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第13课时 直线与平面平行的判定和性质（一）
扬中市第二高级中学 杨青松
教学目标：
使学生理解直线与平面平行的定义，了解直线与平面的位置关系，能够正确画出直线与平面各种位置关系的图形，理解并掌握直线与平面平行的判定定理，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力，通过运用化归与转化的数学思想方法，实现空间和平面的转换，使问题得以解决，提高学生分析问题和解决问题的能力；培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事仔细认真的习惯、实事求是的精神.
教学重点：
直线和平面平行的判定定理及应用.
教学难点：
直线和平面平行的判定定理的反证法证明.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上节课我们讨论了异面直线的证明，证明两条直线为异面直线常用的方法是反证法，同学们回忆一下，反证法证题的步骤是什么？
［生］反证法证题三步曲.
第一步假设结论的反面成立；
第二步在假设的前提下，按照正确的推理，推出矛盾；
第三步否定假设，肯定结论.
［师］好！三步曲中关键的一步是(学生接后音)
［生］第二步，对推出矛盾要认真分析，不能盲目乱推.
［师］很好！反证法是非常重要的一种证题方法.关于唯一的问题、关于无限的问题、关于否定形式的题目、关于结论以至多至少形式出现的题目、关于结论的反面较结论更明确、更具体、更简单的题目、关于异面直线的证明，都常用反证法来证.请同学们务必掌握这种证明方法.前面我们研究了两条直线的位置关系；相交、平行、异面，那么直线与平面的位置关系是怎样的呢？从这节课开始，我们就来研究这个问题.(板书课题)
Ⅱ.指导自学
［师］课下同学们已对直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定进行了预习，现在大家再把这部分内容快速浏览一遍，对照老师列下的预习提纲，把不清楚的地方提出来.
(生再看课本)
［师］直线与平面平行的定义是什么？
［生］如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行(学生回答，教师板书：直线和平面没有公共点叫做直线和平面平行)
［师］应该注意：这里所说的直线是向两方无限伸展的，平面是向四周无限扩展的.
［师］直线与平面的位置关系有几种？
［生］直线与平面的位置关系有三种：
①直线在平面内——有无数个公共点
②直线与平面相交——有且只有一个公共点
③直线与平面平行——没有公共点
［师］我们把直线与平面相交或直线与平面平行的情况统称为直线在平面外.今后凡谈到直线在平面外，则有两种情形：直线与平面相交，直线与平面平行.
［师］直线与平面的三种位置关系的图形语言、符号语言各是怎样的？谁来画图表示一下和书写一下.
［生］(上讲台在黑板上画图)
直线a在面α内的
图形语言是
符号语言是aα.
直线a与面α相交的图形语言是
符号语言是a∩α＝A.
直线a与面α平行的图形语言是
符号语言是a∥α.
［师］好.应该注意：画直线在平面内时，要把直线画在表示平面的平行四边形内；画直线在平面外时，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外.
［生］请问老师.直线a与平面α平行，按照其特征，符号语言能不能表示为a∩α＝.
［师］能！从理论上讲，这样表示完全正确.但习惯上直线a与平面α平行常用a∥α表示.
［师］直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？
［生］不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行，因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α.
［师］直线与平面平行的判定定理是什么？
［生］如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
［师］(学生回答后，将此判定定理板书)回答得好！大家仔细分析一下，判定定理告诉我们直线与平面平行应具备几个条件？
［生］三个，分别是平面外的一条直线，这个平面内的一条直线，两直线平行.
［师］完整了吗？还有没有补充？
(教师这样一问，同学觉得似乎漏了点什么，再细观察、分析，发现没有什么补充)
［生］没有补充，完整啦！
［师］所述的三个条件，有没有哪一个是多余的？
［生］没有多余的.
［师］直线与平面平行应具备三个条件，三个条件缺一不可！谁来把这个判定定理用符号语言表达出来？
［生］(一位同学主动地到讲台上板书)
a∥α
［师］正确！这个判定定理可以简述为“线线平行则线面平行”，不过要注意，前面的线线位置有区别.
［生］一条在平面外，一条在平面内.
［师］很好！关于定理的证明，大家也进行了预习，对于证明过程有什么不清楚的地方吗？
(学生或许由于能看懂而不提什么，稍停片刻，突然一位学生冒出一个问题)
［生］请问老师，定理证明过程中，怎样突然用起了反证法，这究竟是一种什么证法？
［师］定理的证明实质上用的就是反证法，不过假设结论的反面成立，不是一开始，而是到了推理的一定程度，在运用反证法证题时，这样的做法也不是罕见的.
［生］为什么不开始就假设结论的反面成立呢？
［师］不存在为什么.一开始就假设结论的反面成立也行.证明这个定理，方法不是唯一的，课本上给出的证法，告诉了我们运用反证法证题的又一种格式.大家可以尽情的展开想象的翅膀，从不同角度，运用不同方法来证明.
［生］假设直线a与平面α有公共点P，那么P∈b或Pb.若P∈b，则a∩b=P，这与a∥b矛盾.若Pb，则a、b是异面直线，这与a∥b也矛盾，所以假设错误，因而a∥α.
［师］若点Pb，则a、b是异面直线，为什么？
［生］从图形上看出来的.
［师］图形上观察到的，只能帮助我们分析问题，而不能作为推理的依据.这点大家学了平面几何，还不清楚吗？
［生］由上节课的例题知道的.
［师］例题的结论一段不能作为推理的依据.上节课的例1在旧教材中，是异面直线的判定定理，用上也可，但要注意表述方法，因为现行教材中没有把它作为定理，所以用的时候，表述要完整、清楚.
［生甲］老师，这样证行不行，因为aα，所以a与α相交或a∥α，再证明a与α不相交不就行了吗？
［师］继续讲下去！
［生甲］若a与α相交，设交点为P，则P∈b或Pb.若P∈b，则a∩b=P.这与a∥b矛盾(至此，该生不再继续讲下去了，他已意识到这与刚刚讨论的到一块了).
［生丙］也可以在假设a与α有公共点P之后，这样做：则P∈α，因a∥b，所以Pb，过P在面α再作一条直线c，使c∥b，则a∥c，这与a∩c=P矛盾，所以假设错误，从而肯定结论.
［师］很好.生丙同学的想法是又一种引出矛盾的思路.
［生乙］也可以直接证明a与α没有公共点，因为a∥b，所以a、b确定一个平面，设为β，则bβ，aβ，因为aα，aβ，所以α、β不是同一个平面，因为bβ、bα，所以α∩β＝b.因为a∥b，所以a与b没有公共点，进一步得到a与α没有公共点，所以a∥α.
［师］请详细说一下a与b没有公共点，怎样就能得到a与α没有公共点.
［生乙］因为α∩β＝b，aβ，如果a与α有公共点，这个公共点必在b上，这样a就与b相交，与已知矛盾，所以a与α没有公共点.
［师］生乙同学的解释大家明白了吗？他从a与b没有公共点，得到a与α没有公共点，实质上仍然是反证了一下，对吗？(生表示赞同).下面同学们把定理的证明整理一下(可让学生把不同的证法板书于黑板上)
证法一：∵a∥b，
∴a、b确定一个平面，设为β. ∴aβ，bβ
∵aα，aβ ∴α和β是两个不同平面.
∵bα且bβ ∴α∩β＝b
假设a与α有公共点P
则P∈α∩β＝b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾
∴假设错误，故a∥α.
证法二：假设直线a与平面α有公共点P 则点P∈b或点Pb
若点P∈b，则a∩b＝P，这与a∥b矛盾.
若点Pb，又bα，a∩α＝P
由于与平面相交的直线和这个平面内不过交点的直线是异面直线
∴a、b异面，这与a∥b也矛盾
综上所述，假设错误，故a∥α.
证法三：假设a∩α＝P. ∵a∥b， ∴Pb
在面α内过P作c∥b
则c∥a，这与a∩c＝P矛盾.
∴假设错误，故a∥α.
证法四：∵a∥b，
∴a、b确定一个平面，设为β
∴aβ，bβ ∵aα，aβ
∴α、β是两个不同的平面
∵bα，又bβ ∴α∩β＝b
∵a与b没有公共点 ∴a与α没有公共点
(若有公共点，公共点必在b上，则与a∥b矛盾).
∴a∥α.
［师］上面同学们对定理的证明给出了四种证法.四种证明方法都是正确的.比较一下这几种证法，第三种比较简便，第四种证法虽然看起来也不复杂，且是直接证法，但其实质与证法一类同，第二种证法较繁.
［师］有了直线与平面平行的判定定理，我们便可以很方便地推证直线与平面的平行，但要注意，应用这个定理时，三个条件缺一不可.下面我们来看一个例子.
例：求证空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面.
已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.
求证：EF∥面BCD.
分析：EF在面BCD外，要证明EF∥面BCD.只要证明
EF与面BCD内一条直线平行即可.EF与面BCD内哪一条直线
平行呢？连结BD立刻就清楚了.
证明：连结BD
EF∥面BCD
Ⅲ.课堂练习
课本P32练习1、2.
Ⅳ.课时小结
本节课我们学习了直线与平面的位置关系；直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.三种位置关系的特征分别是：直线在平面内——有无数个公共点、直线与平面相交——有且只有一个公共点、直线与平面平行——没有公共点，需要注意的是直线在平面外包含直线与平面相交、平行两种情形，同学们一定要记好了，即直线不在平面内，我们就说直线在平面外.关于直线与平面平行的判定定理，可以简记为“线线平行则线面平行”，要注意前面的线线：一条在平面外，一条在平面内.有了这个判定定理，我们可以很方便地判定直线是否与平面平行，但必须切记：三个条件缺一不可.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P37习题 1、2、3、4.
(二)1.预习课本P31直线和平面平行的性质定理.
2.预习提纲
(1)直线和平面平行的性质定理是什么？
(2)直线和平面平行的性质定理用符号语言怎样表示？
(3)定理证明中所谈到平面β是怎样的平面？这样的平面有几个？

思考与练习
一、选择题
1.a、b两直线平行于平面α，那么a、b的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.可能平行、可能相交、可能异面
答案：D
2.直线a∥b，bα，则a与α的位置关系是( )
A.a∥α B.a与α相交 C.a与α不相交 D.aα
答案：C
3.直线m与平面α平行的充分条件是( )
A.nα、m∥n
B.mα、nα、m∥n
C.nα，l∥α，m∥n、m∥l
D.nα，M∈m、P∈m、N∈n、Q∈n且MN＝PQ
答案：B
4.在以下的四个命题中，其中正确的是( )
①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行 ②直线上有两点到平面的距离相等(距离不为零)，则直线与平面平行 ③直线与平面内的任一条直线不相交，则直线与平面平行 ④直线与平面内无数条直线不相交，则直线与平面平行
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④
答案：B
二、填空题
1.过直线外一点，与这条直线平行的直线有_________条，过直线外一点，与这条直线平行的平面有_________个. 答案：1 无数
2.过两条异面直线中的一条可作_________个平面与另一条平行. 答案：1
3.过平面外一点，与这个平面平行的直线有_________条. 答案：无数
4.P是两条异面直线a、b外一点，过点P可作_________个平面与a、b都平行. 答案：1
三、解答题
1.在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法的理由.
画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在
面PBC内作MF∥BC交PB于F，连结E、F，则平面MNEF为
所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.
BC∥平面MNEF.
2.已知：AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.
求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.
证明：连结AC、BD、EF、FG、EG.
在△ABC中，
∵E、F分别是AB、BC的中点
∴AC∥EF
又EF面EFG，AC面EFG
∴AC∥面EFG
同理可证BD∥面EFG.