曲面的法向量与切线方程.pptx

全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性方向导数方向导数全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用多元函数多元函数的极值的极值练练 习习 题题1.1.3.3.4.4.2.2.5.5.6.6.1.1.解解2.2.解解令令z uxyz型型uxyz型型3.3.解解令令记记二阶偏二阶偏导连续导连续z uvxy型型uvxy型型uvxy型型4.4.解解令令记记二阶偏二阶偏导连续导连续uvxy型型5.5.解解设设则则6.6.解解令令记记则方程组为则方程组为方程组两端对方程组两端对 x 求偏导数：求偏导数：方程组两端对方程组两端对 x 求偏导数：求偏导数：的条件下，方程组有唯一解。的条件下，方程组有唯一解。7.求曲线求曲线（椭球面）（椭球面）（球面）（球面）上对应于上对应于 x=1 处的切线方程和法平面方程。处的切线方程和法平面方程。8.试证曲面试证曲面上任何点处上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a。9.求极值。求极值。10.7.求曲线求曲线（椭球面）（椭球面）（球面）（球面）上对应于上对应于 x=1 处的切线方程和法平面方程。处的切线方程和法平面方程。解解将将 x=1 代入方程组，代入方程组，解方程组得，解方程组得，x=1 处的点为处的点为将所给方程的两端对将所给方程的两端对 x 求导，求导，将所给方程的两端对将所给方程的两端对 x 求导，求导，方程组有唯一解。方程组有唯一解。切向量切向量切向量切向量切线方程切线方程法平面方程法平面方程切向量切向量切线方程切线方程法平面方程法平面方程8.试证曲面试证曲面上任何点处上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a。证证曲面上任取一点曲面上任取一点 M(x0,y0,z0).设设曲面在点曲面在点 M(x0,y0,z0)处的法向量处的法向量切平面方程切平面方程切平面方程切平面方程点点 M 在曲面上，因此在曲面上，因此切平面方程切平面方程化为截距式化为截距式所以截距之和为所以截距之和为9.求极值。求极值。解解函数的定义域：函数的定义域：令令解得解得其中只有其中只有是驻点。是驻点。因此，在因此，在(1,2)处取得极小值处取得极小值10.解解则则设设则问题就是在条件则问题就是在条件下，下，求求的最小值。的最小值。构造函数构造函数构造函数构造函数由由(1),(3)得得由由(2),(3)得得代入代入(4)得得由由(1),(3)得得由由(2),(3)得得代入代入(4)得得例例 已知曲面的方程为已知曲面的方程为证明：曲面上任一证明：曲面上任一点处的切平面通过某一定点。点处的切平面通过某一定点。解解设曲面上任一点为设曲面上任一点为 M(x0,y0,z0).曲面在点曲面在点 M(x0,y0,z0)处的法向量为处的法向量为切平面方程切平面方程曲面在点曲面在点 M(x0,y0,z0)处的法向量为处的法向量为切平面方程切平面方程M(x0,y0,z0)是曲面上的点，是曲面上的点，因此，因此，切平面方程切平面方程因此，曲面上任一点处的切平面均通过原点因此，曲面上任一点处的切平面均通过原点(0,0,0)。