坡横断面，由于有斜交角的原因其横断面要分为靠路基侧的横断面和靠桥侧的横断面，这样斜椭圆锥体分为两个小于正1/4正椭圆锥体的坡面，它们的横断面曲线仅是正椭圆锥体双曲线的一部分。又因为斜椭圆锥坡主要运用在桥涵上，在桥涵上锥坡设挡土墙的情况较少，因此在这里就也不再多敖述，如遇到有斜锥坡横断面设计要求情况，可以参照正椭圆锥坡的横断面设计原理。
3．4椭圆锥坡的正面设计
由于椭圆锥坡在空间中是椭圆锥体的一部分，其正面图示必将是一个三角形。在正椭圆锥坡中为一个直角三角形。由于在斜交桥的外侧锥坡顶点的夹角为一个钝角，而内侧为锐角，因此斜交桥的外侧锥坡的正面图示为一个钝角三角形，内侧为一锐角三角形。
4． 椭圆锥坡的施工放样及计算机程序
对椭圆锥坡的放样方法有很多，这里介绍两种常用的方法极坐标法和解析（条分）法，这两种方法各有优缺点。
4．1椭圆锥坡的极坐标放样[4]原理与程序编写
由于正椭圆锥坡可以说是斜椭圆锥坡的一种特例，因此以下均以斜椭圆锥坡为对象来讨论。由于在椭圆锥坡的设计中我们已经设计出了临界坡线投影相对于长轴的偏角θ，底面椭圆长半轴a和短半轴b如图8所示，又已知底面椭圆上两临界坡线的投影和，设其夹角为φ，如图13所示。

图13椭圆锥坡的极坐标放样
在图13中的椭圆中设OX为极轴ρ为极径则有坐标变换： ，将其代入直角坐标系椭圆方程可得：
，即：
　　施工时就可以按照以上公式进行放样，其中为极轴与极径的夹角，a，b分别为椭圆的长半轴和短半轴。放样时初值，又由于夹角φ与递增角δ相除往往不能除尽，在锥坡放样中常把它们的余值平均分配到开始与最后的两个等份中（设它们的余值为β,则α1=θ+δ+β/2，αn=αn-1+δ+β/2），其他角按αn=αn-1+δ放样即可。
按此理论可得该放样方法的VB程序代码如下：
Private Sub Command1_Click()
Dim a As Double, b As Double '定义椭圆的长半轴和短半轴
Dim p(100) As Double, r(100) As Double '定义极径与偏角即ρ和α
Dim q As Double ' 定义起始偏角θ
Dim f As Double '定义锥坡夹角φ
Dim m As Double, n As Integer '定义求φ与δ的余值参数
Dim t As Double '定义递增角δ
Dim str As String
'以下为已知参数赋初值
a = Val(Text1.Text)
b = Val(Text2.Text)
q = Val(Text3.Text)
f = Val(Text4.Text)
t = Val(Text5.Text)
'定义π
Dim pi As Double
pi = 3.14159265
'将角度转换为弧度
q = q / 180 * pi
f = f / 180 * pi
t = t / 180 * pi
'托圆弧的等份数
m = f / t: n = f / t
'初值计算
r(0) = q
p(0) = a * b / Sqr(a ^ 2 * Sin(r(0)) ^ 2 + b ^ 2 * Cos(r(0)) ^ 2)
r(1) = (m - n) / 2 * t + t + r(0)
p(1) = a * b / Sqr(a ^ 2 * Sin(r(1)) ^ 2 + b ^ 2 * Cos(r(1)) ^ 2)
'计算中间各等份点放样值
Dim i As Integer
For i = 2 To n - 1 Step 1
r(i) = r(i - 1) + t
p(i) = a * b / Sqr(a ^ 2 * Sin(r(i)) ^ 2 + b ^ 2 * Cos(r(i)) ^ 2)
Next i
'计算末值
r(n) = r(n - 1) + t + (m - n) / 2 * t
p(n) = a * b / Sqr(a ^ 2 * Sin(r(n)) ^ 2 + b ^ 2 * Cos(r(n)) ^ 2)
'将输出结果转化为字符形式
For i = 0 To n
r(i) = r(i) / pi * 180
str = str & "α(" & i & ")=" & r(i) & " " & "ρ(" & i & ")=" & p(i) & Chr(13) + Chr(10)
Next i
'向文本框输出放样所求参数偏角α和极径ρ
text6.Text = str
End Sub
运行结果：

（以上放样结果为输入椭圆长半轴a＝12，短半轴b＝10，两坡线投影夹角φ＝150°
递增角δ＝10°时的极坐标放样例表）
4．2 椭圆锥坡的解析（条分）法放样[5]原理与程序编写
所谓椭圆锥坡的解析（条分）法放样，就是将底面的椭圆弧沿x轴（或y
轴）的直线方向均匀的分成n等份，然后求出弧上的y轴坐标（或x轴坐标）到
准线的距离来施工放样的过程。这种方法要分两种情况（钝角和锐角）来讨论，
如图14所示。

图14椭圆锥坡的条分法放样
　　由于在椭圆锥坡中两临界坡线底面投影所夹钝角当切仅当包含底面椭圆的短半轴，所夹锐角当切仅当包含底面椭圆的长半轴，所以当建立如图14所示的以x轴方向为长轴，y轴方向为短轴的椭圆方程时，钝角所对应的准线L1必与x轴平行，锐角所对应的准线L2必与y轴平行（当椭圆锥坡为正椭圆锥坡时，分别与椭圆的长半轴a，短半轴b重合，此时建立一条准线即可）。因此施工放样时，只需确定准线上各条分的y*值或x*值就能放出底面的椭圆弧来。
　　设OP、OQ、OM为椭圆锥坡临界坡线的投影，三点坐标分别为P（xn，yn），Q（x0，y0），M（xm，ym），又设计中得知与椭圆的长半轴a的偏角θ，与的夹角φ，所以：
　　 、、
　　 即
　　由以上点的坐标可得知：的值可根据参数φ和θ求出，从而求出各条分的放样参数y*与x*。
按照此理论编写的VB程序代码如下：
Private Sub Command1_Click()
Dim a As Double, b As Double '定义椭圆的长半轴a和短半轴b
Dim a1 As Double, b1 As Double '定义临界坡线投影a'和b'
Dim q As Double, f As Double '定义偏角θ和临界坡线投影夹角φ
Dim x(1000) As Double, y(1000) As Double '定义条分点
Dim y1(1000) As Double, x1(1000) As Double '定义椭圆弧上放样点到准线的距离y*(x*)
Dim l1 As Double, l2 As Double '定义准线与x轴（y轴）的距离
'以下定义条分份数及其求余参数
Dim n As Integer, v As Double
Dim m As Integer, u As Double
Dim t As Double, d As Double '定义x、y方向的增值
Dim i As Integer '循环参数
'以下在文本中赋初值
a = Val(Text1.Text)
b = Val(Text2.Text)
a1 = Val(Text3.Text)
b1 = Val(Text4.Text)
q = Val(Text5.Text)
f = Val(Text6.Text)
l1 = Val(Text7.Text)
l2 = Val(Text8.Text)
t = Val(Text9.Text)
d = Val(Text10.Text)
Dim pi As Double '定义π
pi = 3.14159265
'将角度转换为弧度表示
q = q / 180 * pi
f = f / 180 * pi
'赋初值
x(0) = a1 * Cos(q)
y1(0) = l1 - b * Sqr(1 - x(0) ^ 2 / a ^ 2)
y(0) = a1 * Sin(q)
x1(0) = l2 - a * Sqr(1 - y(0) ^ 2 / b ^ 2)
'计算条分份数
n = (x(0) - b1 * Cos(f + q)) / t
v = (x(0) - b1 * Cos(f + q)) / t
m = (y(0) + b1 * Sin(f + q)) / d
u = (y(0) + b1 * Sin(f + q)) / d
'第一条分值
x(1) = x(0) - t - (v - n) * t
y1(1) = l1 - b * Sqr(1 - x(1) ^ 2 / a ^ 2)
y(1) = y(0) - d - (u - m) * d
x1(1) = l2 - a * Sqr(1 - y(1) ^ 2 / b ^ 2)
'计算各条分点放样y*值和x*值
For i = 2 To n Step 1
x(i) = x(i - 1) - t
y1(i) = l1 - b * Sqr(1 - x(i) ^ 2 / a ^ 2)
Next i
For i = 2 To m Step 1
y(i) = y(i - 1) - d
x1(i) = l2 - a * Sqr(1 - y(i) ^ 2 / b ^ 2)
Next i
'将结果以字符形式输给文本框11
Dim str As String
For i = 0 To n
str = str & "x" & i & "=" & x(i) & " " & "y*" & i & "=" & y1(i) & Chr(13) + Chr(10)
Next i
For i = 0 To m
str = str & "y" & i & "=" & y(i) & " " & "x*" & i & "=" & x1(i) & Chr(13) + Chr(10)
Next i
Text11.Text = str
End Sub

运行结果如下：

　 以上已知参数的值参照斜椭圆锥坡设计中路桥偏角为60°的情况 即椭圆长半轴a＝18.9736659806724，椭圆短半轴b＝10，临界坡线投影分别为＝17.3205080876547，＝12.6491106537816，与a的偏角θ＝16.1021137809331，两坡线投影夹角由图8可以算得φ＝150°（因为路桥偏角为60°）取L1准线与x轴的距离为20，L2与y轴的距离为30。L1上x按0.5的等差系数变化，L2上按0.2的等差系数变化。输入以上数据后，可得运算结果图框中的各放样点数据。

4．3椭圆锥坡施工土石方量的计算[6]与程序运算
椭圆锥坡底面为椭圆的的一部分，又因为两临界坡线的底面投影为椭圆的两共轭半径，所以无论是正椭圆锥坡还是斜椭圆锥坡其一侧锥坡底面部分椭圆面积都为1/4正椭圆面积。即，s为底面部分椭圆面积，a为椭圆长半轴，b为椭圆短半轴。又因为椭圆锥坡的高度H已知，所以任意一椭圆锥坡的体积为：
＝
VB程序代码：
Private Sub Command1_Click()
'定义未知参数
Dim m As Double, n As Double
Dim h As Double
'定义椭圆的长半轴和短半轴
Dim a As Double, b As Double
'定义未知参数椭圆锥体的体积
Dim v As Double
'输入已知参数给文本框
m = Val(Text1.Text)
n = Val(Text2.Text)
h = Val(Text3.Text)
'定义π
Dim pi As Double
pi = 3.14159265
'计算椭圆长半轴和短半轴
a = m * h: b = n * h
'计算体积
v = 1 / 12 * pi * a * b * h
'将计算结果以文本框形式输出
Text4.Text = Str(v)
End Sub

5．结论
对于椭圆锥坡的设计主要考虑底面椭圆的具体布置，而具体布置主要取决于
路基边坡坡度、最小设计坡度等因数。布置得当的椭圆锥坡可以发挥其经济、力学、和艺术价值，这在文中已经阐明了。椭圆锥坡的施工放样要依据其设计材料，由于椭圆锥坡底面设计为椭圆形，因此对其放样必然存在一定的偏差。本文介绍了两种放样方法，各有优缺点，施工放样时还得根据实际情况而定。本文对椭圆锥坡的设计和施工放样主要从一般问题考虑，如遇到特殊问题还需另立方案讨论
但可以参照本文思考。