探索勾股定理_终结版.doc

探索勾股定理（第1课时）

一、学情分析
八年级学生已经具备一定的观察、猜想、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．
二、教材分析
本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值．
三、教学目标
1．用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．
3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
4．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习．
四、教学重难点
重点：勾股定理的探索及其简单应用．
难点：勾股定理的探索采用面积法，这是本节的难点．
五、教法与学法
教法分析：针对八年级学生的认知结构和心理特征，本节课采用引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题．引导学生自主探索、合作交流，这种教学理念反映了时代精神有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性．
学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨室学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体．
六、教学过程
（一）创设情境，引入新课
故事引入:人类在宇宙中是唯一存在的智慧生物吗？除了人类文明之外，茫茫宇宙是否还存在外星文明？这是古今中外一直困扰我们人类的难题．很多学者认为，要寻找外星文明，首先应该寻找一种能跟外星人相互沟通的“语言”，然后再跟外星人联系．而科学家自然想起了“勾股定理”和“勾股数”，正如我国著名数学家华罗庚所说：“如果我们宇宙飞船到了一个星球上，那儿也有如我们人类一样该机的生物存在，我们用什么东西作为我们之间的媒介呢？带幅画去吧，那边风景我们不了解；带一段录音去吧，也不能沟通，我看最好带两个图形去．一个‘数’，一个‘数形关系’．”这里，华罗庚先生所指的“数形关系”就是勾股定理．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）
设计意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育．
（二）自主探究，合作交流
探究活动1 猜一猜
问题1：你能发现图1中三个正方形的面积之间有怎样的关系？
图1
问题2：如图2中的各组图形面积之间都有上述的结果吗？

图2
问题3：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗？由此猜想等腰直角三角形的三边有什么关系？
对于问题2，问题3，教师给学生足够的时间，让学生交流合作，得出结论．问题3可让学生在自己准备好的小方格上画出，然后计算A、B、C三个正方形的面积，用等式表示三个正方形面积之间的数量关系，进而发现等腰直角三角形三边的特殊关系．在小组内交流时，教师适当引导，深入学生当中，倾听他们的想法．
设计意图：通过设计问题串，让探索过程由浅入深，循序渐进．经历观察、猜想、归纳这一数学学习过程，发展学生合情推理的能力．
探究活动2 做一做
问题4：请分别计算出图3中正方形A、B、C的面积，看看能得出什么结论？

图3
问题5：你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）

图4 　　　　　　　　图5　　　　　　 图6
学生的方法可能有：
方法一：如图4，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， ．
方法二：如图5，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，．
方法三：如图6，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，．
在此基础上，教师引导学生总结出此处用到的方法：割补法．
问题6：如图4，a，b，c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何？由三个正方形所搭成的直角三角形的三边存在怎样的数量关系？

图7
设计意图：探究活动2意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.
探究活动3 算一算
问题6：在纸上画出三个直角三角形，使其直角边长分别为3cm和4cm，1.5cm和2cm，0.8cm和1.5cm，分别测量至三个直角三角形斜边的长，根据所测得的结果填写下表：
a
b
c

3
4

1.5
2

0.8
1.5

观察表中后两列的数据，上面所猜想的数量关系还成立吗？
　　勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.．
设计意图：通过上述两种探究活动，学生已初步探究出直角边为整数的直角三角形的三边关系．设计让学生动手画直角边为小数的情形而脱离网格纸，将探究活动进一步深化，从而扩展为更一般的情况，使学生体会数学探究由特殊到一般，再到更一般的过程．
探究活动4 验一验
问题7：用课前准备好的四个全等的直角三角形拼一拼，你能拼出几个正方形？你能利用所拼得的正方形验证勾股定理吗？

图8 图9

在上述的证明过程中，我们用到了一种很重要的数学方法－－面积法．
　　设计意图：通过前面三个探究活动，学生已经得到一般直角三角形的三边关系－－勾股定理，但都是通过猜想、测量、计算等方法得到的，缺乏几何严谨的说理过程，而探究活动4则弥补了它们的缺陷，使学生更加确信勾股定理的正确性，同时也符合学生接受新知识的认知过程．
（三） 追溯历史，激发情感
介绍勾股定理的历史，列举东西方文化中对勾股定理的发现，介绍一些与此有关的著名人物、著作和学派，如商高、《周髀算经》、毕达哥拉斯；勾股定理的别称：毕达哥拉斯定理、百牛定理、驴桥定理等；勾股定理的证明方法多达400种等等．
设计意图：介绍有关勾股定理的历史，激发学生对中国乃至世界数学史的学习热情，以及对祖国的热爱之情．
（四）应用拓展，能力提升
1、对勾股定理的直接应用
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：

2．利用勾股定理解决实际问题
小明妈妈买了一部29 in（74 cm）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 cm长和46 cm宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
3、 面积法说明勾股定理正确性的再次认识（1876年美国总统Garfield用面积法说明勾股定理的正确性）
以a，b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图10所示图形，使A，E，B三点在一条直线上，利用面积法来说明勾股定理的正确性．

设计意图：数学来源于生活，又服务于生活，本环节意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.
（五）回顾反思，提炼升华
教师提问：
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流．
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
　 （2）“割、补、拼、接”法.
3．思想：（1） 特殊—一般—特殊；
　（2） 数形结合思想．
设计意图：学生通过对本节知识的提炼，归纳出有关知识和技能方面的一般结论以及在数学活动中的所遇到的困惑，感悟古代数学家在探索新知的领域中所付出的艰辛，培养学生良好的个性与思维品质．
（六）布置作业，课堂延伸
1．教科书习题1.1.
2．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足？

设计意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．