二次函数单元测试及答案.doc

单元评价检测(二)
第二十二章
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题4分,共28分)
1.(2013·哈尔滨中考)把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是(　　)
A.y=(x+2)2+2　　 B.y=(x+2)2-2
C.y=x2+2　　　 D.y=x2-2
【解析】选D.抛物线y=(x+1)2的顶点为(-1,0),平移后的顶点为(0,-2),所以得到的抛物线的解析式为y=x2-2.
2.已知二次函数y=ax2+k的图象如图所示,则对应a,k的符号正确的是(　　)

A.a>0,k>0 　　 B.a>0,k<0
C.a<0,k>0 　　 D.a<0,k<0
【解析】选D.二次函数y=ax2+k的图象开口向上时a>0,开口向下时a<0;图象交于y轴正半轴时k>0,交于y轴负半轴时k<0.由图象知a<0,k<0.
3.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是(　　)
A.2　　 B.1　　 C.-1　　　 D.-2
【解析】选A.依据y=a(x-h)2+k(a≠0),当a>0,x=h时,y最小值=k,因为a=1>0,所以二次函数有最小值.当x=1时,y最小值=2.
4.(2013·徐州中考)二次函数y=ax2+bx+c上部分点的坐标满足下表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
-3
-2
-3
-6
-11
…
则该函数图象的顶点坐标为(　　)
A.(-3,-3)　　 B.(-2,-2)
C.(-1,-3)　　 D.(0,-6)
【解析】选B.因为二次函数具有对称性,点(-3,-3)与点(-1,-3)关于对称轴对称,故(-2,-2)为二次函数的顶点坐标.
5.(2013·襄阳中考)二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示:若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x1<x2<1,则y1与y2的大小关系是(　　)

A.y1≤y2 B.y1<y2
C.y1≥y2 D.y1>y2
【解析】选B.由图象可知抛物线的对称轴为直线x=1.
∵点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,且x1<x2<1,
∴点A,B都在对称轴的左侧.
∵抛物线y=-x2+bx+c的开口向下,在对称轴左侧,y随x增大而增大,∴y1<y2.
6.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),无论k取何值,其图象的顶点都在(　　)
A.直线y=x上　　 B.直线y=-x上
C.x轴上　　　 D.y轴上
【解析】选B.顶点为(-k,k),当x=-k时,y=k=-(-k)=-x,故图象顶点在直线y=-x上.
【互动探究】若题目中的二次函数“y=a(x+k)2+k(a≠0)”改为“y=a(x-k)2+k(a≠0)”,则无论k取何值,其图象的顶点都在哪条直线上?
【解析】二次函数y=a(x-k)2+k(a≠0)的顶点为(k,k),此时x=k,y=k,即y=x,所以图象顶点在直线y=x上.
7.(2014·海淀模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其对称轴为直线x=-1,给出下列结果:

(1)b2>4ac. (2)abc>0.
(3)2a+b=0. (4)a+b+c>0. (5)a-b+c<0.
则正确的结论是(　　)
A.(1)(2)(3)(4)　　　 B.(2)(4)(5)
C.(2)(3)(4)　 D.(1)(4)(5)
【解析】选D.因为二次函数与x轴有两个交点,所以b2>4ac,(1)正确;抛物线开口向上,所以a>0,抛物线与y轴交点在负半轴上,所以c<0,又-=-1,所以b>0,b=2a,所以abc=2a2c<0.所以(2)错误;(3)错误;由图象可知当x=1时,y>0,即a+b+c>0,所以(4)正确;由图象可知当x=-1时,y<0,即a-b+c<0,所以(5)正确.
二、填空题(每小题5分,共25分)
8.(2014·黄冈模拟)如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,那么k=　　　　　.
【解析】根据二次函数的定义,得k2-3k+2=2,解得k=0或k=3.又∵k-3≠0,
∴k≠3.∴当k=0时,这个函数是二次函数.
答案:0
9.(2013·宿迁中考)若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是　　　　　.
【解析】分两种情况:
(1)当m=0时,函数为一次函数y=2x+1,该函数的图象与x轴只有一个公共点.
(2)当m≠0时,由抛物线y=mx2+2x+1与x轴只有一个公共点,得Δ=22-4×m×1=0,解得m=1.
综上所述,常数m的值是1或0.
答案:1或0
【易错提醒】图象与x轴有一个公共点,分两种情况,不要误认为函数只是二次函数,也可以是一次函数,本题易遗漏一次函数的情况.
10.把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则a+b+c=　　　　.
【解析】y=x2-3x+5=x2-3x+-+5=+.
把它向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度得y=++2,
即y=+=x2+3x+7,
∴y=ax2+bx+c=x2+3x+7,
∴a=1,b=3,c=7,
∴a+b+c=1+3+7=11.
答案:11
【变式训练】如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-1,0)和(0,-1)两点,则化简代数式+=　　　　　.

【解析】把(-1,0)和(0,-1)两点代入y=ax2+bx+c中,得a-b+c=0,c=-1,∴b=a+c=a-1.
由图象可知,抛物线对称轴x=-=->0,且a>0,∴a-1<0,0<a<1.
∴+=+
=+=a+-a+=.
答案:
11.如图,四边形ABCD是矩形,A,B两点在x轴的正半轴上,C,D两点在抛物线y=-x2+6x上,设OA=m(0<m<3),矩形ABCD的周长为l,则l与m的函数解析式为　　　　　　　　.

【解析】由OA=m可知点D的横坐标为m,
又∵点D在抛物线
y=-x2+6x上,
∴点D的纵坐标为-m2+6m,即AD=-m2+6m;
当y=0时,-x2+6x=0,解得x1=0,x2=6,
∴抛物线与x轴另一个交点E的坐标为(6,0),
∴OE=6,∵OA=m,
由抛物线的对称性可知BE=m,
∴AB=6-2m.
∴矩形ABCD的周长l=2(AD+AB)=2(-m2+6m+6-2m)=-2m2+8m+12.
答案:l=-2m2+8m+12
12.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三顶点A,B,C,则ac的值是　　　　　.

【解析】设A点坐标为(0,2m),则C点坐标为(m,m),
故即am=-1.
又因为c=2m,所以a·=-1,ac=-2.
答案:-2
三、解答题(共47分)
13.(10分)(2013·镇江中考)如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)经过原点O和点A(2,0).

(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标.
(2)点(x1,y1),(x2,y2)在抛物线上,若x1<x2<1,比较y1,y2的大小.
(3)点B(-1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,求直线AC的函数解析式.
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx经过原点O和点A(2,0),而OA的中点为(1,0),
∴抛物线的对称轴与x轴的交点坐标为(1,0).
(2)∵该抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x的增大而减小,而x1<x2<1,故y1>y2.
(3)∵点B(-1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,∴C(3,2).
设直线AC的函数解析式为y=kx+m,则解得
∴直线AC的函数解析式为y=2x-4.
14.(12分)如图,二次函数y=ax2-4x+c的图象过原点,与x轴交于点A(-4,0).

(1)求此二次函数的解析式.
(2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标.
【解析】(1)依题意,得
解得
∴二次函数的解析式为y=-x2-4x.
(2)令P(m,n),
则S△AOP=AO·|n|=
×4|n|=8,解得n=±4,
又∵点P(m,n)在抛物线
y=-x2-4x上,
∴-m2-4m=±4,分别解得m1=-2,m2=-2+2和m3=-2-2,
∴P1(-2,4),P2(-2+2,-4),P3(-2-2,-4).
15.(12分)(2013·牡丹江中考)如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(-4,-3),与y轴交于点B,对称轴是x=-3,请回答下列问题:
(1)求抛物线的解析式.
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点,点C在对称轴左侧,且CD=8,求△BCD的面积.注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-.

【解析】(1)∵对称轴是x=-=-3,a=1,∴b=6.
又∵抛物线y=x2+bx+c过点A(-4,-3),
∴(-4)2+6×(-4)+c=-3,解得c=5.
∴抛物线的解析式为y=x2+6x+5.
(2)∵和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点,点C在对称轴左侧,且CD=8,
∴点C的横坐标为-7,∴点C的纵坐标为y=(-7)2+6×(-7)+5=12.
又∵抛物线的解析式为y=x2+6x+5与y轴交于点B(0,5),
∴CD边上的高为12-5=7,
∴△BCD的面积为×8×7=28.
16.(13分)(2013·义乌中考)为迎接中国森博会,某商家计划从厂家采购A,B两种产品共20件,产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数,表中提供了部分采购数量.
采购数量(件)
1
2
…
A产品单价(元/件)
1 480
1 460
…
B产品单价(元/件)
1 290
1 280
…
(1)设A产品的采购数量为x(件),采购单价为y1(元/件),求y1与x的解析式.
(2)经商家与厂家协商,采购A产品的数量不少于B产品数量的,且A产品采购单价不低于1200元,求该商家共有几种进货方案.
(3)该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A,B两种产品,且全部售完,在(2)的条件下,求采购A种产品多少件时总利润最大,并求最大利润.
【解析】(1)设y1与x的解析式为y1=kx+b,
解得k=-20,b=1500,
∴y1与x的解析式为y1=-20x+1500(0<x≤20,x为整数).
(2)根据题意得

解得11≤x≤15.
∵x为整数,
∴x可取11,12,13,14,15,
∴该商家共有5种进货方案.
(3)设总利润为W,
根据题意可得B产品的采购单价可表示为:
y2=-10(20-x)+1300=10x+1100,
则W=1760x+1700(20-x)-(-20x+1500)x-(10x+1100)(20-x)
=30x2-540x+12000
=30(x-9)2+9570.
∵a=30>0,∴当x≥9时,W随x的增大而增大.
∵11≤x≤15,∴当x=15时,W最大=10650.
答:采购A产品15件时总利润最大,最大利润为10650元.