圆周率的计算1.pptx

n n中国数学史上最先完成勾股定理证中国数学史上最先完成勾股定理证明：公元明：公元3世纪三国时期的赵爽。世纪三国时期的赵爽。赵爽赵爽注注周髀算经周髀算经，作，作“勾股圆勾股圆方图方图”，其中的，其中的 弦图弦图，相当于运，相当于运用面积的用面积的“出入相补出入相补”方法，方法，证明证明了勾股定理了勾股定理。如下图。如下图出入相补原理证明勾股定理出入相补原理证明勾股定理刘徽的刘徽的“割圆术割圆术”与祖冲之的与祖冲之的伟大贡献伟大贡献n圆周率即圆的周长与其直径之间的比率。n我国古代在圆周率的计算方面长期领先于世界水平，这应当归功于魏晋时期数学家刘徽（公元263年左右）所创立的新方法“割圆术”。n所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周以求取圆周率的方法。在刘徽看来，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆台体而无所失矣。”圆周率的计算圆周率的计算n中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（）的数值来进行有关圆的计算，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长。圆周率的计算n刘徽一直算到了圆内接正3072边形的周长，并由此求得圆周率的近似值3.14和 3.1416。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据。圆周率的计算n刘徽“割圆术”有关的数学知识刘徽不等式：现代的组合加速技术 圆面积S(2n)cS(2n)S(n)割圆术圆周率的计算n祖冲之（429500），南北朝人。他自幼阅读天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于成为我国古代杰出的数学家和天文学家。圆周率的计算n祖冲之求出在3.1415926与3.1415927之间。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。若设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，想想这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动！圆周率的计算n祖冲之并得出了分数形式的近似值：取为约率，取为密率，其小数表示3.1415929，它是分子分母在1000以内最接近值的分数。在西方密率是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在世纪末才得到的，也比祖冲之晚了一千一百年。圆周率的计算n林群教授猜测的祖冲之求圆周率的外推方法：圆周率的计算n计算效果：圆周率的计算n祖冲之获得密率的可能方法：n1）数学史专家猜测由调日法得到。调日法是南朝天文学家何承天提出。何承天不等式何承天不等式:设 均为正数,如果 ，那么进一步，则有这里 均为正整数。圆周率的计算n找最佳有理数逼近有点象区间套逼近：2圆周率的高效计算方法的构造圆周率的高效计算方法的构造n用 的反正切表示和泰勒展开高效计算。Machin公式（1706年发现）：反正切泰勒展开公式：n这个算法的优点是简单，而且只需要整数运算。n可用上面的方法并利用计算机为工具，将圆周率的近似值计算到2035位。山克斯在1873年使用Machin公式将圆周率的值计算到707位，其结果到527位为止是正确的，以后的结果有误差。n另一个经过改进的计算公式为:n级数每增加一项，可提高大约14位小数的精度。n1997年，安正金田和高桥利用Hitachi SR2201,花了29个小时，计算出515亿小数（）。Monte Carlo 方法计算方法计算n单位圆的面积的随机投点算法n求出S=/4占S正方形ACBO的比例。n随机投点P(x,y)nP在圆内x2+y21n/4的近似值为落在圆内 的点数与总投点数的比值ASCBO(Ulam)(V.Neumann)(Metropolis)n吴文俊教授的观点：吴文俊教授的观点：贯穿在整个数学发贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想，一是公展历史过程中有两个中心思想，一是公理化思想，另一是机械化思想。理化思想，另一是机械化思想。n公理化的思想导源于古希腊，欧几里得公理化的思想导源于古希腊，欧几里得几何原本几何原本是公理化思想代表作，在是公理化思想代表作，在现代数学尤其是纯粹数学中占据着统治现代数学尤其是纯粹数学中占据着统治地位。地位。n机械化的思想（算法的构造）则贯穿于整个中机械化的思想（算法的构造）则贯穿于整个中国的古代数学。秦汉时代就已成书的国的古代数学。秦汉时代就已成书的九章算九章算术术，是具有这一思想的代表作，线性联立方，是具有这一思想的代表作，线性联立方程组的解法最早见于此书。程组的解法最早见于此书。n九章算术九章算术两干多年来一直影响与指导着中两干多年来一直影响与指导着中国数学的发展，为数学做出了巨大贡献，与欧国数学的发展，为数学做出了巨大贡献，与欧几里得几里得几何原本几何原本东西辉映，各呈特色。东西辉映，各呈特色。n以上参考上海交通大学黄建国教授报告