解答题之(数列)2014年用 (2).doc

解答题之《数列》专训（2014年用）
一、 知识要点：
1、（1）等差数列通项公式：an= 。an= am+ d.（此结论是证明一个数列为等差数列的依据）等差数列前n项和公式：= = 。
(2) 等比数列的通项公式：an= 。an= am 。（此结论是证明一个数列为等比数列的依据）等比数列前n项和公式：当q=1时= ；时，= = 。
2、性质：（1）若数列{an}是等差数列，且 则有
（2）若数列{an}是等比数列，且，则有： 。
3、数列求和的主要方法：
（1）公式法：能直接用等差或等比数列的求和公式的方法。
（2）重新整合法：将一个数列通过重新整合成几个简单数列（等差、等比、常数列）然后分别再用公式进行求和。
（3）裂项相消法：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下第一项和最后一项再求和的方法
（4）错位相减法：若数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，在求数列{an.bn}或{an/bn}和前n项和时用此法，具体方法是在将这个数列的各项同乘以等比数列的公比，然后错位相减
二、解法指导。
（1）研究数列，关键是抓住数列的通项，探求一个数列的通项：即想办法求出首项，公差（公比），（2）关于数列的求和，方法如上，但在涉及到等比数列的求和时，若题中不知公比是否为1的前提下，我们用求和的定义而不用公式。（3）对于数列的计算，一定要静下心来精确运算。
三、类型讲解：
（一）求通项
（1）已知的具体值，求通项
例1：已知为等差数列，且，。①求的通项公式；
② 若等差数列满足，，求的前n项和公式
解：①由得，∴
②∵，∴，联立得 ∴

练习1、（09年高考题）已知数列是首项为6，公差为3的等差数列，数列是首项为1，公差为4的等差数列，①求和通项公式，②判断397是否为中的项，若是，是第几项，③若，各有100项，求它们共同项的个数

2、（10年高考题）(本题满分14分)
已知数列解答下列问题：（Ⅰ）求该数列的通项公式; (3分)
（Ⅱ）是该数列的第几项? (5分) （Ⅲ）求该数列的前10项和

3、（11年第二次联考）若等差数列的前15项和为90，的第8项是等比数列的首项，又的前3项和等于其首项，求解下列问题：
（1）的第8项（5分） （2）的公比（5分） （3）的前999项和（4分）

4、（12年第一次联考）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，求解下列问题：
（1）与的通项公式 （2）与的前项和公式

5、（13年第二次联考）解答下列问题：设等差数列的前项和为，且求解下列问题： ① 通项公式（9分） ② 前项和（4分）

6、（14年第一次联考）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，解答下列问题：①求与通项公式，
②设，求数列的前10项和

7、已知数列是等差数列，且
（1）求数列的通项公式；（2）令求数列的前n项和.

8、设有100项的等差数列的第3项为10，第10项为3，将此数列每两项之间插入一个数后使之构成一个新的等差数列，求解下列问题：（1）新数列的通项公式；（2）新数列的前100项和.

9、设等差数列的前项和为，已知.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.

10、已知数列是等差数列， ；数列的前n项和是，且．
(Ⅰ) 求数列的通项公式； (Ⅱ) 求证：数列是等比数列；
(Ⅲ) 记，求的前n项和．

（2）已知的间的关系，求通项
例2：数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正数，前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
[解析]　(1)由an＋1＝2Sn＋1可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，
∴an＋1＝3an(n≥2)，即（常数）故{an}是首项为1，公比为3的等比数列
∴an＝3n－1.
(2)设{bn}的公差为d，由T3＝15得，b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，
故可设b1＝5－d，b3＝5＋d，又a1＝1，a2＝3，a3＝9，
由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2，
解得d＝2或－10.
∵等差数列{bn}的各项均为正数，∴d＝2，b1＝3， ∴Tn＝3n＋×2＝n2＋2n.
练习：11、（11年高考题）设数列的前项和，数列为等差数列，且，求数列的通项及其前12项的和。（8分）

12、（12年高考题）设等比数列{a}的前n项和为Sn=3n+k(k为实数)，为等差数列，且2b4=a3．
解答下列问题：
⑴求a3与k的值及an的通项公式；（5分）
⑵求{bn}的前7项的和T7；（4分）
⑶设b4是b2和b10的等比中项，且公差d≠0，求{b}的通项公式．(4分)

13、（13年高考题）已知数列的前项和为，解答下列问题
（1）求的值（4分）（2）试判断数列是等比数列还是等差数列，并说明理由（5分）
（3）设等差数列中的且，求数列的前8项的和（4分）

14、（14年文丰四）已知在正整数数列中，前n项和，解答下列问题：①用等差数列的定义说明为等差数列；②设求数列的前n项和的最小值

15、设是正数组成的数列，其前项和为，且对于所有的正整数,有．
　(I) 求，的值； (II) 求数列的通项公式

16、已知数列为等差数列，且①求数列的通项公式；
②设数列满足且数列的前n项的积等于，求n的值

（三）、已知条件给的是一个递推公式，但通过适当的变形，可得到一个以为模型的新等差（等比）数列，先求出新数列的通项，再变形后得到的通项
例3：数列满足，①若，求证是等比数列，
②求的通项公式
解：①由得即
∴（常数）
∴是等比数列且首项为，公比为1/2
②由①知，， ∴
练习：17、已知数列中，，①求的值，
②求证数列是等差数列，③求的通项

18、设数列满足解答下列问题：（1）求通项公式；（2）求前n项和公式

19、已知数列中，，解答下列问题：（1）求数列的通项公式，
（2）若数列的前项的和，求的值

20、设数列满足且， ①求证数列为等比数列；
②当，求数列的前n项和

21、已知数列的前项和为，对任意的都有（m为常数且大于0）
①求证为等比数列，②设数列的公比，数列满足(且),求通项

类型二：数列求和
直接求和（3、4、5、8小题中的求和）；重新组合（2、6题中的求和）
裂项（9题中的求和）；错位相减（7、10题中的求和）
练习22：在等差数列中，，①求，②求第10项到第25项的和，③依次取出第1项，第2项，第项，第项…第项组成数列，求的前n项和

23、在正项等比数列中，若满足,
①求和公比q ②当时，求数列的前n项和

24、等差数列的各项均为正数，,前n项和为，为等比数列，且，
①求与， ②求和：

类型（三）与不等式等其它知识掺杂在一起的数列题
例4：数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。
⑴求数列的公差；⑵求前n项和Sn的最大值；⑶当Sn>0时，求n的最大值。
解：⑴∵a1＝23，a6>0，a7<0，∴
∵d为整数，∴d＝－4。
⑵＝23＝－2 =－
∴当时，Sn最大＝78。
⑶Sn＝－2n2+25n>0得0，∴n最大为12。

练习：25、已知在等差数列中，，公差，①求的通项，②求数列前n项和的最大值及相应的n的值

26、设数列的通项为（1）设数列的通项，求的前n项和；（2）当时，求n的最大值及对应的的值。

27、在等比数列中，公比。设且
（1）求数列的前n项和; (2)求数列的通项。

28、已知递增的等比数列满足,且是的等差中项.
(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)若,求数列的前项和

29、在等差数列中，设且，①求和公差d；②设为该数列的前n项和，试问n为何值时，取得最大值？并求出最大值