不等式选讲（课时2）学生用.doc

不等式选讲
一、基本不等式
1．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是 2．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是
练习．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为
2．若x∈(－∞，1)，则函数y＝有
3．设a＞b＞c，n∈N，且＋≥恒成立，则n的最大值是
4．设x＞0，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，则x＋y的取值范围为________．
二、一般形式的柯西不等式
1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为
2．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为
3．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为________．
练习．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值．
4．设a1>a2>…>an>an＋1，求证：
＋＋…＋＋>0.
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练习．设x＋y＋z＝1，求函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值．
三、柯西与排序不等式
1．设a1，a2，a3为正数，m＝＋＋，n＝a1＋a2＋a3，则m与n的大小关系为________．
2．若a1≤a2≤…≤an，而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn，证明：≤·.当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时等号成立．
练习．设a1，a2，…，an为实数，证明：
≤ .
3．设a1，a2，…，an为正数，求证：＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.
4．设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：≥.
练习．设a，b，c是正实数，求证：aabbcc≥(abc).
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练习．设xi，yi (i＝1,2，…，n)是实数，且x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn，而z1，z2，…，zn是y1，y2，…，yn的一个排列．
求证： (xi－yi)2≥ (xi－zi)2.
练习．已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．