高等数学-偏-导-数-课件复习进程.ppt

*,第二节 偏 导 数,偏导数的定义及其计算法,偏导数的几何意义,高阶偏导数,小结,partial derivative,higher-order partial derivative,第九章 多元函数微分法及其应用,1,一、偏导数的定义及其计算法,定义,存在,内有定义，,函数有相应的增量,如果极限,则称此极限为函数,偏 导 数,(称为,关于,x,的偏增量,).,记为,对,x,的偏导数,2,记为,同理,可定义函数,为,记为,偏 导 数,对,x,的偏导数,对,y,的偏导数,3,那么这个偏导数,仍是,的二元函数,它就称为函数,如果函数,对自变量,x,的偏导函数,(简称偏导数),记作,或,同理,可定义函数,对自变量,y,的,偏导函数,(简称偏导数),记作,或,偏 导 数,在区域,D,内任一点,(,x,y,)处对,x,的偏导数都存在,4,偏导数的概念可以,推广到二元以上函数,如,偏 导 数,5,求多元函数的偏导数,例,求 在点(1,0)处的两个偏导数.,解,利用一元函数,只需将,y,的求导法对,x,求导即可.,看作常量,并不需要新的方法,偏 导 数,例,求 的偏导数.,解,6,解法,1:,解法,2:,在点,(1,2),处的偏导数.,例,7,三个偏导数.,解,求某一点的偏导数时,例,变为一元函数,代入,在点(1,0,2)处的,可将其它变量的值,再求导,常常较简单.,偏 导 数,8,证,偏导数的记号只是一个整体记号,不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商.,例,偏 导 数,9,二、偏导数的几何意义,偏 导 数,设二元函数,在点,有,如图,为曲面,偏导数.,上的一点,过点,作,平面,此平面,与曲面相交得一曲线,曲线的,方程为,由于偏导数,等于一元函数,的,导数,故由,一元函数导数的几何意义,10,偏 导 数,可知:,偏导数,在几何上表示,曲线,在点,处的切线对,x,轴,的斜率;,偏导数,在几何上表示,曲线,在点,处的切线对,y,轴,的斜率.,11,思考,曲线,在点(2,4,5)处的,切线,与,x,轴正向所成的倾角是多少?,解,在点(2,4,5)处的,切线,与,y,轴正向所成的倾角是多少?,思考,偏 导 数,曲线,12,偏 导 数,解,例,按,定义,得,13,注,但前面已证,此函数在点(0,0)是,不连续,的.,偏 导 数,按,定义,得,由以上计算可知,在点,处,可偏导,14,偏导数存在与连续的关系,？,一元函数中在某点可导,连续,多元函数中在某点偏导数存在,连续,不了连续性.,偏导数都存在,函数未必有极限,更保证,偏 导 数,15,1997年研究生考题,选择,3分,A,.连续,偏导数存在;,B,.连续,偏导数,不存在;,C,.不连续,偏导数存在;,D.,不连续,偏导数不存在.,C,偏 导 数,16,二元函数,f,(,x,y,),在点,(,x,0,y,0,)处两个偏导数,f,x,(,x,0,y,0,),f,y,(,x,0,y,0,)存在是,f,(,x,y,)在该点连续的,().,A,.,充分条件而非必要条件,B,.,必要条件而非充分条件,C,.,充分必要条件,D,.既非,充分条件又非必要条件,D,1994年研究生考题,选择,3分,偏 导 数,17,纯偏导,混合偏导,定义,偏 导 数,三、高阶偏导数,高阶偏导数.,二阶及二阶以上的偏导数统称为,18,偏 导 数,例,的四个二阶偏导数.,解,19,偏 导 数,例,解,有,20,偏 导 数,按,定义,得,21,多元函数的高阶混合偏导数如果连,一般地,续就与,求导次序无关,.,如果函数,的两个二阶混合偏,在区域,D,内,定理,连续，,那么在,导数,该区域内,偏 导 数,22,偏 导 数,多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微,分方程.,偏微分方程是描述自然现象、反映自然,规律的一种重要手段.,例如方程,(,a,是常数)称为,波动方程,它可用来描述各类波的,运动.,又如方程,称为,拉普拉斯(Laplace)方程,它在热传导、流体,运动等问题中有着重要的作用.,23,例,偏 导 数,验证函数,满足,波动方程:,证,因,故有,24,偏 导 数,例,验证函数,满足,拉普拉斯方程:,证,因,由,x,y,在函数表达式中的对称性,立即可写出,即证.,25,答案:0,解,偏 导 数,例,26,偏 导 数,练习,27,偏导数的定义,偏导数的计算,高阶偏导数,(偏增量比的极限),纯偏导,混合偏导,(相等的条件),四、小结,偏 导 数,偏导数的几何意义,偏导数存在与连续、极限的关系,28,2 偏导数,在几何上表示,曲线,在点,处的切线对,x,轴,的斜率;,1 偏导数的计算方法,先代后求,先求后代,利用定义,(,偏增量比的极限,),课前回顾,29,4(2),习题9-1,3(1)求函数定义域，并画出定义域图形,解：,30,