第3章检测题B.doc

第三章　检测题B
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是(　　)
A．k>3　　　　　 B．2<k<3
C．k＝2 D．0<k<2
[答案]　C
[解析]　k>0，c＝＝，∴k＝2.
2．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1
[答案]　A
[解析]　∵抛物线焦点为(－1,0)，∴c＝1，
又椭圆的离心率e＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆的方程为＋＝1，故选A．
3．已知双曲线C：－＝1中C＝10，点P(1,2)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[答案]　D
[解析]　本题考查双曲线方程及相关概念．
由双曲线中C＝10，则有100＝a2＋b2，双曲线渐近线方程y＝±x，P(1,2)在y＝x上，则＝2，所以a2＝20，b2＝80，选D．
4．如图所示，ABCDEF为正六边形，则以F、C为焦点，且经过A、E、D、B四点的双曲线的离心率为(　　)

A．－1 B．＋1
C．－1 D．＋1
[答案]　D
[解析]　设正六边形边长为x，则|FC|＝2x，在△DEF中，|DF|＝＝x，故e＝＝＝＋1.
5．(2014·天津理)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[答案]　A
[解析]　本题考查双曲线标准方程求法，由于一个焦点在直线y＝2x＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于y＝2x＋10.则＝，
∴a2＝5，b2＝20，双曲线标准方程：－＝1，选A．
6．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)
A． B．2
C．4 D．8
[答案]　C
[解析]　本题考查双曲线的性质．
故双曲线的方程为－＝1，
抛物线的准线为x＝－4，且|AB|＝4，
故可得A(－4,2)，B(－4，－2)，将点A坐标代入双曲线方程得a2＝4，故a＝2，故实轴长为4.
注意双曲线中，实轴长应为2a而不是a，另外本题还要注意等轴双曲线方程的设法．
7．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　本题主要考查了双曲线的定义与几何性质的运用，以及余弦定理的运用．依题意：a＝b＝，∴c＝2.
因|PF1|＝2|PF2|，则该|PF2|＝m，∴|PF1|＝2m，
又|PF1|－|PF2|＝2＝m.
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2.
又|F1F2|＝4，
∴cos∠F1PF2＝＝.故选C．
本题要正确地利用双曲线的定义式．
8．在抛物线y＝2x2上有一点P，它到Q(2,10)的距离与它到抛物线焦点距离之和最小，则P点坐标是(　　)
A．(2，－8) B．(－2，－8)
C．(－2,8) D．(2,8)
[答案]　D
[解析]　如图所示，易得：P′F＋PQ＝P′A′＋PQ>A′Q>AQ＝AP＋PQ＝PF＋PQ.

∴该点P横坐标为2，代入得纵坐标为8，该点为(2,8)，选D．
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c，0)和(c,0)(c>0)．若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是(　　)
A．　　　　 B．
C． D．
[答案]　D
[解析]　由题意得，
由(2)(3)可得m＝，代入(1)得椭圆的离心率e＝＝.故选D．
10．(2014·吉林省实验中学一模)如图，F1、F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1、C2在第一象限的公共点，若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是(　　)

A． B．
C．或 D．
[答案]　B
[解析]　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得，|AF1|＝|F1F2|＝2c＝2＝4，
∴c＝2，
|AF1|－|AF2|＝2，∴|AF2|＝2，
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，∴a＝3，∴e＝＝.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．顶点在原点，焦点在x轴上且正焦弦(过焦点与对称轴垂直的弦也称作通径)长为6的抛物线方程是____________________．
[答案]　y2＝6x或y2＝－6x
[解析]　正焦弦长为2p，∴2p＝6，
∴方程为y2＝6x或y2＝－6x.
12．过椭圆＋＝1的右焦点有一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________________．
[答案]　
[解析]　设右焦点为F，则有F(1,0)．将椭圆方程与直线方程联立得交点A(0，－2)，B(，)．故S△OAB＝·OF·|y1－y2|＝×1×|＋2|＝.
13．在抛物线y2＝16x内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是________________．
[答案]　y＝8x－15
[解析]　设所求直线与y2＝16x相交于点A，B，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得y＝16x1，y＝16x2，
两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝16(x1－x2)．
即＝⇒kAB＝8.
故所求直线方程为y＝8x－15.
14．(2013·安阳高二检测)直线y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为__________________．
[答案]　3个
[解析]　当x≥0时，方程－＝1化为－＝1；当x＜0时，－＝1化为＋＝1，所以曲线－＝1是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形，结合图象可知(如图)，直线y＝x＋3与曲线－＝1的公共点的个数为3.
15．若椭圆x2＋＝a2(a＞0)和连接A(1,1)，B(2,3)两点的线段恒有公共点，则实数a的取值范围为________________．
[答案]　
[解析]　线段AB与椭圆有公共点，其等价条件是点A在椭圆内或边界上，点B在椭圆外或边界上，
∴，∴≤a≤.
三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)
16．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，抛物线与双曲线交点为P(，)，求抛物线方程和双曲线方程．
[解析]　依题意，设抛物线方程为y2＝2px，(p>0)，
∵点(，)在抛物线上，∴6＝2p×，
∴p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.
∵双曲线左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点(，)在双曲线上，∴－＝1，
由解得a2＝，b2＝.
∴所求双曲线方程为4x2－y2＝1.
17．已知抛物线y2＝4x，椭圆＋＝1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P、Q两点，F1是椭圆的另一个焦点，
试求：(1)m的值；
(2)P、Q两点的坐标；
(3)△PF1F2的面积．
[解析]　(1)∵抛物线方程为y2＝4x，∴2p＝4，
∴＝1，∴抛物线焦点F2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c＝1，a2＝9＝b2＋c2，
∴9＝m＋1，∴m＝8.
(2)解方程组得或
∴点P、Q的坐标为(，)、(，－)．
(3)点P的纵坐标就是△PF1F2的边F1F2上的高，
∴S△PF1F2＝|F1F2|·|yp|＝×2×＝.
18．k代表实数，讨论方程kx2＋2y2－8＝0，所表示的曲线．
[解析]　当k＜0时，曲线－＝1为焦点在y轴上的双曲线；当k＝0时，曲线2y2－8＝0为两条平行于x轴的直线y＝2或y＝－2；当0＜k＜2时，曲线＋＝1为焦点在x轴上的椭圆；当k＝2时，曲线x2＋y2＝4为一个圆；当k＞2时，曲线＋＝1为焦点在y轴上的椭圆．
19．如图，直线y＝kx＋b与椭圆＋y2＝1，交于A、B两点，记ΔAOB的面积为S.

(1)求在k＝0,0<b<1的条件下，S的最大值．
(2)当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
[解析]　(1)设点A的坐标为(x1，b)，
B为(x2，b)，由＋b2＝1，解得x1,2＝±2，所以S＝b·|x1－x2|＝2b·≤b2＋1－b2＝1，
当且仅当b＝时，S取到最大值1.
(2)联立
消去y得(k2＋)x2＋2kbx＋b2－1＝0，
Δ＝4k2－b2＋1 ①
|AB|＝|x1－x2|＝·＝2 ②
设O到AB的距离为d，则 d＝＝1，
又因为d＝，所以b2＝k2＋1，代入②式整理得k4－k2＋＝0，解得k2＝，b2＝，
代入①式检验，Δ>0，故直线AB的方程为y＝x＋，或y＝x－，或y＝－x＋，或y＝－x－.
20．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
[解析]　(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，
由已知得
∵P在圆上，∴x2＋(y)2＝25，
即C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，即x2－3x－8＝0.
∴x1＝，x2＝.
∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝＝.
21．(2014·全国大纲理)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
[解析]　(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝.
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x得，y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中点为E(＋2m2＋3，－)．
|MN|＝|y3－y4|＝.
由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，
即4(m2＋1)2＋(2m＋)2＋(＋2)2
＝
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.