车辆过路口有关红绿灯的优化方案.doc

东北大学2013年国际大学生数学建模竞赛校内选拔赛

参赛队编号：（　）

选择题目：√A B

摘要
本文建立汽车启动模型，通过图解法，分析法，利用数学，物理知识，结合实际生活常识对该模型进行求解。
要证明按照路口规定的上限速度同时启动车辆的通过率比车辆依次启动的通过率高，即需要对标准路口汽车通行模型与同时加速启动通行模型进行比较。对于车辆依次启动，需要考虑到每辆车启动时所需要的启动延迟时间。根据模型假设及变量定义，得出绿灯持续时间t内通过的车辆数n1，得到

对于车辆按照路口规定的上限速度同时启动，减少了后续车辆由于启动延迟的多余时间消耗，根据模型假设及变量定义，得出绿灯持续t时间内通过的车辆为n2，得到
由比较可知，
故证明出按照道路规定的上限速度同时启动比车辆依次启动的通过率高。由表达式分析得到，影响通过率的因素为：道路规定的上限速度及单位车辆启动的时间延迟。
要提高交通路口的通行速度和通行能力，由运动学知识可知，速度越高，单位时间内通过的车辆越多，因此，在第一问的基础上，构建加速区路口汽车通行模型。在设置加速区的基础上使车辆在到达交通路口时的速度达到规定的上限速度，从而比车辆按照路口规定的上限速度同时启动的前提下，更进一步省去了在交通路口加速所消耗的时间，以上限速度通过路口，进而大大提高路口的车辆通过率。根据模型假设及变量定义，得出绿灯持续时间t内通过的车辆数n３，得到，

通过比较得知，

因此，设置加速区使车辆在达到交通路口时的速度达到规定的上限速度，可以大大提高路口车辆的通过能力和通过速度。

关键字：通过率 上限速度 同时启动 匀加速

一、问题重述
1.1 背景
随着时代的发展社会的进步，人们的生活水平越来越高，每个家庭拥有一辆汽车基本很是普遍，然而这也带来了新的问题——交通拥堵，以交通路口处尤为严重。人们迫切的希望可以寻求一种办法使得车辆可以不需浪费太多时间或者是尽可能使顺畅的通过交通路口，这样不但减少路上行人自己的时间，还能在一定程度上减少交通事故的发生，因此，这一课题很有现实意义。
1.2 问题
交通信号灯由红灯变绿灯时，大家都希望尽快通过路口，但实际情况是，随着前面车辆启动后续车辆依次启动，而不是大家按照路口规定的上限速度一起启动，显然后一种方式通过的车流量大。
问题一：建立你的数学模型说明：按照路口规定的 上限速度一起启动比车辆依次启动的通过率高，并分析影响通过率的因素。
问题二：通过建立数学模型说明提高交通路口的通行速度和通行能力。
对于第一问虽然是一道证明题而且结果显而易见，但是实际上如要通过建立数学模型求解并不简单，需要将两种情况建立两个数学模型，而且这两模型还要在一定程度上可以很好的进行比较；而问题二可以堪称是一个开放性的试题，完全考验思维能力和创新能力，需要我们能够想出最优的方案来使得汽车的通过率最大，并将所想的方案建立出数学模型，进而得出结论。
二、问题分析
2.1 对问题一的分析。
通过题意可知，目的就是在绿灯的持续时间内将两种情况的车辆的通过数进行比较，从而证明车辆同时以上限速度启动在交通路口的通过率要大于车辆从前至后依次启动的通过率。首先我们要建立两组数学模型。在第一个模型中，建立车辆从前之后依次启动的启动时间与车辆所处位置的关系，再建立绿灯持续时间与在此持续时间内通过交通路口的车辆数的关系；在第二个模型中，同样的要建立通过的车辆数与车辆行驶时间以及绿灯持续时间的关系，但是异地个模型不同的是，在这个问题中，车辆要同时以上限速度启动，从而省去了依次启动所浪费的时间。在这两个模型中，很容易可以想到物理学中的运动学方程问题，根据汽车启动加速时间与绿灯持续时间的比较，可以列出有关时间、路程和速度的关系式，将所得关系式联立并应用解一元二次数学方程组的思想对通过的车辆数进行求解，将两种情况的求得的结果进行比较即可方便的得出结论。
2.1 对问题二的分析。
对于问题二，以问题一为基础，同样应用运动学的有关知识，建立所需的数学模型，在设置加速区的基础上使车辆在达到交通路口时的速度达到规定的上限速度，从而省去了在交通路口中行驶时加速所浪费的时间，使车辆可以全速通过路口，进而大大提高路口的车辆通过率。列出行驶时间、行驶路程以及绿灯持续时间的关系式，通过数学方面的一元二次方程求解的方法计算结果，进而得出结论。

三、 模型假设

1、假设汽车的车身长度都相等
2、假设汽车在加速到上限速度期间属于匀加速运动且所有汽车的加速度相同
3、假设车辆与车辆之间的间距相等
4、车辆在加速至上限速度后速度保持不变
四、 符号说明与名词定义

L——车身的长度
D——前一辆车与后一辆车之间的距离
t0——加速到上限速度所需时间
v0——交通路口规定的最大上限速度
a——汽车的加速度
t*——黄灯的持续时间
b——加速区的长度
T——单位车辆启动延迟时间

五、模型建立
5.1问题一：标准路口汽车通行模型与同时加速启动通行模型的比较

　　对于问题中的汽车启动问题，可以近似为有关的汽车启动的物理问题，运用物理学中的运动学知识可以进行方程的列解.由于交通信号灯管理的路口车辆都是按规定车道单向行驶的，因此本文只讨论道路一侧单股直行车道上的汽车通行状况，其它车道可类似讨论，由于通过交叉路口的车型，车速，车辆加速性能等各不相同，根据文献，以当量小汽车为研究对象。用x轴表示车辆行驶的道路，原点O便是交通信号灯下的车辆停止线位置，OA长度为交通岗的宽度，汽车行驶方向为x轴正向，以汽车车头所处的位置为汽车位置，如图所示：

L D O 　A

（1）当信号灯由红转绿时，随着前面车辆启动，后续车辆依次启动，设信号灯变成绿灯的开始时刻为t=0，Xn(t)表示时刻t第n辆汽车的位置，则有：

Xn(t)= 　　　设绿灯持续t时间内通过的车辆为n1，其中t≥（n-1)T+t0 ，则有：

解得

故

（2） 当信号灯由红转绿时，所有车辆按照路口规定的上限速度一起启动，设信号灯变成绿灯的开始时刻为t=0，Yn(t)表示时刻t第n辆汽车的位置，则有：

Yn(t)=

设绿灯持续t时间内通过的车辆为n2，其中t≥（n-1)T+t0 ，则有：

　　解得

故

比较可知

因此，按照道路规定的上限速度一起启动比车辆依次启动的通过率高。

（3）影响通过率的因素：①道路规定的上限速度v0 ②单位车辆启动延迟时间T

5.2问题二：加速区路口汽车通行模型

　　由运动学知识可知，速度越高，单位时间内通过的车辆越多，为了提高绿灯时路口的通行能力，在设置加速区的基础上使车辆在达到交通路口时的速度达到规定的上限速度，从而省去了在交通路口加速所浪费的时间，以上限速度通过路口，进而大大提高路口的车辆通过能力。设计思想是：提高绿灯时通过停止线O的每一辆汽车的通行速度。为此在停止线O之前b处设置停车线B，B到O之间为汽车的加速区，在绿灯亮之前，停在停车线O后面的汽车提前t*依次启动，在加速区加速行驶，当第一辆车行驶到停止线O时恰好遇到绿灯，这样车辆就可以较大速度通过路口，b即为汽车提前行驶的距离。

b
L D B O 　 A

显然，如果汽车都以最大速度v0通过停止线O，则通行能力最大，当第一辆汽车到达O时达到最大速度v时，其后的车辆将都以最大速度v0通过O，因此0≤t*≤t,此时b=1/2at*2。为了使设计便于实现，t*可取为信号灯转绿灯之前黄灯的时间（设黄灯的时长不超过t0）。

设第一辆汽车开始启动的时刻为t=0，Zn(t)表示时刻t第n 辆汽车的位置。由运动学知识可得汽车在有加速区的交叉路口的通行模型为：

Zn(t)=

设绿灯持续t时间内通过的车辆为n３，其中t≥（n-1)T+t0 ，则有：

解得

故

通过比较得知：

因此在设置加速区的基础上使车辆在达到交通路口时的速度达到规定的上限速度，从而省去了在交通路口加速所浪费的时间，以上限速度通过路口，进而可以大大提高路口车辆的通过能力和通过速度。

六、模型评价
交通路口的拥堵问题在日常生活中很是常见，时常致使行车的人们焦头烂额，欲哭无泪，对于解决这一类的问题，除了应有的交通管制与交通疏导外，使车辆与车辆之间在通过时能够保证步调统一且保持快速也能大大提高交通路口的通过率，有效的缓解拥堵问题。
6.1 对于问题一的模型评价：
在此问题中要求证明汽车从前至后依次启动比汽车同时以上限速度启动在交通路口的通过率小。在此，我们有效地应用了物理学中运动学的有关知识，根据假设的条件因素以运动学方程列出不等式，进而对在一次绿灯的持续时间中能够通过的车辆数进行了求解，并根据两种情况下通过车辆数的大小的比较得出了通过率的大小关系。根据计算结果，我们认为问题中的命题“按照路口规定的上限速度一起启动比车辆依次启动的通过率高”得到了证明。
6.2 对于问题二的模型评价：
对于提高交通路口的通行速度和通行能力，我们通过结合现实生活和物理学中的运动学知识得出这一课题的重点：只要车辆满足在行驶过交通路口的过程中始终保持着上限速度即得到了最优化的方法，我们采用的方法是增加一段加速区来满足车辆到达交通路口时可以都以上限速度通过，并假设车辆在路口中行驶的过程中保持匀速，根据对运动学公式的列解得到了最优化的结果。
6.3 模型设计的优点：
1、简化了车辆运动中某些繁琐的过程，便于分析和计算
2、所建立的模型与实际紧密相连，利用简单的模型就能达到很好的效果，居于很强的推广性
3、列写物理学方程与文字结合紧密，更具说服力
6.4 模型设计的缺点
1、 忽略了汽车加速度不能稳定恒定的问题，以及汽车不能保持匀速的问题，存在误差
2、 在问题中设定的方法需要人为配合，存在不稳定性

七、 参考文献
1、Giordano F R，Weir M D,Fox W P.数学模型.北京.机械工业出版社，2003：382--394
2、GB 50220-95，城市道路交通规划设计规范.北京.中国设计出版社，1995