南师附中2016届高三数学考前指导（应试方法总结）.doc

江苏省南京师范大学附属中学2013届高三数学考前指导2013/5/29
（数学I）
编者按 一年一度的高考即将来临，经过一年系统、全面的复习，我们已经做到胸有成竹。为了能打好最后一场高考的胜仗，我们高三数学组老师精心选编了这份《考前指导》，希望能给你最后的复习备考助一臂之力！同时也提醒同学们要合理安排时间，注意劳逸结合，养精蓄锐，以最好的状态和精神面貌迎接高考。
高考应试指导 ――考好数学四大“绝招”
如何在高考有限的时间内充分发挥自己的水平，减少各种失误，是每个考生在备考期间时常思考的问题，因为它对你成绩的影响少则几分，多则十几分，甚至……，为此要注意好以下四个方面：
“审题”与“解题”的关系
要在审题上多下功夫，忌匆匆一看就急于下笔（一避免题目的“条件与要求”都没有吃透，二便于看出题中隐含的信息，启发解题思路）。要耐心仔细地读题，准确地把握题中的关键词与量，确定解题方向。
“会做”与“得分”的关系
要将你的解题策略转化为得分点，很重要的一点是要有“必要的”“准确完整的”数学语言表述。有不少考生心里明白，却表述不清，或答题跳步太大，没有踩到得分点上，或以图代证（尽管思路很巧妙，但由于不善于把“图形语言”转化为“文字语言”，得分很少），总之会做才能得到想得到的分。
“快”与“准”的关系
在目前考试题量大，运算量也大的情况下，如何才能快速地答完“会做”“能做”的题目呢？，首先是准（审题、运算等），只有准才可不必花时间检查，其次才是快，快是平时训练的结果，如计算速度快，对题目的处理反应快等。但如果“准”不能保证，“快”也失去了意义，变成了无效的劳动。
“难题”与“容易题”的关系
答题要坚持 “由前向后，先易后难”的原则，要在考试的第一时间把“会做”的题先完成，再去处理 “经过努力能做的题”，最后再“啃”难题，需要注意的是现在的试题已转向“多题把关”（最后一题并不一定是最难的），以区分不同层次的考生，同学们在考试中要善加运用，力争多得分。

填空题答题策略
填空题的题型特点及应对策略
根据填空时所填写内容的形式,我们可以将填空题分成以下几种类型分类处理:
一是定量型：要求学生填写数值、数集或数量关系,如:方程、不等式的解集,线段长度,角度大小等。
二是定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如09年出现的定性型且具有多重选择性的填空题（立体几何）；
三是条件与结论开放型： 创新型的填空题将会不断出现，我们在备考时，要关注这此类题的训练，做好应试的技能准备。解题时要有合理的分析和判断，推理、运算的每一步要准确无误。
四是当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（如特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论，这样可大大地简化推理、论证的过程
五是当题目中有图，或可以用绘图板作出图形时，要学会量一量、猜一猜。
在解填空题时要做到：
快――运算要快，力戒小题大做； 稳――变形要稳，不可操之过急；
全――答案要全，力避残缺不齐； 活――解题要活，不要生搬硬套；
细――审题要细，不能粗心大意； 清――书写清楚，不出笔误。
合理推理、优化思路、多思少算是快速、准确的解答填空题的基本要求。求解填空题的基本策略是要在“准”、“活”、“快”上下功夫。同时也要防止做得过快，也要防止在一个题上花太多的时间－－避免持久战（ 我们一向提倡“不择手段”，我们坚决反对“小题大做”）.
1、直接求解法
直接从题设条件出发，用定义、性质、定理、公式等，经变形、推理、计算、判断等得到正确结论.
此类题主要分布在试卷中的第1至8题中，属基础题.
如：1．设复数满足且是纯虚数，
则4－3i或－4＋3i．
2．某地教育部门为了了解学生在数学答卷中的有关信息，从上
次考试的10000名考生的数学试卷中，用分层抽样的方法抽取
500人，并根据这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图
（如图）. 则这10000人中数学成绩在[140，150]段的约是800 人.
解：
3.已知等差数列满足，则数列的前n项和的最小值为 ____.
解 由已知直接利用等差数列的通项公式，求得其公差，所以数列为递增数列，由 得，所以时的最小为
　法二：先可以先求Sn，根据二次函数求最值的方法来解决（n∈N＊））
4.　已知向量，则的最大值与最小值之和为____4_____
法一 代数方法 利用向量模的坐标计算公式(平方)
法二 借助模的运算性质(不等式) ，
法三 几何角度——圆
y
x
B
A
C
5. 已知的两顶点A、C是椭圆的两个焦点，
顶点B在椭圆上，则
解：由题得，，则
2.数形结合法:
根据题设条件的几何意义,画出辅助图形,借助图形的直观性,迅速作出判断的方法.文氏图、三角函数线、函数图像及方程的曲线,空间图形等,都是常用的图形。
此类题带有一定的综合性，主要分布在试卷中的第9至12题中，属中档题.
_
1
_
1
_
y
_
x
_
O
_
2
如：1、关于的方程有两个不相等的实根,则实数的取值范围是 .
解:令, 画图计算得
2. （我校考前训练卷六第9题）若条件P：x2+y2＜2；条件Q：|x|+|y|＜2；则条件P
是条件Q的 充分不必要 条件.
(从充要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要中选一个填写)
3.（2010年江苏卷9）在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅
有四个点到直线的距离为1，则实数c的取值范围是 （-13，13） [来
4 （2010年江苏卷10）设定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为，过点作轴的垂线，垂足为,直线与函数的图像交于点,则线段的长为_____
3．构造法:
在解题中有时需根据题目的具体情况,设计新的模式解题,这种设计方法，通常称之为构造法
1. 已知 ，且，则的大小关系为_____________________
法一 特殊值法
法二 构造函数法 等价于，即，设函数，
则 ，∵，∴时为减函数，时为增函数，
∴
2. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为 ____．
思路：着眼于题中的条件，构造函数，再对其求导.
4、转化法:
有的题目可以将命题转化，使问题化繁为简，化陌生的问题为熟悉的问题，从而将问题解决的方法。
1.已知关于的方程在（0,1］上有解，则实数的取值范围是__________
解法一 分类讨论(略)
解法二 ∵，∴原方程可以转化为，其中
即，又，≥2，∴
注 本题采用分离参数、转化的方法，将方程有解的问题转化为函数的值域问题来解决，避免了分类
讨论，过程简捷.
变式：若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是或 . 解：把a看作主元，则或，则求得的范围
2. 已知 ，则的最小值为____________
思路一 由已知得 ，联想到，
∴，解得，所以的最小值为
思路二 将上面的两边平方得，， ∴，
从而有分别为方程的两个根，
由可得，所以的最小值为
3、已知函数f (x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内不是单调函数，则实数m的取值范围是m＜．
解法一：转化为在定义域x＞0上有正有负.
即g (x)＝2mx2－2x＋1在定义域x＞0上有正有负. 当m＝0时，满足；
当m＞0时，对称轴，所以只需△＞0，∴，
当m＜0时，开口向下的抛物线且经过点(0，1)，满足。综上所述，
解法二 先求“ 当函数f (x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是单调函数，实数m的取值范围”――即转化为问题的对立事件
说明：1.通过转化，将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题来解决是我们解决此类问题的一种策略
2.再处理综合性较强的填空题时，有时要多种方法配合使用，如:
2011年江苏卷14. 设集合，，，，若， 则实数的取值范围是 ▲ ．
此题可借助数形结合，转化为两个“区域”有公共点的问题来处理，再通过代数方法――直接法来计算，当然题目中的 “隐含条件”要注意“推敲”.
5.特殊化求解法:
当填空题结论唯一或其值为定值时,我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之,即可得到结论
1.（江西卷）若函数是奇函数，则a= ．
【解析】对于奇函数f(x)，我们有f(-x)=-f(x)，用这个性质来解决此题固然是可以的，但作为一道填空题来讲，这样做的计算量就偏大了．在这里，我们先考虑一个特殊的函数值(函数的定义域为R)，就是f(0)， f(0)=0，所以在本题中，我们就有，也就是2a2=1，解得(舍负)．这里我们用到的就是解填空题常用的特殊值法．
2. 在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为,若成等差数列，则_____
答案：，考虑特殊情形，令来计算(或)

当某些问题常规方法一时难以解决时，可以采取的一种避重就轻的解题策略
当然有时，采用特殊法不一定严谨，也不一定正确，但这样处理是一种灵活机智的表现，它即可以帮我们“猜到”答案，也可以帮我们简化解题过程，如复习讲义――回归教材，第3页平面向量的例2（2011苏锡常镇二模试题又见38套），此题的常规解法是建立直角坐标系，转化为函数问题（求导）来解决。
题型示例
1、若，其中，是虚数单位，则 4
2、已知集合，，则 {0,1,2}
3、右面茎叶图表示的是甲，乙两人在次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为__________________。 ４/5

4、若某算法流程图如右图所示，则输出的值是 。45
5、计算：2sin20°＋cos10°＋tan20°×sin10°＝ ． 提示：切化弦，再通分
6、已知以1为首项的数列{an}满足：an＋1＝，则a20＝ ．2 提示：挖掘周期性

8．已知{an}是等差数列，若a12＋a52≤10，则a5＋a6＋…＋a9的最大值是 ．25
提示：可令a1=x,a5=y, 则原题化归为若x2+y2≤10,求 a5＋a6＋…＋a9 ＝的最大值
9.已知一个底面为正方形的长方体容器，若下底面和四个侧面的面积和27，则当容器的容积最大时，底面边长的值为____________． 3

10.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x－y＋3＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点．若＋2＝，且点C也在圆O上，则圆O的半径r＝ ．
提示：对＋2＝两边平方，先求出∠AOB=120°，再求圆心O到直线l的距离
A

O

11. 如图，，是双曲线的左、右焦点，
过的直线与双曲线的两支分别交于点，，若为
等边三角形，则双曲线的离心率为 ．
12.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x∈(0，＋∞)，
都有f[f(x)－x3]＝2，则过点(1，2)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程
是_____________．
3x-y-1=0 （注意 满足题意的只有一解）

提示：令f(x)-x3=a .......得f(x)＝x3+1

13

14．记集合P = { 0，2，4，6，8 }，Q = { m | m = 100a1 +10a2 + a3，且a1，a2，a3ÎP }，将集合Q中的所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是_______． 464

15. 如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为，记角A、B、C所对的边分别是a，b，c。
（1）若的值；
（2）若求的值。
解（1）k=tanB，故由已知可得：
原式； …7分
（2）解法一：∠AOB=，作OD⊥AB于D，
………11分
14分

16、如图，在三棱锥P - ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC为正三角形，
D，E，F分别是BC，PB，CA的中点．
（1）证明平面PBF⊥平面PAC；
（2）判断AE是否平行平面PFD？并说明理由；
（3）若PC = AB = 2，求三棱锥P - DEF的体积．
立体几何答题注意点：紧扣定理，规范答题，条件不多不少，辅助线注意虚实
解：（1）∵PC⊥平面ABC，BF平面ABC，∴PC⊥BF．
∵△ABC为正三角形，F 是CA的中点 ∴BF⊥AC．又∵PC∩AC = C．
∴BF⊥平面PAC． ∵BF平面PBF，∴平面PBF⊥平面PAC．
（2）AE不平行平面PFD．
反证法：假设AE∥平面PFD．∵AB∥FD，FD平面PFD，AB平面PFD
∴AB∥平面PFD．∵AE、AB 是平面ABE内两条相交直线，
∴平面ABE∥平面PFD．
而∵P∈平面ABE，P∈平面PFD，矛盾． 则假设不成立．即AE不平行平面PFD．
（3）∵D，E，F分别是BC，PB，CA的中点，PC⊥平面ABC，∴VP - DEF = VB - DEF ．
则VP - DEF = VP - BDF ＝××S△ABC ×PC＝×××=．

17.

18、【解析几何】已知椭圆C1:+y2=1的左顶点和下顶点分别为A，B，圆C2:x2+y2=1，且F是椭圆C1的右焦点.(1) 若点P是曲线C2上位于第二象限的一点，且△APF的面积为+,求证：AP⊥OP;
A
B
M
F
P
N
x
y
O
(2) 点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，求证：直线MN恒过定点.
解：(1)设曲线C1上的点P(x0,y0)，且x0<0,y0>0，由题意A(−,0),F(1,0).∵△APF的面积为+，
∴S△APF=·AF·y=(1+)y0=+，解得y0=,x0=−,
即P(,−),∴·=(,)·(−,)=0,∴AP⊥OP.
(2)设直线BM的斜率为k,则直线BN的斜率为2k，又两直线都过点B(0,−1)，∴直线BM的方程为y=kx−1，直线BN的方程为y=2kx−1.
由得(1+2k2)x2−4kx=0,解得xM=,yM=k·−1=，即M(,).
由得（1+4k2）x2−4kx=0,解得xN=,yN=2k·−1=，即N(,)
∴直线MN的斜率kMN===−
∴直线MN的方程为y−=−(x−).整理得y=−+1.∴直线MN恒过定点(0,1).
另附18.（我校最后一次周练）如图，椭圆C：x2＋＝1短轴的左右两个端点分别为A、B，
直线l：y＝kx＋1与x轴、y轴分别交于两点E、F，与椭圆交于两点C、D.
（Ⅰ）若＝，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线AD、CB的斜率分别为k1、k2，k1∶k2＝2∶1，求k的值.
19.

【备用】已知数列{xn}和{yn}的通项公式分别为xn=an和yn=(a+1)n+b, n∈N*.
（1）当a=3, b=5时，①试问：x2, x4分别是数列{yn}中的第几项？
②记cn=xn2，若ck是{yn}中的第m项(k, m∈N*)，试问：ck+1是数列{yn}中的第几项？请说明理由.
（2）对给定自然数a≥2，试问：是否存在b∈{1, 2}，使得数列{xn}和{yn}有公共项？
若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列{zn}，若不存在，请说明理由.

答案：（1）是数列{yn}中的第1项．是数列{yn}中的第19项．
②是数列{yn}中的第项．
（2）存在b∈{1, 2}，使得数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列，
且当时,数列；当时,数列.

20.已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，
① 方程有实数根；② 函数的导数满足．

【详细解析】（Ⅰ）因为①当时，，所以方程有实数根0；
②，所以，满足条件；

江苏省南京师范大学附属中学2013届高三数学考前指导 2013-5-29
（数学II 加试卷）
一、选做题
1、【矩阵】已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点（1）求实数a的值；（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.
解：（1）由=， ∴.
（2），则的特征多项式为 ，
令，得矩阵的特征值为与4.
当时， ∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为;
当时， ∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为.
2、【极坐标与参数方程】自极点O作射线与直线相交于点M，在OM上取一点P，使得，求点P的轨迹的极坐标方程．
解：以极点为坐标原点建立直角坐标系， 将直线方程化为，
设P，M，，
又MPO三点共线，， 转化为极坐标方程：．
二、必做题
1、【曲线与方程】已知抛物线的方程为，直线截抛物线所得弦.
(1) 求的值；
(2) 抛物线上是否存在异于点、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1) 由解得, 所以，所以.
(2) 由(1)得，,
假设抛物线上存在异于点、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.
令圆的圆心为，则由得
得，
因为抛物线在点处的切线斜率，
又该切线与垂直，所以
所以
因为，所以. 故存在点且坐标为.
2、如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线交于P，Q。
（1）若，求c的值；
（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）
解（1）设直线AB的方程为y=kx+c，将该方程代入y=x2得x2－kx－c=0
令A（a，a2），B（b，b2），则ab=﹣c
因为，解得c=2，或c=﹣1（舍去）
（2）由题意得 ，直线AQ的斜率为
又r=x2的导数为r′=2x，所以点A处切线的斜率为2a， 因此，AQ为该抛物线的切线
（3）（2）的逆命题成立，证明如下：
设Q（x0，﹣c）若AQ为该抛物线的切线，则kAQ=2a，
又直线AQ的斜率为，所以

得2ax0=a2+ab，因a≠0，有 ， ∴ P为线段AB的中点
3、【概率】如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，
其中、、、是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处.今
在道路网处的甲、乙两人分别要到处，他们分别随机地选择
一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达为止.
（１）求甲经过到达的方法数；
（２）求甲、乙两人在处相遇的概率；
（３）求甲、乙两人相遇的概率.
解：（１）甲经过到达，可分为两步：第一步，甲从到的方法数为种； 第二步，甲从到的方法数为种；所以甲经过到达的方法数为种.
（２）由（１）知，甲经过的方法数为种；乙经过的方法数也为种.
故甲、乙两人在处相遇的概率为.
（３）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，他们在相遇的走法有种方法；所以甲、乙两人相遇的走法有＝164种，
故甲、乙两人相遇的概率. 答：（1）方法数种； （2）相遇的概率为；（3）。。。
4、【空间向量与立体几何】如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD， PD=CD，E是PC的中点。(1)证明：PA∥平面BDE； (2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
(3)在棱PB上是否存在点F, 使PB⊥平面DEF? 证明你的结论。
解：(1) 以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设PD=CD=2，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，
=(2,0,-2)，=(0,1,1)，=(2,2,0)。
设=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量，
则由，得 ；取y=－1，=(1,-1,1)，
∵·=2-2=0，∴⊥，又PAË平面BDE，∴PA∥平面BDE。
(2) 由(1)知=(1,-1,1)是平面BDE的一个法向量, 又==(2,0,0)是平面DEC的一个法向量。
设二面角B-DE-C的平面角为θ,由图可知θ=<,>，
∴ cosθ=cos<,>===，故二面角B-DE-C余弦值为。
(3)∵=(2,2,-2)，=(0,1,1)，∴·=0+2-2=0，∴PB⊥DE。
假设棱PB上存在点F，使PB平面DEF，设=λ(0＜λ＜1)，
则 =(2λ, 2λ,-2λ)，=+=(2λ, 2λ,2-2λ)， 由·=0 得 4λ2 +4λ2-2λ(2-2λ)=0，
∴ λ=∈(0,1)，此时PF=PB， 即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF