江苏省常州市2013年中考数学试题(word版_含答案).doc

2013年中考数学试题（江苏常州卷）
（本试卷满分120分，考试时间120分钟）
一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2013年江苏常州2分）在下列实数中，无理数是【 】
　A．2 B．3.14 C． D．
【答案】D。
2．（2013年江苏常州2分）如图所示圆柱的左视图是【 】
　A． B． C． D．
【答案】C。
3．（2013年江苏常州2分）下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是【 】
　A． B． C． D．
【答案】A。
4．（2013年江苏常州2分）下列计算中，正确的是【 】
　 A．（a3b）2=a6b2 B．a•a4=a4 C．a6÷a2=a3 D．3a+2b=5ab
【答案】A。
5．（2013年江苏常州2分）已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差，乙组数据的方差，下列结论中正确的是【 】
　 A．甲组数据比乙组数据的波动大 B．乙组数据的比甲组数据的波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大 D．甲组数据与乙组数据的波动不能比较
【答案】B。
6．（2013年江苏常州2分）已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是【 】
　 A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【答案】C。
7．（2013年江苏常州2分）二次函数（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
y
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
12
给出了结论：
（1）二次函数有最小值，最小值为﹣3；
（2）当时，y＜0；
（3）二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．
则其中正确结论的个数是【 】
　 A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B。
8．（2013年江苏常州2分）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为【 】
　 A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b
【答案】D。
二．填空题（本大题共有9小题，第9小题4分，其余8小题每小题2分，共20分，）
9．（2013年江苏常州4分）计算　 ▲ 　，　 ▲ 　，　 ▲ 　，
　 ▲ 　．
【答案】3；3；；9。
10．（2013年江苏常州2分）已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是　 ▲ 　，点P关于原点O的对称点P2的坐标是　 ▲ 　．
【答案】（－3，2）；（－3，－2）。
11．（2013年江苏常州2分）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，﹣2）和点B（1，0），则k=　 ▲ 　，b=　 ▲ 　．
【答案】2；﹣2。
12．（2013年江苏常州2分）已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是　 ▲ 　cm，扇形的面积是　 ▲ 　cm2（结果保留π）．
【答案】；。
13．（2013年江苏常州2分）函数中自变量x的取值范围是　 ▲ 　；若分式的值为0，则x=
　 ▲ 　．
【答案】；。
14．（2013年江苏常州2分）我市某一周的每一天的最高气温统计如下表：
最高气温（℃）
25
26
27
28
天数
1
1
2
3
则这组数据的中位数是　 ▲ 　，众数是　 ▲ 　．
【答案】27；28。
15．（2013年江苏常州2分）已知x=－1是关于x的方程的一个根，则a=　 ▲ 　．
【答案】﹣2或1。
16．（2013年江苏常州2分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=　 ▲ 　．

【答案】。
17．（2013年江苏常州2分）在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=OA，则k=　 ▲ 　．
【答案】。
三、解答题（本大题共2小题，共18分）
18．（2013年江苏常州8分）化简
（1）（2013年江苏常州4分）
【答案】解：原式=。
（2）（2013年江苏常州4分）．
【答案】解：原式=。
19．（2013年江苏常州10分）解方程组和分式方程：
（1）解方程组（2013年江苏常州5分）
【答案】解：，
由①得x=﹣2y ③
把③代入②，得3×（﹣2y）+4y=6，解得y=﹣3。
把y=﹣3代入③，得x=6。
∴原方程组的解为。
（2）（2013年江苏常州5分）解分式方程．
【答案】解：去分母，得14=5（x﹣2），
解得x=4.8，
检验：当x=4.8时，2（x﹣2）≠0，
∴原方程的解为x=4.8。
四、解答题（本大题共2小题，共15分请在答题卡指定区域内作答，解答或写出文字说明及演算步骤）
20．（2013年江苏常州7分）为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（1）和图（2）．

（1）请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整；
（2）扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为　 ▲ 　．
【答案】解：（1）总人数是：20÷40%=50（人），
则打乒乓球的人数是：50﹣20﹣10﹣15=5（人）。
补图如下：

（2）72°。
21．（2013年江苏常州8分）一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．

【答案】解：（1）∵共有3个球，2个白球，
∴随机摸出一个球是白球的概率为。
（2）根据题意画出树状图如下：

∵一共有6种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有2种，
∴P（两次摸出的球都是白球）。
五．解答题（本大题共2小时，共13分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程）
22．（2013年江苏常州6分）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．
求证：∠A=∠B．

【答案】证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC。
在△ACD和△BCE中，∵AD=BE，CD=CE．AC=BC，
∴△ACD≌△BCE（SSS）。
∴∠A=∠B。
23．（2013年江苏常州7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．
求证：四边形ABCD是菱形．

【答案】证明：∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形。
∴AB=BC，∠ACB=60°。
∴∠FAC=∠ACE=120°。
∴∠BAD=∠BCD=120°。
∴∠B=∠D=60°。
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形。
六．解答题（本大题共2小题，请在答题卡指定区域内作答，共13分）
24．（2013年江苏常州6分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：
以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：
∠ABC=　 ▲ 　，∠A′BC=　 ▲ 　，OA+OB+OC=　 ▲ 　．

【答案】解：作图如下：

30°；90°；。
25．（2013年江苏常州7分）某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）．
（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；
（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？
【答案】解：（1）设该厂生产甲种饮料x千克，则生产乙种饮料（650﹣x）千克，
根据题意得，，
由①得，x≤425，由②得，x≥200，
∴x的取值范围是200≤x≤425。
（2）设这批饮料销售总金额为y元，根据题意得，
，即y=﹣x+2600，
∵k=﹣1＜0，
∴当x=200时，这批饮料销售总金额最大，为﹣200+2600=2400元。
七．解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
26．（2013年江苏常州6分）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则（史称“皮克公式”）．
小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点
中的两个多边形：

根据图中提供的信息填表：

格点多边形各边上的格点的个数
格点边多边形内部的格点个数
格点多边形的面积
多边形1
8
1

多边形2
7
3

…
…
…
…
一般格点多边形
a
b
S
则S与a、b之间的关系为S=　 ▲ 　（用含a、b的代数式表示）．
【答案】解：填表如下：

格点多边形各边上的格点的个数
格点边多边形内部的格点个数
格点多边形的面积
多边形1
8
1
8
多边形2
7
3
11
…
…
…
…
一般格点多边形
a
b
S
a+2（b﹣1）
27．（2013年江苏常州9分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为　 ▲ 　；
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．
（3）连接AD，当OC∥AD时，
①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．

【答案】解：（1）45°或135°。
（2）当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大。
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，
∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6。
∴OE=AB=3。
∴CE=OC+CE=3+3。
∴△ABC的面积。
∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为。
（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，
∵OD⊥OC，OC∥AD，∴∠ADO=∠COD=90°。
∴∠DOA+∠DAO=90°。
∵∠DOA+∠COF=90°，∴∠COF=∠DAO。
∴Rt△OCF∽Rt△AOD。，
∴，即，解得。
在Rt△OCF中，，
∴C点坐标为。
②直线BC是⊙O的切线。理由如下：
在Rt△OCF中，OC=3，OF=，∴。∴∠COF=30°。
∴∠OAD=30°。∴∠BOC=60°，∠AOD=60°。
∵在△BOC和△AOD中，，
∴△BOC≌△AOD（SAS）。
∴∠BCO=∠ADC=90°，∴OC⊥BC。
∴直线BC为⊙O的切线。
28．（2013年江苏常州10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA．
（1）写出A、C两点的坐标；
（2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；
（3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由．

【答案】解：（1）在直线解析式y=2x+2中，令y=0，得x=﹣1；x=0，得y=2，
∴A（﹣1，0），C（0，2）。
（2）当0＜m＜1时，依题意画出图形，如图1，
∵PE=CE，∴直线l是线段PC的垂直平分线。
∴MC=MP。
又C（0，2），M（0，m），∴P（0，2m﹣2）。
设直线l与y=2x+2交于点D，
令y=m，则x=，∴D（，m）。
设直线DP的解析式为y=kx+b，则有
，解得：。
∴直线DP的解析式为：y=﹣2x+2m﹣2。
令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）。
已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ，
∴，即，
整理得：。
解得：m=（＞1，不合题意，舍去）或m=。
∴m=。
（3）当1＜m＜2时，假设存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE，
依题意画出图形，如图2，
由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2，
由勾股定理得：。
∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0），
∴AQ=m，AB=a+1。
∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=。
∵直线l∥x轴，∴△CDE∽△CAB。
∴。
又∵CD•AQ=PQ•DE，∴。
∴，即，解得：。
∵1＜m＜2，∴当0＜a≤1时，m≥2，m不存在；当a＞1时，。
∴当1＜m＜2时，若a＞1，则存在实数，使CD•AQ=PQ•DE；若0＜a≤1，则m不存在。