圆的基本性质.doc

圆的基本性质（圆的复习1）教学设计
源南学校 刘星福
一、复习目标：
1、复习巩固圆的基本性质：①弧、弦、圆心角之间的关系；②圆的对称性，垂径定理及其推论；③圆周角的性质。
2、能利用圆的基本性质及相关定理解决有关圆的问题，并利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算。
二、复习重点、难点：
1、重点：复习巩固圆的基本性质，利用圆的基本性质及相关定理解决有关圆的几何推理和几何计算。
2、难点：利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算。
三、教学方法：谈话、交流、练习。
四、教学辅助手段：多媒体课件。
五、复习流程：
〈一〉诊断导入
师生交谈,并辅以幻灯片展示。回顾圆的相关概念：直径、弦、弧、半圆、圆周角、圆心角等。
1、知识链接。(学生活动：独立完成下列填空。)
（1）圆上各点到圆心的距离都等于 。
（2）圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形， 是它的对称中心。
（3）垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 。
（4）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 。
（5）同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 。
（6）直径所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 。
（7）圆的内接四边形对角 。
教师活动：以多媒体与学生评议。
2、轻松练习，巩固基础。(下面的练习学生独立完成，也可以和同学交流交流。)
（1）如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
（2）如图2,AB是⊙O的直径，∠C＝20°，则∠BOC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．50°
（3）如图3，已知四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD上不与点C重合的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
A
B

O
C

图1 图2 图3
（4）如图4，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（ 　）
A. ∠COE＝∠DOE, B．CE＝DE, C．0E＝BE, D．= .
A
B
C
D
O

A
D
B
C
E
·O
C
D
A
O
B
E

图4 图5 图6
（5）如图5,四边形ABCD内接与⊙O，若∠A = 70°，则∠DCE = 。
（6）如图6,OA⊥BC, 若∠CDA = 30°, 则∠AOB = 。
〈二〉合作交流
例1. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ADC = 50°，你能求出∠BAC 的度数吗？试试看。
分析：根据圆周角定理及其推论可知∠ACB = 90°,∠ADC 与∠ABC 属于同弧AC所对圆周角，然后可以求出∠BAC 的度数。
A
B
C
D
·
O
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠BAC ＋∠ABC = 90°.
又∵∠ADC =∠ABC = 50°，
∴∠BAC = 40°.
练后点评：
圆周角定理主要起转化的作用，一是相等圆周角的转化；二是圆周角和圆心角的转化。其推论主要是得到特殊角——直角。同学们在解题中要敏锐地注意到这一点。
例2. 如图，∠PAC = 30°，在射线AC上顺次截取AD =3cm，DB =10cm，
以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离OM及弦EF 的长。
O
A
D
B
C
E
F
P
M
分析：在Rt△AOM中，∠PAC = 30°，根据相关定理可求得OM为AO的一半，在Rt△FOM中再根据勾股定理可求得MF的长。
解：∵AD = 3cm，DB = 10cm，
∴AO = 8cm，
∵OM⊥EF , ∠PAC = 30°，
∴OM = 4cm .
连结OF,在Rt△FOM中,
∵OF = OB = 5cm，OM = 4cm ,
∴FM = 3cm .
又∵OM⊥EF , ∴FM = EM = 3cm . ∴MF = 6cm .
练后点评：在这个例题中，我们用到了列方程的方法。垂径定理常与勾股定理相结合应用，弦长的一半、弦心距和圆的半径围成一个直角三角形，希望同学们掌握这种用代数的方法解决几何问题的方法，这种数学思想在今后的解题过程中要注意应用。
〈三〉个性展示
如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB的长为半径作圆，交AD、BC于E、F，延长BA交⊙O于G. 与 会相等吗？说说你的理由。
分析：在同一个圆中，要证明弧相等，
A
G
E
D
B
C
F
可以证这两段弧所对的圆心角相等。
解：与 会相等。理由是：
连结AF,
∵ABCD平行四边形，∴AD∥BC ，
∴∠GAE =∠B , ∠EAF =∠AFB .
∴∠B =∠AFB , ∴∠GAE =∠EAF .
∴= 。
点评：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧，所对的弦中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。
拓展备用题：

A
B C
D
O
小华不慎把家里的圆形玻璃镜子打碎了，如果到街上去再配置玻璃镜子必须知道原来的镜子半径有多大，怎样才能找到这个破镜的圆心而知道其半径呢？请同学们帮帮小华想想办法吧。
分析：要找到圆心，利用弦的垂直平分线必过
圆心，因此，在破镜的圆弧上取两条弦，分别作这
两条弦的垂直平分线，其交点就是圆心。（学生可
能有其它方法，比如用到后面的圆的切线的性质等
也可以.）

〈四〉反馈拓展
1.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠AOC＝130°，则∠D的度数为_______．

2.如图：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE＝BC .其中正确结论的序号是 .
A
B
C
D
·
O
F
P
E

第1题图 第2题图 第3题图
3.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D,P是上一动点，连结PB分别交AD、AC于E、F.
（1）当= 时， AE与EB会相等吗？说说你的理由。
（2）当点P在什么位置时，AF与EF会相等?证明你的结论。

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