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第二章 初中数学教学大纲分析
　　2000年教育部颁布了《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)》(以下简称《教学大纲》或《大纲》)。这是以《中华人民共和国义务教育法》、《义务教育全日制小学、初级中学课程计划》为文件为依据，以1992年颁布的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》为基础，结合近几年来国际、国内数学课程改革与发展而制定的。
　　一、现行《教学大纲》的特点
　　与以往的大纲相比，现行大纲具有以下突出特点：
　　1．它充分吸取了当前国际、国内关于数学教育的新理念和新的数学教育思想，汲取了国际、国内数学教育改革的成功经验。如"大众数学教育观、数学是一种文化的理念，对数学交流的重视，注重应用，以及以现代认知科学理论支持课程改革等。
　　2．注重数学创新意识的培养。大纲在"教学目的"中增加了一段文字"并逐步形成数学创新意识"，这是有史以来我国教学大纲中第一次提到创新意识，而且在后面，大纲还对创新意识作了进一步的界定："初中数学中要培养的创新意识主要是指：对自然界和社会现象具有的奇心，不断追求新知、独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，并用数学方法加以探索、研究和解决。"
　　3．对内容作了进一步的调整，一是删去了一些对后继学习意义不大的内容或要求，删去学的很早但用得较晚的内容(如立方和与立方差公式)，删去了特殊的技巧性的内容(如二次三项式分解因式的十字相乘法)，删去了过难或过于繁琐的内容或要求(如二次根式运算时含有双重根号)，增加了实习作业，加强了实际的联系。
　　4．进一步注重能力的提高，为此大纲中增加了探究性活动，如在初二代数中插入"a=bc型的数量关系问题"，要求"引导学生从日常生活、生产或其他学科中发现数量关系为a=bc型的数学问题，并加以探究，了解这一类型的数量关系，在实际中的广泛应用"。(见大纲中(八)分式中的3和具体要求的(2))，同时还提出了培养学生"实验"和"猜想"的能力，(见大纲一、三(四)、四中几何的第4个教学要求等)。
　　二、教学大纲的基本内容
　　教学大纲主要包括以下几个方面的内容。
　　（一）对初中数学的地位、作用的界定
　　《大纲》前言的第一段简述了数学科学的地位、作用："数学的研究对象是空间形式和数量关系。在当代社会中，数学的应用越来越广泛，它是人们参加社会生活，从事生产劳动和学习、研究现代科学技术必不可少的工具，它的内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学，成为现代文化的重要组成部分"。与以往教学大纲相比较，这里出现了"内容、思想、方法和语言"的广泛渗入，以及"成为现代文化的重要组成部分"等词语，突了数学具有应用、思想方法、语言文化三个方面的价值特征，说明数学对提高人类的文化素质具有重要作用。
　　《大纲》前言的第二段简述初中数学学科的地位、作用，指出："初中数学是义务教育的一门主要学科，它是学习物理、化学、计算机等学科以及参加社会生活、生产和进一步学习的基础，对学生良好的个性品质和辩证唯物主义世界观的形成有积极作用。因此，使学生受到必要的数学教育，具有一定的数学素养，对于提高全民素质，为培养社会主义建设人才奠定基础是十分必要的。这里从数学教育的高度来谈数学教学，把初中数学学科摆在提高全民素质，培养社会主义建设人才的地位。《教学大纲》首次提到"数学素养"，而且把它作为民族素质的重要组成部分，体现了数学学科的重要性。
　　（二）初中数学的教学目的
　　初中数学的教学目的是根据初中阶段的总的培养目标和初中数学学科课程设置的基本要求确定的，是《教学大纲》的核心。它也是数学教师教学工作的出发点和归宿，是评价教学工作的主要依据。正确理解、切实贯彻教学目的，是提高教学质量、培养合格人才的关键。
　　《教学大纲》规定："初中数学的教学目的是：使学生学好当代社会中每一个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，进一步培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念，使他们能够运用所学知识解决简单的实际问题，并逐步形成数学创新意识。培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点。"
　　从这里，我们可以看到教学目的包含了三个方面的要求：使学生学好数学基础知识和基本技能，即双基教育目的；培养学生的运算能力、逻辑思维能力、空间观念，并能够运用所学知识解决简单的实际问题，形成数学创新意识，即能力培养目的；培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义观点，即思想品德教育目的。
　　1．双基教育目的
　　什么是"双基"？《大纲》指出："使学生学好当代社会中每一个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能"。基础知识与基本技能基础，数学能力、品质等的培养都必须通过知识的学习与技能的训练来实现，学生参加生产与日常生活中直接应用的也是知识与技能。因而，"双基"既有工具性又有载体性。忽视知识与技能的教学，其他教学目的都无法实现。
　　(1)初中数学基础知识的含义与内容，《大纲》指出："初中数学的基础知识主要指代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法"。把数学思想和方法列为数学基础知识，是历次教学大纲中所没有的。它充分反映了数学思想和方法的重要地位。
　　关于数学思想和数学方法，应当从以下几方面把握：首先，数学思想和方法离不开数学内容，它是随数学的产生和发展而发展的，因而是数学的组成部分。因此，《教学大纲》把它列为基础知识（但必须与具体内容相联系）。同时，它反过来可以促进数学的发展，又是可以从数学内容中析出的。因而，仅有数学内容，并不能呈现数学思想和方法，教学中必须加以提炼、渗透。其次，数学思想和方法都是思维的产物，是从事数学活动的思维方式和手段。第三，数学思想和方法是科学思想方法，有一般性，也有自身的特殊性。
　　数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学事实与理论的本质认识。
　　初中数学教学中基本数学思想包括：用字母表示数的思想，数形结合的思想，已知与未知互相转化的思想（包括等价转化思想与化归思想），分类思想，特殊与一般化思想等。
　　数学方法是指人们在数学活动中为达到预期的目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。初中数学教学中常见的数学方法有换元法、消元法、配方法、待定系数法、添加辅助元素及因式分解法等。
　　(2)初中数学基本技能的含义。《大纲》指出："初中数学教育中要培养的基本技能是：能够按照一定的程序与步骤进行运算、作图或画图、进行简单的推理。"技能是顺利完成某种任务的一种活动方式，它是通过练习获得的。技能可分为动作技能和心智技能两种，在完成比较复杂活动的过程中，二者往往交互作用。数学基本技能既包含动作技能，更包含心智技能。在数学活动过程中，必须同时运用动作技能和心智技能，才能达到相应目标。例如，解一元一次方程时首先要在头脑中选择合理的、序列的方式来操作：去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数。这属于心智技能。具体写出来，就属于动作技能。
　　知识与技能互相依存。知识是技能的基础，技能是知识的应用。运用知识才能形成技能，技能形成过程中也巩固了知识。二者区别在于含义不同，是对不同对象的概括。知识是经验的概括，技能是一系列活动方式的概括。数学技能又是发展数学能力的基础。一方面，不能脱离技能的训练来发展学生能力；另一方面，有一些技能本身就含有能力的因素，有时很难区分，但能力并不能为技能所代替。
　　2．能力培养目的
　　关于能力的培养目标，《大纲》要求：通过初中数学教学，培养学生的运算能力、思维能力、空间观念，使他们能够运用所学知识解决一些简单的实际问题，并逐步形成数学创新意识。
　　(1)运算能力。数学离不开运算，数学得以广泛应用的重要原因在于数学的运算性质，它所反复的数量关系以及一些空间形式也是通过运算呈现的。因此，提高学生的运算能力是初中数学教学的基本要求之一。
　　《大纲》指出："运算是能力是：会根据法则、公式等正确地进行运算，并理解运算的算理；能够根据题目条件寻求与设计合理、简捷的运算途径"。所谓"运算"。是指在法则指导下对具体对象进行变形的演绎过程。初中数学运算主要涉及数与式的各种运算（加、减、乘、除、乘方和开方等）。初中数学运算的对象是随着数学知识体系的展开逐步深入的。代数部分，在数系的扩充方面，从算术数的运算，到有理数的运算、实数的运算。随着用字母表示数，运算的对象变为式，从整式的运算到分式运算、根式运算。随着变量的引入，运算又发展到"对应"，高中还分遇到微分、积分运算等等。在初中阶段，恒等变形、同解变形等实际上是由许多运算构成，它本身也可视为运算，例如因工分解、解方程（组）、解不等式（组）。几何部分涉及的运算实际上是用代数运算去求一些几何元素，如三角形的边、高、角、面积、比值。
　　(2)思维能力。数学的特点决定在数学教学中。不仅要注重知识的传授，同时必须发展其思维能力。思维能力在基本的数学能力中居首要地位，它影响着其他能力的发展，各国数学课程都非常重视发展学生的逻辑思维能力。
　　《大纲》指出："思维能力主要是指：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；会运用数学概念、原理、思想和方法辩明数学关系，形成良好的思维品质，提高思维水平。这里细致地阐述了初中阶段要培养学生的思维能力的范围。
　　(3)空间观念。空间问题是人们在生活中每时每刻都要遇到的，如果没有起码的空间知识和空间想象能力，将很难适应生活和学习的需要。初中阶段，限于学生的知识水平与接受能力，不宜提出过高的要求。因此，初中《教学大纲》中仅提出了发展学生空间观念的任务，即"空间观念主要是：能够由形状简单的实物想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状；能够由较复杂的平面图形分解出简单的、基本的图形；能够在基本的图形中提出基本元素及其关系；能够根据条件作出或画出图形"。这里明确了"空间观念"与"空间想象能力"的区别，要求较低，同时也说明空间观念（也包括空间想象能力）不仅在立体几何中有，在平面图形中也有。
　　一般地，空间想象能力是一种把性质与图形、数与形、问题与图形结合起来的能力。它包含三个阶段：第一阶段为空间知觉，主要从婴儿开始至学前培养与发展；第二阶段为空间观念，主要在义务教育阶段培养与发展；第三阶段为空间想象，人们在由实物抽象成立体图形或研究复杂的立体图形时，往往要用到这种能力。空间想象能力的高级阶段将突破二维、三维的限制，进入任意维空间，也将突破有限维的限制，进入无限维空间，最终将脱离欧氏空间而进入整个数学世界中。
　　(4)解决实际问题的能力。数学具有广泛的应用性，数学知识和能力是数学素质的重要组成部分。学习数学的重要目的是在生产和实践中应用数学去解决实际问题，必须重视培养学生解决问题的能力。初中数学教学所培养的运算能力、思维能力、空间观念最终必须落到实到"能够运用所学知识的解决简单的实际问题"上。
　　《大纲》指出：能够解决实际问题是指能够解决带有实际意义的和相关学科中的数学问题，以及解决生产和日常生活中的实际问题；能够使用数学语言表达问题、展开交流、形成用数学的意识。
　　(5)数学创新意识。大纲指出："初中数学中要培养的创新意识主要是指：对自然界和社会中的现象具有好奇心，不断追求新知、独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，并用数学方法加以探索、研究和解决。"
　　"创新"与"发现"、"发明"（这里把三者都视为作动词）不同。把一件客观事物或一项客观规律寻找并揭示出来为"发现"。在现代社会中，"发现"就以"提出"作为它的延伸；如果没有"提出"作为"发现"的后继步骤，那么此项"发现"就不会被赋予社会价值和历史价值。"发现"有正误之分，错误的"发现"不会被社会承认。"发明"是创造全新的事物或方法的一个过程。某种新的事物或方法，不被某人"发明"出来，就会被以后的别人"发明"出来；对新的事物或方法略作改进，不再视为"发明"；没有重大价值的创造，一般不能被人类社会视为"发明"。所以历史上知名的大发明家，其人数是不多的。"创新"则是几乎人人都有、人人都能进行的创造过程，一个人利用他（她）原有的知识和技能，创造出新的事物或方法，就可以算作"创新"。在这里，主体没有必要与他人去比较"创新"的时间先后、结果优劣、能力强弱、水平高低。"以学生发展为本"这一提法，从一定意义上来说，就是以发展学生的创新意识和实践能力为本。
　　对创新意识的培养，应注重以下方面。
　　(1)提高认识。把培养学生的数学创新意识当作初中数学教学的一个重要目的和基本原则，即当作初中数学教学目的和教学原则的重要组成部分。
　　(2)实施基准。在教学中，要激发学生学习数学的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题，使数学学习成为再发现、再创造的过程。
　　(3)提供素材。在必学内容中增加实习作业和探究性活动，为培养学生的创新意识提供机会，并在教学中认真实施。
　　(4)目标落实。通过对学生创新意识的培养，积极引导学生将所学知识应用于实际，从数学角度对某些日常生活、生产和其他学科中出现的问题进行研究，或者对某些数学问题进行深入探讨，并在其中充分体现学生的自主性和合作精神，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题，以及用数学评议进行交流的能力。
　　《大纲》在阐述诸能力之后，指出"数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心"，这句话等价于"数学教学的核心是思维教学"。
　　3．思想教育培养目的
　　初中数学教学目的还包含培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点两个重要内容。《大纲》指出："良好的个性品质主要指：正确的学习目的，学习数学的兴趣、信心和毅力，实事求是、探索创新和实践的科学态度。"这些品质对学好数学有特殊的意义，是初中数学教学必须追求的重要目标，《大纲》在"教学中应注意的几个问题"中进一步加以阐述。例如，在"面向全体学生教学"中要求"对学习有困难的学生，要特别予以关心，及时采取有效措施，激发他们学习数学的兴趣"；在"结合教学内容对学生进行思想品德教育"中建议："并经常介绍我国和其他国家的古今数学成就，以及在现代科学、社会生产和日常生活中的广泛应用，使学生逐步明确为国家富强、人民富裕而学习。"
　　关于初中数学中的辩证唯物主义教育因素，《大纲》认为是"数学来源于实践对反过来作用于实践的观点：数学内容中普遍存在的对立统一、运动变化、相互联系、相互转化等观点"。数学同宇宙中的一切事物一样，也是在不停地运动变化的。例如：函数和几何中角的概念的扩充，直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，轨迹等都是运动变化的。数学内容同样遵循唯物辩证法：一切客观事物都相互联系，相互制约。例如，方程中根与系数间的关系，函数与图像的关系，圆周长、圆面积与半径的关系，三角形内角的大小与其角所对边的关系，都是相互联系和相互制约的关系。《大纲》在教学内容和教学要求部分结合具体内容对初中阶段培养学生辩证唯物主义观点提出明确要求。
　　教学中，吃透《大纲》意图，深入分析教材，渗透这些观点，既有助于培养学生辩证唯物主义观点，又有利于加深对知识的理解。