黄昏练函数专题答案(1).doc

函数的单调性
一.填空题
1．函数y= (x2-5x+6)的单调增区间为___________.
1.［答案］（-∞,2）
［解析］令t=x2-5x+6>0，得x>3或x<2.又函数y=t在（0,+∞）上为减函数，函数t=x2-5x+6在（-∞,2）上为减函数，所以原函数的单调增区间为（-∞,２）.
2．已知：函数f（x）=x2+4（1-a）x+1在［1,+∞)上是增函数，则a的取值范围是___________.
2.［答案］［解析］要使此函数在［1,+∞)上是增函数，只需-2（1-a）≤1，即a≤.
3．已知函数f（x）=，若f（2-a2）>f（a）,则实数a的取值范围是___________.
3.［答案］（-2，1）［解析］由题知，f（x）在R上是增函数，所以得2-a2>a，解得-2<a<1，即a∈（-2,1）.
4．已知函数y=loga(x2＋2x－3)，当x=2时，y＞0，则此函数的单调递减区间是______．
4. （－∞，－3）
【解析】当x=2时，y=loga5＞0，∴ a＞1.由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，易知函数t＝x2＋2x－3在（－∞，－3）上递减，故函数y=loga（x2＋2x－3）（a＞1）在（－∞，－3）上递减.
5．已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是______．
5. (-∞,0)∪(1,+∞)【解析】由于f(x)为R上的减函数，且f＞f(1)，则有＜1.当x＜0时，显然成立；当x＞0时，有x＞1.所以x的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).
6．若函数在区间［－2，＋∞)上为单调增函数，则实数a的取值范围是_____．
6. [0,14]【解析】当a=0时，f(x)=x+1显然成立；当a≠0时，必须 解得0＜a≤.综上可得0≤a≤.
7．“a=1”是“函数f(x)=|x－a|在区间［1，＋∞)上为增函数”的____条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
7. 充分不必要【解析】若a=1，则函数 f(x)=|x-a|=|x-1|在区间［1,+∞）上为增函数；而若f(x)=|x-a|在区间［1，＋∞）上为增函数，则a≤1，所以“a=1”是“函数f(x)＝｜x-a｜在区间［1，＋∞）上为增函数”的充分不必要条件.
8．设函数则不等式f(x)＞f(1)的解集是______．
8. （－3，1）∪（3，＋∞）【解析】由已知，函数先增后减再增.当x≥0时，f(x)≥2，f(1)=3，令f(x)=3,解得x=1,或x=3；当x＜0时，由x+6=3,得x=-3.故由f(x)＞f(1)=3，解得-3＜x＜1或x＞3.
9．设函数f(x)=loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a+1)与f(2)的大小关系是_________．
9. f（a+1）＞f（2）【解析】由f（x）=且f（x）在（－∞，0）上单调递增，易得0＜a＜1.∴ 1＜a+1＜2.又∵ f（x）的图象关于y轴对称，∴ f（x）在（0，+∞）上单调递减， ∴ f（a+1）＞f（2）.
10． 已知是(-∞,+∞)上的减函数，那么a的取值范围是_______．
10. 【解析】依题意，有0＜a＜1且3a－1＜0，解得0＜a＜；又当x＜1时，（3a－1）x＋4a＞7a－1，当x＞1时，logax＜0，所以7a－1≥0,解得x≥.故a∈.

二.解答题
11. 用定义法（1）证明：f（x）=ex+在(0，+∞)上是增函数；（2）证明：函数f（x）=-x3+1是R上的减函数；（3）设函数f（x）=－ax，其中a>0．求证：当a≥1时，函数f（x）在区间［0,+∞)上是单调函数．

11.（1）［解答］设0＜x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)=+-=( ) =(-1).
由x1>0,x2>0,x2>x1,∴ex1>1, >1, -1>0,1－＜0.
∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2).∴f（x）在(0,+∞)上是增函数.
（2）［解答］设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（-+1）-（-+1）=-=（x2-x1）（+x1x2+）=（x2-x1）.
∵x1<x2，∴x2-x1>0.又>0，
∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
∴f（x）是R上的减函数.
（3）［解答］在区间［0,+∞)上任取x1、x2，使得x1<x2．则f(x1)－f(x2)=-a(x1－x2)= －a(x1－x2)=(x1－x2)．
∵<1，且a≥1，∴<0.
又x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴当a≥1时，函数f（x）在区间［0,+∞)上是单调递减函数．
12． 若f(x)=-x2+2ax与在区间［1，2］上都是减函数，求a的取值范围．
12. 【解析】f(x)=-(x-a)2+a2，当a≤1时，f(x)在区间［1,2］上是减函数.g(x)=，当a＞0时，g(x)在区间［1,2］上是减函数.故a的取值范围是（0，1］.

13.（1） 如果二次函数f（x）=x2－（a－1）x+5在区间上是增函数，求f（2）的取值范围；
（2） 函数f（x）=log9在［1,+∞)上是增函数，求a的取值范围．
［思维引导］本题可利用二次函数和对数函数的性质以及复合函数的单调性解题.
［解答］（1） 由于f（2）=22－（a－1）×2+5=－2a+11，所以求f（2）的取值范围就是求一次函数y=－2a+11的值域，当然就应先求其定义域.二次函数f（x）在区间上是增函数，由于其图象开口向上，于是≤，解之得a≤2，故f（2）≥－2×2+11=7，即f（2）≥7.
（2） 由函数f（x）=log9在［1，+∞）上是增函数可以得到两个信息：① 对任意的1≤x1<x2,总有f（x1）<f（x2）；② 当x≥1时，x+8- >0恒成立．
∵函数f（x）=log9()在［1,+∞)上是增函数，∴对任意的1≤x1<x2,有f（x1）<f（x2），
即log9 <log9，得x1+8- <x2+8-，即（x1-x2）<0.
∵x1-x2<0，∴1+ >0，即>-1,∴a>-x1x2.
∵x2>x1≥1，∴要使a>-x1x2恒成立，只要a≥-1.
又∵函数f（x）=log9在［1,+∞)上是增函数，
∴1+8-a>0,即a<9.综上所述，a的取值范围为［-1,9)．
14.（1）如果二次函数f（x）=x2－（a－1）x+5在区间上具有单调性，求a的取值范围；（2）已知函数f（x）是定义在［-1,1］上的增函数，且f(x-1)<f(1-3x)，求x的取值范围.

14.（1）∵函数f（x）在区间(，1)上具有单调性，∴≤或≥1，解之得a≤2或a≥3.
（2） [解答]由函数f（x）是定义在［-1,1］上的增函数，得解得0≤x<，即x的取值范围是[0, ).
15．　(1) 求函数的单调区间．(2) 讨论函数(a≠)在(－2，+∞)上的单调性．
15. 【解析】（1）　在（－∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论. 任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=x2+－x1－=（x2－x1）+ =（x2－x1），当x1、x2∈（0，1）时，＜0，∴ f（x2）－f（x1）＜0，故此时函数y为减函数；当x1、x2∈（1，+∞）时，＞0，∴ f（x2）－f（x1）＞0，故此时函数y为增函数；同理当x1、x2∈（－1，0）时，函数y为减函数；当x1、x2∈（－∞，－1）时，函数y为增函数.∴当x在(-1,0)和(0,1)上时，函数y单调递减；当x在（－∞，-1］和［1，+∞）上时，函数y单调递增.
（2） 设x1、x2为区间（－2，+∞）上的任意两个值，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）= ==.
∵ x1∈（－2，+∞），x2∈（－2，+∞），且x1＜x2，∴ x2－x1＞0，x1+2＞0，x2+2＞0.
∴ 当1－2a＞0，即a＜时，f（x1）＞f（x2），该函数为减函数；当1－2a＜0，即a＞时，f（x1）＜f（x2），该函数为增函数.∴当a＜时，f(x)为减函数；当a＞时，f（x）为增函数.

函数性质的综合运用
一.填空题
1. 若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在(-∞,0］上是减函数，且f(2)=0，则使得f（x）<0的x的取值范围是___________.
1.［答案］(-2,2)
［解析］∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，在(-∞,0］上是减函数，且f(2)=0,∴f(-2)=0,在（-∞,0］上f（x）<0的x的取值范围是(-2,0］.又由对称性可知，f(x)在［0,+∞)上f(x)<0的x的取值范围是［0,2）,∴在R上f（x）<0的x的取值范围为(-2,2).
2.设奇函数f（x）在(0,+∞）上为增函数，且f(1)=0，则不等式的解集为___________.
2.［答案］（-1,0）∪（0,1）
［解析］由f(x)为奇函数可知=<0.而f(1)=0，则f(-1)=-f(1)=0.当x>0时，f（x）<0=f(1)；当x<0时，f（x）>0=f(-1).又f（x）在（0,+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（-∞,0）上为增函数，∴0<x<1,或-1<x<0.
3.定义在R上的偶函数f（x），对任意x1、x2∈［0,+∞)（x1≠x2），有则f(-2),f(1),f(3)由小到大的顺序是___________.
3.［答案］f（3）<f（-2）<f（1）
［解析］由（x2-x1）［f（x2）-f（x1）］<0等价于<0,则f（x）在x1,x2∈［0,+∞）(x1≠x2)上单调递减.又f（x）是偶函数，所以f（-2）=f（2）.又因为3>2>1>0,所以f（3）<f（-2）<f（1）.
4． 已知函数f(x)为奇函数，在(0,+∞)上单调递增，且f(3)=0，则不等式xf(x)＜0的解集是_______．
4. （－3，0）∪（0，3）【解析】因为f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在（－∞，0）上也是增函数.所以f(-3)=-f(3)=0.故x·f(x)＜00＜x＜3或-3＜x＜0.
5．已知偶函数f(x)在区间［0,+∞)上单调递增，则满足f(2x-1)＜f的x的取值范围是_______．
5.【解析】由f(x)是偶函数,得f(x)＝f(|x|)，所以f(|2x－1|)＜f,再根据f(x)的单调性，得|2x－1|＜，解得＜x＜.
6． 设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线x=对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=______．
6. 0【解析】由f(0)=-f(0)，得f(0)=0.假设f(n)=0，因为点（-n，0）和点（n+1,0）关于x=对称，所以f(n+1)=f(-n)=-f(n)=0，因此，对一切正整数n都有：f(n)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.
7．已知奇函数f(x)在［3，6］上是增函数，在［3，6］上的最大值为8，最小值为－１，则２f(-6)+f(-3)=____．
7. -15【解析】因为奇函数f(x)在［3，6］上是增函数，在［3，6］上的最大值为8，最小值为－1，所以f(6)=8，f(3)=-1,故2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8-(-1)=-15.
8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间［0,2］上是增函数．则f(-25),f(11),f(80)的大小关系是_____．
8. f(-25)＜f(80)＜f(11)【解析】因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).又因为f(x)在R上是奇函数，所以f(0)=0,得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1),而由f(x-4)=-f(x)得，f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1),又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数,所以f(1)＞f(0)=0,所以-f(1)＜0,故f(-25)＜f(80)＜f(11).
二.解答题
9.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并求函数y=在该范围内的单调递减区间.
9.［解答］设0<x1<x2,则－x2<－x1<0.
∵f（x）在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1).
∵f（x）为偶函数，∴f(－x2)=f(x2)，f(－x1)=f(x1).∴f(x2)<f(x1).∴f（x）在(0，+∞)内单调递减.
又2a2+a+1=22+>0,3a2-2a+1=32+>0,
由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1),得2a2+a+1>3a2－2a+1，解之得0<a<3.
又a2－3a+1=－,∴函数y=的单调减区间是.
结合0<a<3,得函数y=的单调递减区间为.
10.（1）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)，求a的取值范围；
（2）设奇函数f（x）在［-1,1］上是增函数，且f(-1)=-1.若函数f（x）≤t2-2at+1对所有的x∈［-1,1］都成立，当a∈［-1,1］时，求t的取值范围.

10.（1）［解答］由奇函数的性质知f（x）在(0，+∞)内单调递增.
又2a2+a+1=2>0,3a2-2a+1=3>0,由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)，得2a2+a+1<3a2－2a+1,解之得a<0或a>3.
（2）［解答］由题意知f(-1)=-f(1)=-1，∴f（1）=1.
∵f（x）在［-1,1］上是增函数，∴当x∈［-1,1］时，-1≤f（x）≤1.
由函数t2-2at+1≥f（x）对所有的x∈［-1,1］都成立，只需t2-2at+1≥1成立，即t2-2at≥0.
设u(a)=-2ta+t2.
①当t=0时，显然成立;②当-2t>0即t<0时，由u（-1）=2t+t2≥0，解得t≤-2;③当-2t<0即t>0时，由u（1）=-2t+t2≥0，解得t≥2.
综上所述，t的取值范围是t∈{0}∪（-∞，-2］∪［2,+∞）.
11． 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在［0,＋∞)上为增函数，，解不等式：．
11. 【解析】由f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，且在［0,+∞）上为增函数，f=0，得f(x)＞0的解集为，则根据复合函数单调性可得，或，解得x∈∪（2，＋∞）.
12． 已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数．对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，且当x＞1时，f(x)＞0,f(2)=1．
(1) 求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2) 解不等式：f(2x2-1)＜2．
12. 【解析】令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，∴ f(1)=0，令x1=x2=-1，得f(-1)=0，∴ f(-x)=f［（-1）·x］=f(-1)+f(x)=f(x)，∴ f(x)是偶函数．
（1） 设x2＞x1＞0，则f(x2)-f(x1)=f -f(x1)=f(x1)+f-f(x1)=f.∵ x2＞x1＞0，∴ ＞1，∴ ＞0，即f(x2)-f(x1)＞0，∴ f(x2)＞f(x1).∴ f(x)在（0，＋∞）上是增函数．
（2） ∵ f(2)=1，∴ f(4)=f(2)+f(2)=2，∵ f(x)是偶函数，∴ 不等式f(2x2-1)＜2可化为f(|2x2-1|)＜f(4)，又∵ 函数在(0,＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为{x|x≠0}，∴ ｜2x2-1｜＜4，且2x2-1≠0，解得：-＜x＜，且x≠±，即不等式的解集为

13.已知f（x）是定义在［-1，1］上的函数，当a,b∈［-1,1］，且a≠b时，有>0.
（1）判断函数f（x）的单调性，并给予证明；
（2）若f（1）=1,f（x）≤m-2cm+2对所有x∈［-1,1］,c∈［-1,1］恒成立，求实数m的取值范围.
13.［解答］（1） f（x）在［-1，1］上是增函数.证明如下：
设－1≤x1<x2≤1，令a=x1，b=x2，则有>0.
∵x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f（x）在［-1，1］上是增函数.

（2） 由（1）得f（x）在［-1，1］上是增函数，且f（x）≤m+2－2cm对所有x∈［－1,1］,c∈［-1，1］恒成立，∴［f（x）］max≤m－2cm+2.而［f（x）］max=f(1)=1，

∴0≤m－2cm+1,即m+1－2cm≥0在c∈［－1,1］上恒成立.

方法一：设g(c)=－2mc+m+1在c∈［－1,1］上恒大于或等于0，则
即∴-≤m≤1.∴m∈.
方法二：故（2c-1）m≤1在c∈［-1，1］上恒成立.
当<c≤1时,m≤恒成立m≤1;
当-1≤c<时,m≥恒成立m≥-;
当c=时,m∈R.综上所述,m∈[-,1].
14.已知奇函数f（x）的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，且f（x）在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0，函数g(x)=-x2+mx+1-2m，x∈［0,1］.
(1) 证明：f（x）在(-∞,0)上是增函数；(2) 解关于x的不等式f（x）<0；
(3) 当x∈［0,1］时，求使得g(x)<0且f［g(x)］<0恒成立的m的取值范围.
14.解:(1) ∵f（x）在(0,+∞)上单调递增，
∴对于任意的0<x1<x2，都有f(x1)<f(x2).
又f（x）为奇函数，∴f(-x)=-f（x）.
任取x1<x2<0，则-x1>-x2>0，∴f(-x1)>f(-x2).∴f(x1)-f(x2)=f(-x2)-f(-x1)<0.
∴f（x）在(-∞,0)上是增函数.
(2) ∵f(1)=0，∴f(-1)=0，∴f（x）<0的解集为{x|x<-1或0<x<1}.
(3) 由已知及(2)的结果可知g(x)<0且f［g(x)］<0，当x∈［0,1］时恒成立g(x)<-1在x∈［0,1］上恒成立.
设h(x)=g(x)+1=-x2+mx+2-2m.
问题转化为-x2+mx+2-2m<0在x∈［0,1］上恒成立, ∴m(2-x)>-x2+2.
∵0≤x≤1，∴1≤2-x≤2.∴m>==.
∴. 综上所述，m∈（，+∞）

函数的图象
一.填空题
1.为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点向___________平移3个单位长度，再向___________平移___________个单位长度.
1.［答案］左，下，1［解析］函数y=lg可化为y=lg(x+3)-1.
2. 已知函数f（x）是定义在（-3，3）上的偶函数，当0≤x<3时，f（x） 的图象如图所示，
那么不等式x·f（x）<0的解集是___________.
2.［答案］（-3，-1）∪（0，1）
［解析］偶函数的图象关于y轴对称，画图可知当x<0时，f（x）>0的解集为（-3，-1）；当x>0时，f（x）<0的解集是（0，1）.所以原不等式的解集为（-3，-1）∪（0，1）.
3．函数的图象大致为下图中的_______．(填序号)

3. ①【解析】函数有意义,需使ex-e-x≠0,则其定义域为｛x|x≠0｝,排除③④；又因为y=,所以当x＞0时函数y为减函数,故选①.
4．f(2x+3)的图象经过_______可以得到函数f(2x-3)的图象．
4. 向右平移3个单位【解析】变换顺序是
5．函数y=f(x)的图象与函数g(x)=log2x(x＞0)的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为__________．
5. f(x)=-log2(-x)(x＜0)【解析】点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以 g(x)=log2x(x＞0)f(x)=-log2(-x)(x＜0).
6．函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，当x≤1时，f(x)=(x+1)2－1；则当x＞1时，f(x)＝_______．
6. (x-3)2-1【解析】利用数形结合，当x≤1时，f(x)=(x+1)2－1的对称轴为x=－1，最小值为－1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x＞1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为－1.
7．某给定函数y=f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1∈(0,1)，由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1＞an(n∈N*)，则该函数的图象是________．

7. ①【解析】由an+1=f(an)，an+1＞an，得f(an)＞an，即f(x)＞x，故选①．
8． 已知y=f(x)是定义在实数集上的函数，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于______对称．
8. 直线x=1【解析】y=f(x)，x∈R，由于f(x-1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，且f(1-x)=f［-(x-1)］的图象是f(-x)的图象也向右平移1个单位而得到的，又f(x)与f(-x) 的图象关于y轴（即直线x=0）对称，因此，f(x-1)与f［-(x-1)］的图象关于直线x=1对称.
9．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放
过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药
物释放完毕后，y与t的函数关系式为 (a为常数)，如图所示,
据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)　从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与
时间t(小时)之间的函数关系式为______；
(2)　据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0．25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过______小时后，学生才能回到教室．
9. （1） y= （2）【解析】（1） 当0≤t≤时，图象为过点（0，0）、（0.1,1）的直线，此时y=10t；当t＞时，函数过点（0.1,1），代入y=，得y=.从而得到所求的函数.（2） 由≤0.25，解得t≥，所以学生至少要经过小时才能回教室.
10．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是________．(填序号)
①在t1时刻，甲车在乙车前面;②t1时刻后，甲车在乙车后面;
③在t0时刻，两车的位置相同;④t0时刻后，乙车在甲车前面．
10. ①【解析】由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0 、0～tx与x轴所围成图形面积大，
则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面，故选①.
二.解答题
11.作出下列函数的图象
（1） y=|x2-2x|+1；（2）；（3） y=|log2(|x|-1)|.
11.［解答］（1） 这是一个分段函数，需要分段讨论，
其图象见下图（1）.
（2） 先分离分子的变量，∵y=，∴y=-1-.这是由反比例函数y=-先向右平移3个单位，再向下平移1个单位后得到的.其图象见下图（2）.
（3） 函数的定义域为{x|x<-1或x>1}，且为偶函数，很明显，该函数图象是由y=log2x的图象经过3次变换得到的：
y=log2xy=log2（x-1）y=log2(|x|-1) y=|log2（|x|-1）|.其图象见下图（3）.
12.(1) 试作出函数的图象.
（2） 对每一个实数x，三个数-x,x,1-x2中最大者记为y，试判断y是否是x的函数？若是，作出其图象，并讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，请说明理由.
12.［解答］（1） x>0时，f（x）≥2，∴当x=1时，f（x）的最小值为2，即图象最低点为（1,2）.又∵f（x）在（0，1）上为减函数，在（1,+∞）上是增函数，同时f（x）=x+>x（x>0），即以y=x为渐近线，于是当x>0时，函数的图象应为下图（1）.又f（x）=x+为奇函数，∴f(x)的图象为下图（2）.

（2） y是x的函数,作出g1（x）=x,g2（x）=-x,g3（x）=1-x2的图象可知，f（x）的图象是上图（3）中的实线部分．其定义域为R，值域为，单调增区间为，,单调减区间为,,当x=±时，函数有最小值，函数无最大值.
13.设函数f（x）=x3+2x2,若函数g(x)的图象与f（x）的图象关于点（2，1）对称，求函数g(x)的解析式.
［解答］设P(u,v)是f（x）图象上的任意一点，∴v=u3+2u2.①
∵P关于点（2，1）的对称点为Q（x,y），∴.∴代入①式得2-y=(4-x)3+2(4-x)2，整理得g(x)=x3-14x2+64x-94.

14.设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正方向分别平移t、s(t≠0)个单位长度后得到曲线C1.
（1） 写出曲线C1的方程；（2） 证明：曲线C与C1关于点对称；（3） 若曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明：s=-t．
14.解:（1） 曲线C1的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s.
（2） 证明：在曲线C上任意取一点B1(x1,y1)，设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点，则有
∴x1=t-x2,y1=s-y2,代入曲线C的方程，
得关于x2,y2的方程：s-y2=(t-x2)3-(t-x2)，
即y2=(x2-t)3-(x2-t)+s，可知点B2(x2,y2)在曲线C1上．
反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点的对称点在曲线C上．
因此，曲线C与C1关于点对称．
（3） 证明：∵曲线C与C1有且仅有一个公共点，∴方程组有且仅有一组解，
消去y，整理得3tx2-3t2x+(t3-t-s)=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根，
∴Δ=9t4-12t（t3-t-s）=0，即得t(t3-4t-4s)=0.
∵t≠0，∴．

二 次 函 数
一.填空题
1. 二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如下表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式ax2+bx+c＞0的解集是___________.
［答案］{x|x＞3或x＜－2}［解析］由表知y=a（x+2）（x－3），又当x=0时，y=－6，代入知a=1.∴y=（x+2）（x－3）.
2. 若函数y=x2+（a+2）x+3，x∈［a，b］的图象关于直线x=1对称，则b=___________.
［答案］6
［解析一］由二次函数y=x2+（a+2）x+3的图象关于直线x=1对称，可得二次函数的对称轴为1，即－=1.∴a=－4.而f（x）是定义在［a，b］上的，即a、b关于x=1也是对称的，∴=1,∴b=6.
［解析二］∵二次函数y=x2+（a+2）x+3的对称轴为x=1，∴f（x）可表示为f（x）=（x－1）2+c=x2-2x+1+c，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得a+2=－2.∴a=－4，b的计算同方法一.
3．已知函数f(x)＝2x2-mx+3，在［－2，＋∞)上是单调递增函数，在(－∞，－2］上是单调递减函数，则f(1) =_______．
3. 13【解析】由［－2，＋∞）、（－∞，－2］分别为函数f(x)=2x2-mx+3的单调递增区间和递减区间，知函数f(x)＝2x2-mx+3的对称轴为x==-2，解得m=-8，所以f(1)=2+8+3=13.
4． 已知一元二次方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是________．
4. －2＜a＜1【解析】设方程两根为x1、x2，则(x1-1)（x2-1）＜0，则x1x2－(x1+x2)+1＜0，即a-2+(a2-1)+1＜0，解得-2＜a＜1.
5．设二次函数f(x)=x2-x+a，若f(-m)＜0,则f(m+1)值的正负情况为_____．
5. f(m+1)＜0 【解析】y=，则函数的对称轴为x=，又，则有f(m+1)=f(-m)＜0.
6． 函数f(x)=2x2－6x＋1在区间［－1，1］上的最小值是_______，最大值是______．
6. －3；9【解析】f（x）=2.当x=1时，f（x）min=－3；当x=－1时，f（x）max=9.
7. 设二次函数f（x）=ax2+2ax+1在［-3,2］上有最大值4，则实数a的值为___________.
7.［答案］或-3
［解析］原函数可化为f（x）=a(x+1)2+1-a.当a>0时，对称轴为直线x=-1，原函数在［-3,2］上的最大值为f(2)=8a+1=4，此时a=；当a<0时，原函数在［-3,2］上的最大值为f(-1)=-a+1=4，此时a=-3.从而有a=或-3.
8． 已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根，则的最大值为________．
8. 18【解析】=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19,又由Δ=(k-2)2-4(k2+3k+5)≥0，得-4≤k≤-，则当k=-4时，取得最大值，且其最大值为18.
9． 已知f(x)=x2－2x＋3在闭区间［0，m］上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是______．
9. ［1，2］【解析】通过画二次函数图象知m∈［1，2］.
10．已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R)，对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立，若当x∈［-1,1］时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是_____．
10. b＜-1或b＞2【解析】由f(1-x)=f(1+x)知，函数f(x)的对称轴为直线x=1，则a=2，又其开口向下，所以当x∈［-1,1］时，函数f(x)为增函数，由题意知，只要f(-1)=b2-b-2＞0即可，从而可得b＜-1或b＞2.
二.解答题
11.已知二次函数的对称轴为x=-，截x轴上的弦长为4，且过点（0,-1），求函数的解析式．
11.［解答］∵二次函数的对称轴为x=-，∴设所求函数的解析式为f（x）=a（x+）2+b.
又f（x）截x轴上的弦长为4，∴f（x）过点（-±2,0）.
又f（x）过点（0,-1），∴.
f（x）=（x+）2-2．

12.已知函数f（x）=-4x2+4ax-4a-a2在区间［0，1］内有一个最大值-5，求a的值
12.［解答］f（x）=-4(x-)2-4a，此抛物线的顶点为(,-4a)，对称轴为直线x=.
当≥1，即a≥2时，f（x）在区间［0，1］上递增，此时f（x）的最大值为f(1)=-4-a2.令-4-a2=-5，解得a=±1<2（舍去）.
当0<<1，即0<a<2时，f（x）的最大值为f()=-4a.令-4a=-5，解得a=∈（0,2）.
当≤0，即a≤0时，f（x）在区间［0，1］上递减，此时f（x）的最大值为f(0)=-4a-a2.令-4a-a2=-5，即a2+4a-5=0，解得a=-5或a=1，其中-5∈.
综上所述，a=或a=-5.
13.函数f（x）=-x2+4x-1在区间［t,t+1］（t∈R）上的最大值为g(t).
（1） 求g(t)的解析式；（2） 求g(t)的最大值.
［解答］（1） f（x）=-x2+4x-1=-(x-2)2+3.
当t+1<2，即t<1时，函数f（x）在区间［t,t+1］上为增函数，∴g（t）=f（t+1）=-t2+2t+2；
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，g（t）=f（2）=3；
当t>2时，函数f（x）在区间［t,t+1］上为减函数，∴g（t）=f（t）=-t2+4t-1.
综上所述，g（t）=
（2） 当t<1时，g（t）=-t2+2t+2=-（t-1）2+3<3；当1≤t≤2时，g（t）=f（2）=3；当t>2时，g（t）=-t2+4t-1=（t-2）2+3<3.∴g（t）的最大值为3.
14.已知函数f（x）=x2-（2a-1）x+a2-2与x非负轴至少有一个交点，求a的取值范围．
14.［解答一］由题知关于x的方程x2-（2a-1）x+a2-2=0至少有一个非负实根，设其根为x1,x2，则x1x2≤0或
得-≤a≤即
［解答二］由题知f（0）≤0或解得-≤a≤即
15.已知函数f（x）=mx2+（m－3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围.
［解答］若m=0，则f（x）=－3x+1，显然满足要求.
若m≠0，则有两种情况：① 原点的两侧各有一个，则
② 都在原点右侧或一个在原点另一个在原点右侧，则解得0＜m≤1.
综上可得m∈（－∞，1］.
16.设二次函数f（x）=x2+ax+a，方程f（x）-x=0的两根x1和x2满足0<x1<x2<1.
（1） 求实数a的取值范围；（2） 试比较f(0)·f(1)-f(0)与的大小，并说明理由.
16.［解答一］（1） 令g(x)=f（x）-x=x2+(a-1)x+a，
则由题意可得0<a<3-2.
故所求实数a的取值范围是（0,3-2）.
（2） f（0）·f（1）-f（0）=g（0）g（1）=2a2，
令h(a)=2a2.∵当a>0时，h(a)单调增加，
∴当0<a<3-2时，0<h(a)<h(3-2)=2(3-2)2=2(17-12)=
即f（0）·f（1）-f（0）<.
［解答二］
(1） 方程f（x）-x=x2+(a-1)x+a=0，
由韦达定理得x1+x2=1-a，x1x2=a，
于是0<x1<x2<10<a<3-2。
故所求实数a的取值范围是（0,3-2）.
（2） 依题意可设g(x)=(x-x1)(x-x2)，则由0<x1<x2<1，得f(0)·f(1)-f(0)=g(0)g(1)=x1x2(1-x1)(1-x2)=［x1(1-x1)］［x2(1-x2)］
<，故f（0）·f（1）-f（0）<.
17.某电器生产厂决定开发某种新型电子产品，投资50万元改造生产线一次性批量生产，每生产一台这种产品需要成本600元，市场对此产品的需求量为12 000台.已知销售收入函数为g(x)=800x-（元），其中x是产品售出的数量，0≤x≤12000,且x∈Z.
（1） 将该产品的利润y表示为产量x的函数，求函数y的解析式；（2） 该厂生产这种产品多少台时，所获利润最大？
17.［解答］（1）①当0≤x≤12 000时，产品能全部售出，∴y=f（x）=(800x-x2)-（500 000+600x）=-x2+200x-500 000；
② 当x>12 000时，只能售出12 000台，∴y=f(x)=(800×12 000-×12 0