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高数下期中考试

高等数学（下册）期中考试汇编
(-5-5)
一、解答下列各题（分）
1. 设，求
2. 设曲线为，求它在对应于的点处的切线方程和法平面方程.
3. 设有球面，求它在处的切平面方程和法线方程.
4. 设由方程可确定，求在处的值.
5. 设积分区域由抛物面及平面所围成。求
6. 计算二重积分，其中是由和及所围在第一象限的区域.
7. 计算二重积分.
8. 在圆锥面与所围的锥体内作一种底面平行于面的最大长方体，求此长方体的体积.
9. 在一种侧面为旋转抛物面的容器内装有的水，现注入的水，问水面比本来升高多少？

10. 求向量值函数的导数，其中
二、设，其中具有二阶持续偏导数，求
三、讨论函数在点与否持续，与否可微.
四、设是由曲面及围成的空间立体，求对轴的转动惯量
五、设在上持续，且满足方程，其中是由不等式所确定，求
(-4-21)
一．填空题（每题5分，共20分）
1．曲线，上对应于的点处的切线方程是
2．在点处沿点指向点方向的方向导数为
3．曲面，在点处的切平面方程为
4．若函数在点处获得极值，则常数
二．计算下列各题（每题9分，共54分）
1）计算
2）计算二重积分，
3）设，其中具有持续的二阶偏导数，求和
4）求椭球面被平面截得的椭圆长半轴与短半轴之长.
5．在曲面 上作切平面，使该切平面与三坐标面所围成的体积最大，求切点的坐标.
6．设函数，其中二阶可导，① 求，② 求二重积分，其中是由围成的平面区域.
三. (9分)(学习工科数学分析者作(1),其他作(2))
1）设有二元向量值函数，试求在点处的导数与微分.
2)．设，由所确定，求
四．（11分）讨论函数在点处与否持续，偏导与否存在，与否可微？

五．（6分）已知有持续二阶偏导数，且满足试求函数的体现式.
(-4-23)
一、填空题（每题5分共20分）
1．函数，在点处的全微分 .
2．设，则在点处的方向导数的最大值为 .
3．设有椭球面，则它在点处的切平面方程为
4．设由方程所确定，则
二．单项选择题（每题5分，共20分）
1．在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（ ）
A．只有1条 B．只有2条 C．只有3条 D不存在
2．（ ）. 其中
A． B． C．1 D．
3．设持续,互换积分次序后为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数在点处（ ）
A．无定义 B．持续 C．有极限但不持续 D．无极限
三、（10分）设函数可微，是由方程确定的可微函数，求.
四、（10分）讨论函数在处持续性、可导性、可微性.
五、（10分）在曲面上求一点，使它到平面的距离最短.
六、（10分）计算.
七、（10分）计算二重积分
八、(4分)(学习工科数学分析者作(1),其他作(2))
(1) 求向量值函数的Jacobi矩阵.
(2) 求函数的梯度(的偏导存在).
九. （6分）求抛物面的一种切平面,使得它与抛物面及圆柱围成的体积最小，试写出切平面方程并求出最小体积.
(-5-8)
一、 填空题（每题4分，共20分）
1 设，则 .
2 设，则它在所对应点处的切线方程为 .
3 设，则 .
4 设，则在点处沿方向的方向导数为 .
5 计算 .
二、 计算题（每题7分,共63分）
1 求曲面在点的切平面方程和法线方程.
2 计算.
3 设，其中具有二阶持续偏导数，求.
4 讨论函数在点的偏导数及可微性.
5 设有形状为旋转抛物面的一容器,其中心轴截面与容器的截线方程为,现将长为的细棒置于容器之中,试求细棒中点的最低位置(设).
6 (学工科数学分析者作(1),其他作(2))
(1)求向量值函数在点处的导数.
(2)求由方程所确定的隐函数的二阶偏导数.
7 计算二重积分，其中.
8 若二元函数在平面上的任意一种有界闭区域内存在一阶持续的偏导数，且，求函数.
9 设函数在上持续，且满足方程
,求.
三、 讨论题（共17分）
1.计算二元函数在点处对的偏导数时,可以先将代入中,再求一元函数在处对的导数,即,为何?

2.试通过讨论函数的极值点,来阐明当点在过的任一直线上变动时,二元函数都在处获得极值,能否断定该函数在处获得极值?

（-4-26）
一、 填空题（每题3分，共15分）
1． 若函数在点处获得极值，则常数 .
2． ，沿方向的方向导数 .
3． 曲线在点处的切线方程是 .
4． 互换二次积分的积分次序（其中为持续函数）
.
5． 设是曲面上的一点，若，在任一点处有，则曲面在处的切平面方程是 .
二、单项选择题（每题3分，共15分）
1. 函数在原点间断的原因是（ ）
A. 在原点无定义 B. 在原点极限存在但在原点无定义
C. 在原点极限不存在 D. 在原点极限存在，但极限不等于原点的函数值
2. 函数在点处（ ）
A. 获得极大值 B. 获得极小值 C. 无极值 D. 不能鉴定与否获得极值
3. 设则（ ）
A. B. C. D.
4. 设是持续函数，平面区域，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 比较与的大小，其中，则（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（每题8分，共64分）
1. 设，求和.
2. 求曲面上任一点处的切平面与三个坐标轴的截距之和。
3. 计算二重积分.
4. 设，其中，求.
5. 讨论函数在原点处的可微性.
6. 设有一物体，它是由曲面和所围成，已知它在任意的点处的密度，求此物体的质量.
7. (学习工科数学分析者作①，学习工科数学分析者作②)
①求向量值函数的导数.
② 设函数由方程所确定.其中可微，，求.
8. 设，其中具有二阶持续偏导数，求及.
四、综合题（6分）
在第一卦限内作旋转抛物面的切平面，使得该切平面与旋转抛物面及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点坐标.
一.解答下列各题(每题7分,共70分)
1. 设求.
2. 设由方程可确定,求，.
3. 求曲面在点(2,1,4)的切平面与法线方程.
4. 求曲线时的切线与法线方程。
5. 设持续，互换积分次序.
6. 计算二重积分.
7. 设空间立体是由抛物面及平面所围成,已知它的密度为.试计算它的质量.
8. 求在点 处的方向导数的最大值.
9. 求曲线的曲率.
10.（学工科数学分析者做①，其他做②）
① 设求
② 设方程组 ,确定了函数和 求.
二. （8分）设其中, 求.
三. （8分） 设,试研究在(0,0)点处的持续性、可微性.
四. （7分） 求曲面在点的切平面与曲面所围立体的体积。.
五. （7分） 设函数在闭球体上有持续的偏导数,且满足条件：①在内， ②。
试求函数并证明
()
一、解答下列各题（每题7分，总计70分）
1、设，其中具有一阶持续偏导数，求.
2、设，求.
3、求曲面,在处的切平面和法线方程。
4、设，求。（求的极值）
5．求曲线在处的切线和法平面方程。
6．若为可微函数，其中，计算。
7．在直角坐标系下，互换二次积分的积分次序。（持续）。
8．设有一物体由曲面和所围成，已知它在任意一点处的密度，求此物体的质量。
9．一质量分布均匀（密度为常数）的物体由曲面及所围成，求此物体的质心坐标。
10．计算。
二、（8分）设由方程确定，其中具有一阶持续偏导数，求.
三、（8分）设，试讨论在点(0,0)处的持续性和可微性.
四、（8分）在第一卦限内作旋转抛物面的切平面，使得该切平面与旋转抛物面及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点的坐标。
五、（6分） 设在单位圆上有持续的一阶偏导数，且在边界上取值为零，证明：，其中为圆环域.
()
一、 解答下列各题（每题7分，总计70分）
1、设，其中具有一阶持续偏导数，求.
2、设，其中具有二阶持续偏导数，求
3、求曲线上一点处与平面平行的切平面方程。
4、求曲面的平行于平面的切平面方程。
5、互换二次积分的积分次序：。
6、计算
7、设是持续函数，试将在极坐标系下为二次积分。
8、设函数，问在点处沿怎样的方向，的变化率最大？并求此最大变化率。

9、计算二重积分，其中为所围平面区域。
10、（注学习工科分析基础的作（1），其他作（2）
（1） 证明等式，其中是由直线与双曲线所围成的位于第一象限的闭域。
（2） 把正数提成三个正数之和，并使获得最大值。
二、（8分）设其中具有二阶持续偏导数，求.
三、（8分）从平面薄圆板的内部挖去一种园孔后，得到一种薄板，若其上名点处的密度为，求此薄板的质量。
四、（7分）证明：在点(0,0)处偏导数存在但不可微。.
五、（7分）若点是光滑曲面上与原点距离近来的点，试证过点的法线必然过坐标原点.
()
一、解答下列各题（每题6分，总计12分）
1、求曲线在点处的切线方程.
2．将化为极坐标系中先对后对的二次积分。
二、解答下列各题（每题6分，总计12分）
1．在曲线上求点，使该点处曲线的切线平行于平面.
2、求曲面在点(1,1,1)处的切平面方程.
三、（8分）计算，其中.
四、（7分）设，其中为可微函数，求.
五、（7分） 设函数具有持续的一阶偏导数，而，求.
六、（7分）证明：在点(0,0)处不持续，但存在一阶偏导数.
七、（9分）在椭球面上求距离平面的近来点和最远点.
八、（9分）设是由方程和所确定的函数，其中和分别具有一阶持续导数和一阶持续偏导数，求.
九、（9分）设球体中每点的质量密度与该点到坐标原点的距离平方成反比.试求该球体的质量与质心.
十、（9分）试求正数的值，使得曲面与曲面在某点相切.
十一、（8分）设由及所围的均匀薄板（密度）求此薄板绕哪一条垂直于轴的直线旋转时转动惯量最小？

()
一、解答下列各题(每题5分，总计15分)
1、设，，，求.
2、求曲线在点处的切线方程.
3、设为持续函数，互换累次积分的积分次序.
二、解答下列各题(每题6分，总计12分)
1、试求平行于轴，且过点及的平面方程.
2、试求曲面在点处的切平面方程.
三、(8分)设区域D由及所确定，计算二重积分.
四、(7分)设，求.
五、(7分)设，求.
六、(7分)一直线在平面上，且和两直线
都相交，求该直线的方程.
七、(9分)求函数在闭域上的最小值和最大值.
八、(9分)设，其中具有一阶持续的偏导数，且，求
九、(9分)计算由曲面围成的曲顶柱体的体积.
十、(9分)求函数在点处沿椭球面外法线方向的方向导数.
十一、(8分)设在点处持续，存在，试证在点处可微.
()
一、 解答下列各题(每题6分，共60分)
1． 求向量，使其与与都垂直，模为26，且与轴成钝角.
2． 求过点且垂直于平面的平面方程.
3． 一直线在坐标面上，且通过原点，又垂直于直线，求它的对称式方程.
4． 设，其中由方程确定，而具有持续的一阶偏导数，且， 求
5． 设，求.
6． 求曲线在点处的切线和法平面方程.
7． 求函数极值.
8． 变化二次积分的积分次序，其中持续.
9． 计算积分.
10．求函数在点处沿球面的外法线方向的方向导数.
二、（10分）设函数，其中具有二阶持续的偏导数，求.
三、（10分）试讨论函数在处的持续性与可微性.
四、（10分）设半径为的球面其球心位于定球面上，试求的值，使得球面位于定球面内部的那一部分面积获得最大值.
五、（10分）证明：抛物面上任一点处的切平面与曲面所围成的立体的体积为一定值.