数学归纳法探究学案.doc

《数学归纳法》探究学案
授课人 高一数学组：甘宗平
教学目标：
1、知识目标：
（1）了解数学推理的常用方法——归纳法；
（2）了解数学归纳法的原理及使用范围；
（3）掌握数学归纳法证明命题的两个步骤一个结论，会用数学归纳法证明简单的恒等式。
2、能力目标：
由数学归纳法证明简单恒等式的过程，初步理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。
教学重点：
1、理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤；
2、能用数学归纳法证明一些简单的恒等式。
教学难点：
数学归纳法中递推思想的理解。
教学过程：
一、 导入
探究1：请看下面两个例题，它们的结论是否正确？
1、如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，我们根据等差数列的定义，可以得到
a2= a1 +d
a3= a2 +d= a1 +2d
a4= a3 +d= a1 +3d
a5= a4 +d= a1 +4d
……
由此，猜想
an= a1 +（ ）d

2、数列{an}满足an=(n2-5n+5)2,容易验证a1 =_____, a2=_____, a3=_____, a4 =_____。
猜想：对n ∈N+,都有an =_____.

很显然，第一个结论是正确的，第二个结论是错误的，它们都是采用不完全归纳法，得出结论容易，但结论不一定可靠。那么，怎样判断用归纳方法得到的某些与正整数有关的数学命题的真假呢？
接下来我们就一起学习这种方法——数学归纳法。
二、讲授新课。
1、多米诺骨牌实验
探究2：这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
（1）______________________________ （奠基作用）
（2）____________________________________________________________ （递推作用）

2、数学归纳法的定义
我们对某些与正整数n有关的数学命题，常常用下面的方法来证明：先验证当n取第一个值n0时命题成立，然后在当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立的假设下，证明当n=k+1时命题也成立。这种证明方法叫做数学归纳法

3、探究3：你认为用数学归纳法证明等差数列的通项公式an= a1 +（n-1）d这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？

3、数学归纳法的证题步骤
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的两个步骤是：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0 (n0∈N+)时结论成立；
（2）（归纳递推）假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时结论成立，证明当n=_________时结论也成立。

4、典例探究
例：用数学归纳法证明：2+4+6+… +2n=n(n+1) (n∈N+)

三、当堂训练
用数学归纳法证明:
(1)1+3+5+7+ … +（2n-1）=n2 (n∈N+)

(2) 2+2×3+2×32 +…+2×3n-1 = 3n-1 (n∈N+)

注意：（1）数学归纳法只适用与正整数有关的命题；
（2）n0不一定取1，根据题中情况有时可取2、3等；
（3）在证明“当n=k+1时结论成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k时结论成立”这一条件；
（4）、数学归纳法的两个步骤缺一不可。

四、课后训练
1、用数学归纳法证明:
（1）1×4+2×7+3×10+…+ n(3n+1)= n(n+1)2

(2)首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式为：an=a1qn-1 (n∈N+)

(3)凸n边形的对角线的条数为 f(n)=n(n-3)/2 (n≥4)

2、数列{an}满足sn =2n-an
（1）、计算a1、a2、a3、a4，并由此猜想通项公式an
（2）、用数学归纳法证明（1）中的猜想。

五、课堂小结：
1、用数学归纳法证明命题的关键在于正确理解数学归纳法的两个步骤，其中，第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两个步骤缺一不可。
2、应用数学归纳法不但可以证明恒等式，还可以证明不等式、整除、几何命题以及解决“归纳、猜想、证明”这种类型的综合题。数学归纳法的其它应用将在高二时再学习。
六、作业
选修2-2习题2.3 A组 第1、2题