第3章空间向量与立体几何§32立体几何中的向量方法（二）—— 利用向量方法求角.doc

3.2 立体几何中的向量立体几何中的向量方法方法(二二)利用向量方法求角利用向量方法求角 知识点一知识点一 求异面直线所成的角求异面直线所成的角 已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都是 1，且A1ABA1ADBAD60，E、F 分别为 A1B1与 BB1的中点，求异面直线 BE 与 CF 所成角的余弦值 解 如图所示，解 如图所示，设AB=a a，AD=b b，1AA=c c.则|a a|=|b b|=|c c|=1，a,ba,b=b,cb,c=a,ca,c=60,ab=bc=ac=12，而BE=1BB+1B E=12a a+c c.CF=CB+BF=b b+12c c,|BE|14|a|2|c|2a c 32，|CF|32.BECF 12ac b12c 12a b14a cb c12c218，cosBE，CFBE CFBECF=16,异面直线 BE 与 CF 夹角的余弦值是16.【反思感悟】在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便.正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 A1D1、A1C1的中点求：异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值 解 不妨设正方体棱长为 2，分别取 DA、DC、DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)，由AE(1,0,2)，CF(1，1,2)，得|AE|5，|CF|6.AECF1043.又AECF=|AE|CF|cosAE,CF=30 cosAE,CF,cosAE,CF=3010,异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为3010 知识点二知识点二 求线面角求线面角 正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角 解 方法一 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，2a)，C132a，a2，2a，取 A1B1中点 M，则 M0，a2，2a，连结 AM、MC1，有 1MC32a，0，0，AB(0，a,0)，1AA(0,0，2a)，由于1MCAB=0，1MC1AA=0，MC1面 ABB1A1.C1AM 是 AC1与侧面 A1B 所成的角.1AC=32a，a2，2a ,AM0，a2，2a，1ACAM0a242a29a24.而|1AC|3a24a242a2 3a，|AM|a242a232a，cos1AC,AM9a243a3a232.1AC，AM 30，即 AC1与侧面 AB1所成的角为 30.方法二(法向量法)(接方法一)1,AA(0,0，2a)，AB(0，a,0)，设侧面 A1B 的法向量 n(，x，y)nAB0 且 n AA10 ax0，且 2ay0.xy0，故 n(，0,0)1AC32a，a2，2a，cos1AC,n113223anACnACa .设所求线面角为，则 sin|cos.1AC，n|12，30.【反思感悟】充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角方法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算 如图所示，已知直角梯形 ABCD，其中 ABBC2AD，AS平面 ABCD，ADBC，ABBC，且 ASAB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 的余弦 解 由题设条件知，可建立以 AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AS 为 z 轴的空间直角坐标系(如图所示)设 AB1，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D12，0，0，S(0,0,1)AS(0,0,1)，CS(1，1,1)AS是底面的法向量，它与已知向量CS是底面的法向量，它与已知向量CS的夹角 90，故有 sincosAS CS|AS|CS|11 333，于是 cos 1sin263.知识点三知识点三 求二面角求二面角 如图，四棱锥 PABCD 中，PB底面 ABCD，CDPD，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3.点 E 在棱 PA 上，且 PE2EA.求二面角 ABED 的余弦值 解 以 B 为原点，以 BC、BA、BP 分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 设平面 EBD 的一个法向量为 n1(x，y,1)，因为BE(0,2,1)，BD(3,3,0)，由110,0,nBEnBD 得 2y103x3y0，所以 x12y12，于是 n1(12，12，1)又因为平面 ABE 的一个法向量为 n2(1,0,0)，所以，cosn1，n21666.所以，二面角 ABED 的余弦值为66.【反思感悟】几何法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用 若 PA平面 ABC，ACBC，PAAC1，BC 2，求二面角 APBC的余弦值 解 如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(2，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，AP(0,0,1)，AB(2，0,0)，CP(0，1,1)，设平面 PAB 的法向量为 m(x，y，z)则0,0,mAPmAB x，y，z 0，0，10 x，y，z 2，1，00 y 2xz0，令 x1，则 m(1，2，0)设平面 PBC 的法向量为 n(x，y，z)，则 0,0,n CBn CP x，y，z 2，0，00 x，y，z 0，1，10 x0，yz.令 y1，则 n(0，1，1)cosm，nm n|m|n|33.二面角 APBC 的余弦值为33.课堂小结：课堂小结：1两条异面直线所成角的求法(1)向量求法：设直线 a、b 的方向向量为 a、b，其夹角为，则有 cos|cos|a b|a|b|.(2)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角 2直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为，a 与 u 的夹角为，则有 sin|cos|a u|a|u|或 cossin.3二面角的求法 AB与CD的夹角(如图所示)(2)设 n1、n2是二面角 l 的两个面、的法向量，则向量 n1与 n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图所示)一、选择题 1若直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角是 150，则 l1与 l2这两条异面直线所成的角等于()A30 B150 C30 或 150 D以上均错 答案 A 2若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150，则直线 l 与平面 所成的角等于()A30 B60 C150 D以上均错 答案 B 3 直角三角形ABC的斜边AB在平面内，直角顶点C在内的射影是C，则ABC是()A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D各种情况都有可能 答案 B 解析 0=CACB=（CC+C A）（CC+C B）=|CC|2+C AC B.C AC B=|CC|2 0,因 A，B，C不共线，故ACB 为钝角.4如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，P 分别是棱 CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN 的大小是()A等于 90 B小于 90 C大于 90 D不确定 答案 A 解析 A1B1平面 BCC1B1，故 A1B1MN，MP MN(MB1B1P)MN=1MB MNB1P MN0，MPMN，即PMN90.5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 为 BB1的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.12 B.23 C.33 D.22 答案 B 二、填空题 6若两个平面，的法向量分别是 n(1,0,1)，(1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_ 答案 60 解析 cosn，12 212.n，120.7正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 DD1，B1C1的中点，P 是棱 AB 上的动点，则 A1M 与 PN 所成的角是_ 答案 90 解析 设正方体每边之长为 1，因 1111A MA DD M=11A D12D1D，PNPBBB112B1C1，1A MPNA1D112D1D11112PBBBB C=11A D12B1C112D1D BB112120，1A MPN,即 A1M 与 PN 所成的角为 90.三、解答题 8已知正四棱锥 SABCD 的侧棱长为 2，底面的边长为 3，E 是 SA 的中点，求异面直线 BE 和 SC 所成的角 解 建立如图所示空间直角坐标系 由于 AB 3，SA 2，可以求得 SO22.则 B32，32，0，A32，32，0，C32，32，0，S0，0，22.由于 E 为 SA 的中点，所以 E34，34，24，所以BE34，3 34，24，SC32，32，22，因为BESC1，|BE|2，|SC|2，所以 cosBE，SC12 212，所以BE，SC120.所以异面直线 BE 与 SC 所成的角为 60.9如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 AB4，AD3，AA12，E、F分别是线段 AB、BC 上的点，且 EBFB1，(1)求二面角 CDEC1的正切值；(2)求直线 EC1与 FD1所成角的余弦值 解(1)以 A 为原点，AB、AD、AA1分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有 D(0,3,0)，D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是DE=（3,3，0），1EC=（1，3，2），1FD=（4，2，2）.设平面 C1DE 的法向量为 n n=（x，y，z）.则 n nDE，n n1EC 3x 3y=0,x+3y+2z=0.x=y=z.令 z=2,则 n(1，1,2)向量1AA(0,0,2)是平面 CDE 的一个法向量，n 与向量1AA所成的角 为二面角 CDEC1的平面角 cos116,3|AAAAnntan22.(2)设 EC1与 FD1所成角的为，则cos=2114.10正三棱锥 OABC 的三条侧棱 OA、OB、OC 两两垂直，且长度均为 2.E、F 分别是 AB、AC 的中点，H 是 EF 的中点，过 EF 的一个平面与侧棱 OA、OB、OC 或其延长线分别相交于 A1、B1、C1，已知 OA132.(1)求证：B1C1平面 OAH；(2)求二面角 OA1B1C1的余弦值(1)证明 如图所示，以直线 OA、OC、OB 分别为 x、y、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 A(2,0,0)，B(0,0,2)，C(0,2,0)，E(1,0,1)，F(1,1,0)，H1，12，12，AH1，12，12，OH1，12，12，BC(0,2，2)，所以AHBC0，OHBC0，所以 BC平面 OAH.由 EFBC，得 B1C1BC，故 B1C1平面 OAH.(2)解 由已知 A132，0，0，设 B1(0,0，z)，则1A E=（12，0，1），1EB=（1，0，z1），由1A E与1EB共线得：存在R 使1A E=1EB，得 12，1z1，12，z3，所以 B1(0,0,3)，同理 C1(0,3,0).所以11A B32，0，3，11AC=3,3,02，设 n1=(x1,y1,z1)是平面 A1B1C1的一个法向量，则 1111110,0,A BnACn 即 32x13z10，32x13y10，令 x12，得 y1z11，所以 n1(2,1,1)又 n2(0,1,0)是平面 OA1B1的一个法向量，所以 cosn1，n2n1 n2|n1|n2|141166.所以二面角 OA1B1C1的余弦值为66.