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不等式恒成立问题
恒成立的不等式问题综合性较强，方法也很独特，本文试图揭示此类题目的内在规律，探讨特有的解题思路和特有的解题方法，希望对您有所启发。
例1 设对任意实数x∈[-2,2],不等式x2+ax-3a<0总成立，求实数a的取值范围。
分析1：本题已知了x的范围，条件中的不等式的主体框架是二次不等式，a仅是参数，据以往经验，一般要与相应的二次函数、二次方程进行必要的沟通与转化。
解法1：设f(x)= x2+ax-3a(如图1)，则f(x)在[-2,2]上恒负

f(2)<0, 即 4+2a-3a<0 解得a>4
f(-2)<0 4-2a-3a<0
图1
回顾解题思路，不难提炼出解决此类问
题的第一种观点和方法：
一、 转化为与之对应的函数，利用相应函
数的性质求解
分析2：侧重于从函数入手，分离参数。
解法2：由x2+ax-3a<0,得x2<a(3-x),∵x∈[-2,2]时，3-x>0,
∴a>x2 /(3-x),(以下用导数法求其的最大值，只要此最大值小于a即可)设u=x2/(3-x),则u、 =[2x(3-x)+x2]/(3-x) 2,=x(6-x)/(3-x)2,令u、=0，得[-2,2]上唯一的稳定点为x=0，而u(0)=0,u(-2)=4/5,u(2)=4,所以umax=4,
∴a>4.
回顾解题思路，我们又可以提炼出解决此类为题的第二种方法：
二：分离参数法，转化为函数的最值问题来求解
分析3：对于“运动变化”的题目，用数形结合来考虑可在相对“静止”的情形下获得直观的想象和简捷的思路。

解法3：由x2+ax-3a<0得由x2<a(-x+3),设y1=由x2,y2=a(-x+3)如图2知：当且仅当直线y2=a(-x+3)由与x轴垂
直起，绕点B旋转到AB（不含两边界）
时，才满足题意。而当x=2时，y1=4,故
tan∠ABO=4，即直线AB的斜率为-4.
∴-a<-4,即a>4.
上述解题思路和方法，概括成解
图2
决此类问题的第三种观点：
三：数形结合，用运动变化的思想来求解
以上三种方法是解决“恒成立的不等式中参数范围”的经典方法，它们的共同特征是：虽综合性较强，但都很简捷和灵活；另外“函数与方程”、“数形结合”等数学思想方法在其中起到了 “呼风唤雨”的作用，下面将再举一例来进一步阐明上述思路与方法的有效性和可行性。
例2：当-1≤m≤3时，求使不等式x2-mx>3x-2m+1恒成立的x的取值范围。
解法1：（用观点一）原不等式恒成立，等价于关于m的一次不等式：(2-x)m+(x2-3x-2)>0在区间[-1,3]上恒成立。
设f(m)=(2-x)m+(x2-3x-1),则f(m)在[-1,3]上恒正，所以
(2-x) ·(-1)+x2-3x-1>0
(2-x) ·3+x2-3x-1>0 解得：x>5或x<-1.
说明：本解法涉及到一次函数的一个十分重要的性质，它是含参一次不等式化为一次函数的桥梁。介绍如下：设一次函数f(x),在给定区间[a,b]上，①f(x)恒大于零 f(a)>0且f(b)>0；②f(x)恒小于零f(a)<0且f(b)<0;③f(x)恒正或恒负 f(a)·f(b)>0;④有正有负 f(a)·f(b)<0.这些性质成立的理由很简单：一次函数在任何闭区间上的图像都是一条线段，考虑区间两端点的符号就足够了。
解法2：（分离参数法）
原不等式即（x-2）m<(x2-3x-1).
(1) 若x-2>0,即x>2时，得m<(x2-3x-1)/(x-2),∵-1≤m≤3,∴(x2-3x-1)/(x-2)<-1,解之得x>5或x<1,所以x>5;

(2) 若x-2<0,即x=2时，得m>(x2-3x-1)/(x-2),∵-1≤m≤3, (x2-3x-1)/(x-2)<-1, 解之得x>3或x<-1,所以x<-1;
(3) 若x-2=0，即x=2时，得0<-3不成立。
综上，x的取值范围是：x>5或x<-1.
解法3：（数形结合）原不等式即
（x-2）m<(x2-3x-1).设y1=x2-3x-1,
图3
y2=m(x-2),如图3，其中
y2是过定点（2,0）的直线系，且
斜率m在[-1,3]之间，当m=-1时，
由（x-2）(-1)=x2-3x-1得x=-1或x=3，由图3知，此时满足
（x-2）m<(x2-3x-1)的xd的取值范围是：x>3或x<1;同理当m=3
时，由（x-2）·3=x2-3x-1得x=1或x=5,此时x的取值范围是：x>5或x<1. ∵斜率m在-1到3之间变化，∴x的取值范围是以上两个边界范围的交集，即x>5或x<-1.

（3）和谐化的原则，把复杂问题进行简单转化：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合“数”与“形”内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。