长宁区2011学年第一学期初三数学期末卷.doc

2011学年第一学期初三数学质量抽测试卷
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
第1题
1. 如图，EC与BD交于点A，则下列比例式中不能判断出DE//BC的是( ▼ )
（A） （B） （C） （D）
2. 已知α为锐角,且cos=,则α=( ▼ )　
（A） 30°　　（B） 45°　　（C） 60°　　（D） 90°
第3题
3. 如图，若DE是△ABC的中位线, △ABC的周长为1,则△ADE的周长为（ ▼ ）
（A）　（B） 　（C） 　（D）
4. 二次函数 的图象的顶点坐标为( ▼ )
（A）( -1, 3) 　　（B） (1, - 3)　（C）(，-3) （D） (,-3)
第5题
（A）
(B)
(C)
(D)
B
C
A
5. 下列四个三角形中，与右图中△ABC的相似的是( ▼ )

6. 如图,为测楼房BC的高,在距楼房30米的A处,测得楼顶的仰角为α,

则楼房BC的高为( ▼ )
第6题
（A） 30tanα　　（B） 　（C） 30sinα　　（D）
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知线段a =6厘米，c =3厘米，若b是线段 a、c的比例中项，则b = ▼ 厘米.
8. 已知，那么== ▼ .
9. 若向量与单位向量的方向相反，且，则= ▼ ．(用表示)
第11题
10. 已知斜坡的坡度为，如果斜坡长为100米，那么此斜坡的高为 ▼ 米.
11. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD边的中点，
若，，则 ▼ ．（结果用、表示）
12. 已知点G是△ABC的重心，若，则k = ▼ ．
13. 抛物线y =的图象如图所示,该抛物线与x轴交于A、B两点, 若A点的坐标为
（1,0）,则B点的坐标为 ▼ ．
14. 在平面直角坐标系中, 平移抛物线使它经过原点,写出平移后抛物线的
一个解析式 ▼ ．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE， AE与BD相
交于点F. 那么BF∶FD的值为 ▼ ．
16. 如图，⊙O的直径为26cm，弦AB长为24cm，则点O到AB的距离OP为▼ ．
17. 已知△ABC，AB＝8， AC＝6，点D在边AC上，AD＝2. 若要在AB上找一点E，使
△ADE∽△ABC，则AE＝▼ ．
第18题
第16题
P
A
B
O
第15题

90
18. 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AD =，BC=,∠B= 45°.直角三角板含45
度角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F. 若△ABE为等
腰三角形，则CF的长等于▼ ．

第13题

三、解答题：（19、20、21、22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分78分）
19. 计算：

20. 如图，已知正方形网格中的向量、．
先化简，再求作：．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量.）

21. 如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC、OD与AB分别交于点E、F，且AE=BF.
求证： .

22. 如图, 梯形ABCD 中， AD∥BC, 点E是边AD的中点,连结BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G .
　( 1) 求证:;
　( 2) 若GE = 2， BF = 3，求线段EF的长.

23. 在建筑楼梯时, 设计者要考虑楼梯的安全程度.如图（1）,虚线为楼梯的斜度线, 斜度线与地板的夹角为倾角θ, 一般情况下,倾角θ愈小,楼梯的安全程度愈高. 设计者为提高楼梯的安全程度, 要把楼梯的倾角由θ1减至θ2, 如图（2）,这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2 ,已知d1 = 4米, ∠θ1= 40°, ∠θ2 = 36°,求楼梯占用地板的长度约增加了多少?
(精确到0.1米)　参考数据: sin36°≈ 0.59, cos 36°≈0.81, tan 36°≈0.73,
sin40°≈ 0.643,cos40°≈ 0.77, tan40°≈ 0.84.

24. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角边中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E .
⑴判断△EAP与△PDC一定相似吗？请证明你的结论；
⑵设PD＝x ,AE＝y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；
⑶是否存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，请求出PD的长；若不存在，请简要说明理由。

25. 如图，点A在x正半轴上，点B在y正半轴上. tan∠OAB=2．抛物线的顶点为D，且经过A、B两点.
（1）求抛物线解析式；
（2）将△OAB绕点A旋转90°后，点B落在点C处。将上述抛物线沿y轴上下平移后过C点.写出点C坐标及平移后的抛物线解析式；
（3）设（2）中平移后抛物线交y轴于B1，顶点为D1.点P在平移后的图像上，且S△PBB1
=2S△PDD1，求点P坐标.

2011学年第一学期初三数学质量抽测试卷参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. C 2.C 3.B 4.C 5.B 6.A
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 8. 9. 10. 60 11. 12. 3 13. (3,0)
14. (答案不唯一) 15. 16. 5 17. 18.
三、解答题：（19、20、21、22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分78分）
19.解：原式= （8分）
= （2分）
20. 解：原式=
= （4分）
画图正确 （4分）
∴就是所求作的向量。（2分）
21.证明：取AB中点G，联结OG并延长与⊙O交于H. （2分）
∵O是圆心，且G是弦AB的中点
∴弧AH=弧BH （3分）
∵AG = BG 且AE = BF
∴EG = GF
又∵OG过圆心
∴弧CH=弧HD （ 3分）
∴ 弧AH－弧CH=弧BH－弧HD
即 弧AC=弧BD （2分）

22. （1）证明：∵AD//BC ∴ （2分）
∵E是AD中点 ∴AE=ED
∴ （2分）
（2）解：∵AD//BC ∴
由（1）知 ∴ （2分）
∵GE = 2， BF = 3 设EF = x
∴ 整理得 （2分）
解得，（舍）
∴EF = 1. （2分）

23.解：据题意得 ∠ADB=90° EF // BD
则 ∠ADB= =36° ∠ACB= =40° （2分）
BC=d1= 4米
在Rt△ACB中
解得 AB ≈ 3.36 米 （4分）
在Rt△ADB中
解得 BD = d2 ≈4.6 米 （4分）
d2－d1 = 0.6 米
∴楼梯占用地板的长度约增加了0.6米. （2分）
（1）

24.解：⑴△EAP∽△PDC （1分）
①当P在AD边上时 如图（1）
∵矩形ABCD ∠D=∠A=90° ∴∠1+∠2=90°
（2）
据题意 ∠CPE=90° ∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
∴△EAP∽△PDC （2分）
②当P在AD边上时 如图（2） （1分）
同理可得 △EAP∽△PDC
⑵若点P在边AD上，
据题意：PD= x PA＝6- x DC=4 AE = y
又∽
（0≤x≤6） （2分）
若点P在边DA延长线上时，据题意 PD= x PA＝x -6 DC=4 AE= y
∽
(x≥6) （2分）
⑶假如存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC的2倍
若点P在边AD上 △EAP∽△PDC ∶=(6- x)∶4
(6- x)∶4=2 x = -2 不合题意舍去 （2分）
若点P在边DA延长线上， 同理得（x -6）:4=2 x =14
综上所述：存在这样的点P满足题意，此时PD＝14 （2分）
25.解：（1） 当x = 0时 y=2 ∴B(0,2) OB=2 （1 分）
在Rt△OAB中， ∴OA=1 A(1,0) （2分）
A(1,0)代入 得m= -3
∴ （1分）
（2）据题意顺时针旋转得C(3,1) （1分）
设平移后的抛物线解析式为
C(3,1)代入得 c=1
∴平移后的抛物线解析式为 （1分）
逆时针旋转得C’(-1，-1) 解析式 （2分）
（3）∵ ∴B1(0,1)，顶点D1（）
∵ 顶点D（）
∴ BB1=1 DD1=1
设P()
= =
=2
=2× （2分）
解得t=3或t= 1
当t= 1时 = -1 ∴P(1,-1) （1分）
当t= 3时 = 1 ∴P(3,1) （1分）
∵ 同理得P(3,-5)和P(1,-7) (2分)