活用幂的运算法则专项提升习题及解析.docx

整 式 的 乘 除 专 项 提 升
—活用指数法则（兼作竞赛辅导）
黄文桃

题组训练与解析

题组A 指数法则灵活运用于计算与求值1
1 计算 ① ( 25 )2014×( -212 )2013
② （2126）3×（1314）4×（43）5

3 求解
①若10m∙10000=102014，求m的值
② 若3×9m×27m=311，求m的值。

3 求解
① am=2 ,    an=3，求 a2m+3n 的值。
②若3x=4，9x=7，求 3x-2y的值。
③若x2n=7 ( n为正整数 )，求 (3x3n)2-13(x2)2n的值。

解析1 计算：
① ( 25 )2014× -212 2013 （2126）3×（1314）4×（43）5
解析：活用有关法则
① 原式 =25×(25)2013×-522013
   =25×(-25×52)2013
   =25×(-1)2013    =-25
②原式=(2126×1314×43)3×1314×(43)2
=13×1314×169
=10463

解析2 ① 若10m∙10000=102014，求m的值

若3×9m×27m=311，求m的值。
解析：化为同底数幂

解析 3 ①若am=2 ,    an=3，求 a2m+3n 的值。
②若3x=4，9x=7，求 3x-2y的值。
③若x2n=7 ( n为正整数 )，求 (3x3n)2-13(x2)2n的值。
解析：活用有关法则

题组B：指数法则灵活运用于大小比较与求值

1. ① 比较24与33你肯定会！那你能不能比较2100与375的大小呢？
比较大小：3555,  4444,  5333

2. 已知a,  b互质，且(amb2∙abn)5=a15b20，求 (3m)n的值。

3. 已知3x=4 ,    3y=6 , 求    92x-y+27x-y 的值。

解析4
1 比较24与33你肯定会！那你能不能比较2100与375的大小呢
比较大小：3555,  4444,  5333
解析① 将2100与375转化为同指数的幂的乘方
∵ 2100=（24）25=1625， 375=（33）25=2725
且 16＜27
∴ 1625＜2725 即 2100＜375
② 类似的：
  3555=(35)111
  4444=(44)111
  5333=(53)111
然后比较35、44、53的大小。
解析5 已知a,  b互质，且(amb2∙abn)5=a15b20，求 (3m)n的值。
解析∵(amb2∙abn)5=a15b20
∴(am+1bn+2)5=a15b20
∴(am+1bn+2)5=(a3b4)5
∴am+1bn+2=a3b4
∵ a,   b互质
∴m+1=3n+2=4 
∴ m=2n=2
∴ (3m)n=3nmn=32×22=36
解析6 已知3x=4 ,    3y=6 , 求    92x-y+27x-y 的值。
解析：把所求式子用3x ,    3y表示。
92x-y+27x-y = (3x)4÷(3y)2 + (3x)3÷(3y)3

题组C ：指数法则灵活运用于论证与求值
1. 已知 2a=3 , 2b=6 , 2c=12 ，则下列关系正确的是
A. a=b+c B. 2b=a+c C. 2c=a+b D. C=2a+b
2. 已知a、b、c都为正数，且 1a2=b3=c6. 求abc的值。
3. 已知 3n+m 能被10整除，试证明3n+4+m 也能被10整除。

解析7 已知 2a=3 , 2b=6 , 2c=12 ，则下列关系正确的是
A. a=b+c B. 2b=a+c C. 2c=a+b D. C=2a+b
解析：把12用3和6的乘积或商表示
12=623 即 3×12=62
∴ 2a×2c=(2b)2
∴2a+c=22b
∴a+c=2b

解析8. 已知a、b、c都为正数，且 1a2=b3=c6. 求abc的值。
解析：
设 1a2=b3=c6=k.
则 a2=1k , b3=c6=k
然后都“凑成”6次幂。
∴ a6=1k3 , b6=k2 , c6=k
∴ a6b6c6=1
又a、b、c都为正数
∴   abc=1

解析9. 已知 3n+m 能被10整除，试证明3n+4+m 也能被10整除。
解析
设3n+m=10 k ( k为整数 )
则 3n+4+m = 3n×34+m=81×3n+m
又 3n+m=10 k
∴ m=10 k-3n
∴ 3n+4+m
=81×3n+10 k-3n
=80×3n+10 k
= 10（8×3n+k）
∴ 3n+4+m 能被10整除