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二次函数的应用（一）教学设计
（选自九下第二章）
青原区思源实验学校 甘金兰
1.教材分析
本节课是北师大版初中数学九年级（下）第二章《二次函数》第8节，前面学生已学习了二次函数的图象和性质,为这节课的学习起着铺垫作用。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，为求解最大利润等问题奠定基础。并且在历年中考试题中，都有大量试题对该知识进行考查。
2．学情分析
九年级学生在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，但学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势。对学生比较了解，在解决具体问题时可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性。
3．教学任务分析
本节课将进一步利用二次函数解决实际问题，是上一节内容的升华和提高，具体的教学目标如下：
(一)知识与技能
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值。
(二)过程与方法
1. 通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力。
2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
(三)情感态度与价值观
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值。
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格。
3．进一步体会数学 与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有一定的创新精神和实践能力。
教学重点
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值。
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题。
4.教法和学法分析
运用多种教学方法，展现获取知识和方法的思维过程，既有老师的讲解，又有学生动手实做、探索、师生共做、学生小组合作并以学生为主体，老师为主导，基于本节课的特点，应着重采用“先做后说，师生共做”的学习方法。
5.教学过程分析
（一）、创设情景，引入新课
情景：请你画一个周长为40厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？

（二）例题讲解，探究创新
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。(1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
利用课件演示变化过程：
问题1：在运动变化过程中，有哪些量发生了变化？
问题2：长方形OABC的面积是随着哪些量的变化而变化？
问题3：在变化过程中，如果让你设一个变量为x，你会设哪一个？
问题4：如果设AB=x，你能用x来表示出AD的长度吗？
问题5：你认为长方形ABCD的面积有没有最大值？如果有，是多少？
问题6：我们设长方形ABCD的面积为y，请同学们把y表示为x的函数。
（三）举一反三，能力迁移
D
A
B
C
M
P
N
1. 在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
提问:如何把这个问题转化成数学问题？（提示：根据例题的思路）

2、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
问题1：光线最多实际在数学问题上是指什么最大？
问题2：你能用x来表示出y的长度吗？

6. 教学设计总体思路
（一）、创设情景，引入新课
设计意图：我让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩形面积最大，目的一是为激发学生的学习兴趣，二是为了引出想一想。学生通过画周长一定的矩形，会发现矩形长、宽、面积不确定，从而回想起常量与变量的概念，最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决，而不是老师告诉他用函数。周长固定、要画一个面积最大的矩形，这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习。并且能够很好的转化成学生自己的知识。
（二）例题讲解，探究创新
  设计意图：展示教材上的例题，和学生一起从问题中抽象出二次函数的模型，并求其最值，同时我对例题进行变式，训练学生的发散思维能力，选取的练习题也是教材上的，目的是让同学回归教材，落实基础。例题的讲解是让学生学会如何入手，所以我把问题的难度分化，把题目一步一步展示出来，让不同的学生都能做出一点来，且把问题简单化。并能让学生知道从设未知数，转化成我们熟悉的数学问题。也让学生从不知所措而通过问题的一步一步展示，让学生掌握如何用数学知识解决实际问题
（三）举一反三，能力迁移
设计意图：例题讲解的解答会使一部分学生完全按照问题的格式套下来，但是有些学生可能还是不会，所以我进行了提示。会运用的学生此时他们还会有点不熟练，但举一反三则从另一个角度重新诠释了面积最大的问题。即让学生对这个问题重新进行审视又让学生彻底弄清这类问题的思考方式。让学生在课堂上看到了活生生的数学问题，感受到数学与生活有着密切的联系，使学生真正领悟到数学的价值。并且让学生通过刚才的学习和体验后进行练习，对题目进行分析和理解并解决问题，虽然并不要求他们在以后都用这样的方法解题，但对于培养他们形成良好的心理素质和培养他们分析问题、解决问题的能力是很有帮助的。所以这类问题首先让学生会转化成数学问题，学生就会很快地理解和掌握。
（四）归纳小结，体验感受
   设计意图：完成教学任务后，让学生进行小结和反思是很有必要的。课堂小结以学生总结为主，既可培养学生的表达能力，又能提高学生的自信心。提出三个问题：
1、总结解决这类问题的基本思路及要注意的问题。
2、本节课，你最深的感受是哪个？
3、在这节课学习过程中，你还有什么疑问没有解决？
（五）、教学反思
  本节课本着规范的原则进行了教学，教学过程中能较好调动学生学习的积极性，设计的学生活动适应学生特点，由学生自己提出和解决问题，教师及时进行有效引导。但是由于函数问题的抽象及最大面积问题的复杂计算，所以小部分学生教学效果不好，尤其学生对于计算能力较差的学生困难还是很大，针对这个问题我还特别教了一种交点式的方法求最值的问题，从而规避了计算困难，但学习困难的学生难以理解。今后应将分层教学很好地融入课堂，调动所有学生的积极性，取得理想的教学效果。
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