导学案：圆－切线长定理.doc

第8课时 切线长定理、三角形的内切圆

修改者：杨佳容

【学习目标】1.理解切线长定理的条件和结论. 2.会作三角形的内切圆，了解内切圆的一些特性.
【学习重点】切线长定理的应用.
【学习过程】
一、学习准备
1.直线与圆的三种位置关系有： 、 、 .
2.直线和圆有 交点时，这条直线叫做圆的切线.
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于 .
3.切线的性质：圆的切线垂直于 .
二、教材解读
1.切线长定理
圆的切线上某一点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.
如图1，PA⊙O的切线，A为切点，则线段PA就是点P到⊙O的切线长.
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
P
A
B
·
O
图1
已知：如图1，PA、PB 是⊙O的切线，A、B为切点，
求证：PA = PB，∠OPA =∠OPB.
证明：

，
即时练习1：
P
A
B
·
O
图2
C
如图2，PA、PB 是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC = 20°，求∠P 的度数.

2．三角形的内切圆
思考：有一张三角形的铁皮，如何在它上面截出一个面积最大的圆形铁皮？
为了尽量应用这块铁皮，我们画出的圆与铁皮的边要刚刚相切才好.那么,会不会存在这样一个圆，它与这个三角形的三边都相切？如果存在，我们就可以最大化利用了这块三角形铁皮了.

图3
A
B
C
D
E
F
O
如图3，我们假设这样一个与三角形三边都相切的圆存在,我们看能不能找到它的圆心和半径.
设点D、E、F是切点，则有：
OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
又根据切线长定理，
则有：AD = AE，BD = BF，CF = CE，
而OD = OE = OF，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，Rt△BDO≌Rt△BFO，Rt△CEO≌Rt△CFO，
∠DAO = ∠EAO，∠DBO = ∠FBO，∠ECO = ∠FCO，
∴AO、BO、CO是△ABC 三条角平分线.
∴圆心O是就是三角形三条角平分线的交点，半径就是交点O到三边的距离.
故存在这样的一个圆，它与三角形的三边都相切.
定义：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.
内切圆的圆心叫三角形的内心，它是三角形三条内角平分线的交点.
即时练习2：
（1）如图4，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE =
A
C
B
D
E
F
O
·
图5
A
B
C
D
E
F
O
图4
120°，∠EOF = 150°，则∠A = ，∠B = ，∠C = .

（2）如图5，△ABC的内切圆⊙O与AC、AB、BC分别相切于点D、E、F，且AB = 5cm，BC = 9cm，AC = 6cm，求AE、BF和CD的长.

图5
A
B
C
D
E
F
O
（3）如图5，设△ABC的内切圆半径为r，△ABC的的周长为l、面积为S，求证：S = .

三、反思小结
1、切线的性质：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2、切线的判定＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3．弦切角的特征：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4. 切线长定理：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5. 三角形的“几心”知识回顾和整理：
（1）三角形三个内角平分线的交点叫三角形的　 心，它的特点是： 心到　 距离相等；
（2）三角形三条边的垂直平分线的交点叫三角形的　 心，它的特点是： 心到　 距离相等；
（3）三角形三条中线的交点叫三角形的　 心，它的特点是：　　　　　　　　　　
.
（4）三角形三条高的交点叫三角形的　 心.
A
B
C
D
E
F
O
内心
外心
A
B
C
A
B
C
O
·
重心
D
E
F
垂心
A
B
C
D
E
F
O
O
┐
∥
∥
本课时达标检测
A
B
b
C
O
·
4题图
┐
c
a
一、基础巩固
C
A
B
D
F
E
O
·
2题图
1．请你用尺规作图，作出三角形MNP的内切圆.
M
N
P
1题图

2.如图，△ABC的内切圆⊙O切AC、AB、BC分别为D、E、F，若AB = 9，AC = 7，CD = 2，求 BC 的长.

二、知识拓展
3．正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）.
A. 2 B. 3 C. D. 2
4.如图，⊙O 是Rt△ABC 的内切圆，∠C = 90°，若AC = b，BC = a，AC = c，则⊙O 的半径r与a、b、c的关系式为 .
C
5. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的一条切线，过点C另引一条⊙O的切线交⊙O于点D，连接AD、OC. 求证：AD ∥OC.
D

O
·
B
A

5题图

三、能力提升
6. △ABC的周长为20cm，面积为35cm2，那么△ABC的内切圆半径为 .
7．如图，PA是⊙O的切线，PO的延长线交⊙O 于点E，已知⊙O的半径为3，PC = 4.
A
P
E
C
O
·
7题图
求弦CE的长.