初三培优训练题daan.doc

初三培优训练题
1、如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
2、规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如： []=0，[3.14]=3。按此规定 []的值为 。
【答案】4。
【考点】新定义，估计无理数的大小。
【分析】∵9＜10＜16，∴。∴。
3、如果关于x的不等式组：，的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有 个。
4、在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【 】

A.10 B. C. 10或 D.10或
【答案】C。
【考点】图形的剪拼，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理
【分析】考虑两种情况，分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的。根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长：

①如左图：∵，点E是斜边AB的中点，∴AB=2CE=10 。
②如右图：
∵，点E是斜边AB的中点，∴AB=2CE=。
因此，原直角三角形纸片的斜边长是10或。故选C。

5. （2012浙江宁波3分）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【 】

A．90 B．100 C．110 D．121
【答案】C。
【考点】勾股定理的证明。
【分析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。
所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，
因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110。故选C。
6、 （2012福建南平4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【 】

A． B． C． D．3
【答案】B。
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。
【分析】∵正方形纸片ABCD的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3。
根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。
设DF=x，则EF=EG＋GF=1＋x，FC=DC－DF=3－x，EC=BC－BE=3－1=2。
在Rt△EFC中，EF2=EC2＋FC2，即（x＋1）2=22＋（3－x）2，解得：。
∴DF= ，EF=1＋。故选B。
7、. （2012山东泰安3分）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【 】

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D。
【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。
【分析】连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。
∵E是AC中点，∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE（AAS）。
∴DE=HE，DC=AH。
∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线。∴EF=BH。
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。故选D。

8、. （2012河南省3分）如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A, ，则下列结论不一定正确的是【 】

A．BA⊥DA B．OC∥AE C．∠COE=2∠CAE D．OD⊥AC
【答案】D。
【考点】切线的性质，圆周角定理，平行的判定，垂径定理。
【分析】由为直径，AD为切线，根据切线的性质可知：BA⊥DA。故A正确。
∵根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得。
∴。∴OC∥AE。故B正确。
由“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可以判断C正确。
根据垂径定理，只有在点E是的中点时，OD⊥AC才成立。故D不正确。
故选D。
9. （2012北京市4分）在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点
A（0，4），点B是轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点
B的横坐标的所有可能值是 ▲ ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n
的代数式表示．）

【答案】3或4；6n－3。
【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质。
【分析】根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案：
如图：当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1），
（1，2），（2，1），共三个点，∴当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4。
当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，
∵以OB为长OA为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n－1）×3=12 n－3，对角线AB上的整点个数总为3，
∴△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=（12 n－3－3）÷2=6n－3。

10. （2012广东汕头4分）如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 ▲ （结果保留π）．

【答案】。
【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算
【分析】过D点作DF⊥AB于点F。
∵AD=2，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2。
∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积
=。
10. （2012广东深圳3分）如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 ▲ ．

【答案】7。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，过O作OF垂直于BC，再过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB。
∴∠AOM+∠BOF=90°。
又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°。∴∠BOF=∠OAM。
在△AOM和△BOF中，
∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF， OA=OB，
∴△AOM≌△BOF（AAS）。∴AM=OF，OM=FB。
又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形。∴AM=CF，AC=MF=5。
∴OF=CF。∴△OCF为等腰直角三角形。
∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=（6）2，解得：CF=OF=6。
∴FB=OM=OF－FM=6－5=1。∴BC=CF+BF=6+1=7。

11. （2012江苏泰州3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这
些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ▲ ．

【答案】2。
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。
【分析】如图，连接BE，交CD于点F。
∵四边形BCED是正方形，
∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF。
根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP。
∴DP：CP=BD：AC=1：3。∴DP=PF=CF= BF。
在Rt△PBF中，。
∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2。
12. （2012湖北襄阳3分）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是 ▲ ．
【答案】4或或。
【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】根据题意画出AB=AC，AB=BC和AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可：
（1）如图，当AB=AC时，
∵∠A=30°，

∴CD=AC=×8=4。
（2）如图，当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°。
∴∠ACD=60°。∴∠BCD=30°
∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=4。
（3）如图，当AC=BC时，则AD=4。
∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=。
综上所述，AB边上的高CD的长是4或或。
13、（2012山东日照4分）如图，过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A=63°，那么∠θ= ▲ ．[来︿源

【答案】180。
【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形外角定理。
【分析】如图，连接CE，DE，
∵过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，
∴AE=CE=DE=DB。∴∠A=∠ACE，∠ECD=∠CDE，∠DEB=∠DBE=∠θ。
∵∠A=63°，∴∠AEC=1800－2×630=540。
又∵∠ECD=∠CDE=2∠θ，∴∠AEC=∠ECD＋∠DBE=3∠θ，即3∠θ=540。∴∠θ=180。
14 （2012河北省3分）用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 ▲ 。

【答案】6。
【考点】正多边形内角和定理，周角定义。
【分析】∵正六边形的每个内角为，
∴围成一圈后中间形成的正多边形的一个内角，它也是正六边形。
∴n=6。
15.（2012广东茂名3分）如图，⊙O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB=2，OA=4，将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，则OC= ▲ ．

【答案】2。
【考点】切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】∵OB⊥AB，OB=2，OA=4，
∴在Rt△ABO中，sin∠OAB=。∴∠OAB=60°。
又∵∠CAB=30°，∴∠OAC=∠OAB﹣∠CAB=30°。
∵直线l2刚好与⊙O相切于点C，∴∠ACO=90°。
∴在Rt△AOC中，OC=OA=2（30°角所对的直角边是斜边的一半）。

16. （2012广西河池10分）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.
(1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年
底电动自行车将达到多少辆？
(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车
位1000元/个，露天车位200元/个.考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.
【答案】解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，则
125（1+x）2=180，解得x1=0.2=25%，x2=－2.2（不合题意，舍去）。
∴180（1+20%）=216（辆）。
答：该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆。
（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，则
，
由①得b=150－5a，代入②得20≤a≤
∵a是正整数，∴a=20或21。
当a=20时b=50；当a=21时b=45。
∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个；
方案二：室内车位21个，露天车位45个。