（新课标）分章精编---数列解答题一.doc

《数列》
三、解答题
1.已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….
（1）令求证数列是等比数列; （2）求数列
⑶ 设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。
解：（I）由已知得
又

是以为首项，以为公比的等比数列.
（II）由（I）知，
将以上各式相加得：

（III）解法一：
存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数即
又
当且仅当，即时，数列为等差数列.
解法二：
存在，使数列是等差数列.
由（I）、（II）知，

又
当且仅当时，数列是等差数列.
2.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1，数列对任意正整数n，均有：成立，又。
（Ⅰ）求数列的通项公式及前n项和；
（Ⅱ）在数列中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，……，第项，……，组成一个新数列，求数列的前n项和；
（Ⅲ）当时，比较与的大小。
解：（I）设公比为
代入得

即 ∵，∴，∴
∴是等差数列 =2 ∴
（Ⅱ）

（3） 时，时，
猜测时，
用数学归纳法证明如下
（1）时，（已证）
（2）假设时不等式成立，即
时，
又
∴
即时，不等式成立。
由（1）（2）知，当时，
3.已知数列的前项和和通项满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式； (Ⅱ) 求证：；
（Ⅲ）设函数，，求.
解：（Ⅰ）当时 ，
∴，由得
∴数列是首项、公比为的等比数列，∴
(Ⅱ)证法1： 由得 ，∴
∴
〔证法2：由（Ⅰ）知，∴
，∴ 即
(Ⅲ) ＝
＝ ∵
∴＝
4.已知等差数列的首项，公差，前项和为，，
（1）求数列的通项公式；（2）求证：
解：（1）等差数列中，公差

（2）

．
5.如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点) .
(Ⅰ) 写出；
y
x
O
A0
P1
P2
P3
A1
A2
A3
(Ⅱ)求出点的横坐标关于的表达式；
(Ⅲ)设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：(Ⅰ) .
(Ⅱ)依题意，则，
在正三角形中，有 ..
，
， ①
同理可得 . ②
①-②并变形得 ，
， .
∴数列是以为首项，公差为的等差数列. ，
.
.
(Ⅲ)解法1 ：∵，
∴.
.
∴当时，上式恒为负值， ∴当时，，
∴数列是递减数列. 的最大值为.
若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立.
设，则且，
∴ 解之，得 或， 即的取值范围是.
解法2：∵，

设，则 .
当时，，在是增函数. ∴数列是递减数列.
的最大值为.
6.已知数列{}的前项和,
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设,且，求.
解：（Ⅰ）∵Sn=n2+2n ∴当时，
当n=1时，a1=S1=3， ,满足上式， 故
（Ⅱ）∵, ∴
∴ ∴

7.已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数.
（1）用表示；
（2）,若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和，记数列的前项和，求。
解：（1）由题可得，所以在曲线上点处的切线方程为
，即
令，得，即
由题意得，所以
（2）因为，所以
即，
所以数列为等比数列故
（3）当时，
当时，
所以数列的通项公式为，故数列的通项公式为
①
①的 ②
①②得 故
8.定义一种运算*，满足（为非零实常数）
（1）对任意给定的k，设，求证数列是等差数列，并求k=2时，该数列的前10项和；
（2）对任意给定的n，设，求证数列是等比数列，并求出此时该数列前10项的和；
（3）设，试求数列的前n项和.
解：（1）∵ ，又 ∴
所以，所以, 所以数列是公差为的等差数列
当时，，所以
（2）∵ ，又 ∴ 故数列是公比为的等比数列
当时， 当时，
（3）∵ ∴ ，而 ∴
所以①
当时，
当时，②
①－②得
所以
9.已知数列的前n项和为，且，（n=1，2，3…）数列中，，点在直线上。
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求满足的最大正整数n。
解：（1）∵ ∴ 当时，
即 ∵ ∴ 即数列是等比数列
∵ ∴ 即 ∴
∵ 点在直线上 ∴ ∴
即数列是等差数列，又 ∴
（2） ①
∴ ②
①－②得
即 ∴
∵ 即 于是
又由于当时，, 当时，
故满足条件最大的正整数n为4
10.在等差数列中，首项，数列满足
（I）求数列的通项公式； （II）求
解：（1）设等差数列的公差为d， ，

由，解得d=1.
（2）由（1）得
设，
则
两式相减得
.
11.已知等差数列的前项和为
（1）求q的值；
（2）若与的等差中项为18，满足，求数列的{}前项和.
【解】 (1) ：当时，，
当时,.
是等差数列, ,
(2)解：, 又,,
又得.
,,即是等比数列
所以数列的前项和
12.数列的前项和记为，，．
（1）求数列的通项公式；（2）等差数列的前项和有最大值，且，又成等比数列，求．
解：（1）由，可得，
两式相减得，又∴，
故是首项为1，公比为3的等比数列，∴．
（2）设的公差为，由得，于是，
故可设，又，
由题意可得，解得，
∵等差数列的前项和有最大值，∴，
∴．
13.设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的通项公式；（2）令求数列的前项和．
解：（1）由已知得 解得．设数列的公比为，
由，可得．又，可知，
即，解得． 由题意得． ．
故数列的通项为．
（2）由于 由（1）得
=
14.已知数列的前项和为，.
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）设求使不等式 成立的正整数 的取值范围.
解：（I）由，则.
两式相减得. 即.
又时，.∴数列是首项为4，公比为2的等比数列.
（Ⅱ）由（I）知.∴
①当为偶数时，，
∴原不等式可化为，即. 故不存在合条件的.
②当为奇数时，.
原不等式可化为，所以，
又m为奇数，所以m=1,3,5…………
15.设数列的前项和为，点在直线上，为常数，．
(Ⅰ)求；
（Ⅱ）若数列的公比,数列满足，求证：为等差数列，并求；
（III）设数列满足，为数列的前项和，且存在实数满足，，求的最大值．
解：（Ⅰ）由题设， ①

由①，时，②
①②得，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
化简得： 为等差数列，
（III）由（Ⅱ）知 为数列的前项和，因为，
所以是递增的， 所以要满足，，
所以的最大值是
16.数列
（1）求证：数列是等比数列； （2）求数列{}的通项公式；
（3）
解：（1）由题意知：是等比数列
（2）由（1）知数列以是a2－a1=3为首项，以2为公比的等比数列，
所以 故a2－a1=3·20，所以a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，
所以
（3）
17.我们用部分自然数构造如下的数表：用（i、j为正整数），使；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和（第一、二行除外，如图），设第n（n为正整数）行中各数之和为b。
（1）试写出的关系（无需证明）；
（2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若

存在求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由。
解：（1）；
可见：；；；， …………2分
猜测：（或或） …………4分
（2）由（1） ， 所以是以为首项，为公比的等比数列，
∴，即
（3）若数列中存在不同的三项恰好成等差数列，不妨设，显然，是递增数列，则
即，于是
由且知，，
∴等式的左边为偶数，右边为奇数，不成立，故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列.
18.已知等比数列中，分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且，公比；
（1）求 （2）设，求数列的前n项和。
【解】（Ⅰ）依题意得

（Ⅱ）

又

19.已知数列（I）求数列的通项公式；
（II）设Tn为数列，求m的最小值。
【解】（I）由题意知

（II）

的最小值为10。
20.设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*,都有a13＋a23＋a33＋…＋an3＝Sn2，其中Sn为数例{an}的前n项和．
（1）求证：an2＝2Sn－an；（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn＝3n＋（－1）n－1λ·2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*,都有bn＋1>bn成立．
解：（1）由已知，当n＝1时，a13＝a12, 又∵a1>0,∴a1＝1．
当n≥2时，a13＋a23＋a33＋…＋an3＝Sn2① a13＋a23＋a33＋…＋an－13＝Sn－12②
由①②得，an3＝（Sn－Sn－1）（Sn－Sa－1）（Sa＋Sa－1）＝an（Sn＋Sn－1）．
∵an>0,∴an2＝Sn＋Sn－1, 又Sn－1＝Sa－aa,∴an2＝2Sn－an．
当n＝1时，a1＝1适合上式． ∴an2＝2Sn－an．
（2）由（1）知，an2＝2Sn－an,③ 当n≥2时，an－12＝2Sn－1－an－1,④
由③④得，an2－an－12＝2（Sn－Sn－1）－an＋an－1＝an＋an－1．
∵an＋an－1>0,∴an－an－1＝1,数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1． ∴an＝n．
（3）∵an＝n．,∴bn＝3n＋（－1）n－1λ·2n． 要使bn＋1>bn恒成立，
bn＋1－bn＝3n＋1－3n＋（－1）nλ·2n＋1－（－1）n－1λ·2n＝2×3n－3λ（－1）n－1·2n>0恒成立，
即（－1）n－1λ<（）n－1恒成立．
ⅰ。当n为奇数时，即λ<（）n－1恒成立．又（）n－1的最小值为1．∴λ<1．
ⅱ。当n为偶数时，即λ>－（）恒成立，又－（）n－1的最大值为－，∴λ>－．
即－<λ<1，又λ≠0，λ为整数，∴λ＝－1，使得对任意n∈N*,都有bn＋1<bn．
21.已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且．
(Ⅰ) 求数列的通项公式；(Ⅱ) 求证：数列是等比数列；
(Ⅲ) 记，求的前n项和．
解： (Ⅰ)设的公差为，则：，，
∵，，∴， ∴．∴．
（Ⅱ）当时，，由，得．
当时，，，∴，即．　
∴．　∴是以为首项，为公比的等比数列．
（Ⅲ）由（2）可知：． ∴．　
∴．
∴．
∴

∴
22.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项an； （2）求数列{nan}的前n项和Tn．
解：（Ⅰ），，．又，
数列是首项为，公比为的等比数列，．
当时，，
（Ⅱ），当时，；
当时，，…………①
，………………………②
得：
．
． 又也满足上式，
．
23.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225.
（1）求数列{an}的通项an；　　　　　
（2）设bn=+2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：（Ⅰ）设等差数列{an}首项为a1，公差为d，由题意，得
解得 　　∴an=2n－1
（Ⅱ），
∴
=
24.设数列满足当时，．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）试问是否是数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，说明理由．
解：（1）根据题意及递推关系有，取倒数得：，即
所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．
（2）由（1）得：，
又．所以是数列中的项，是第11项．
25.数列满足.
（1）求的值；
（2）是否存在一个实数，使得，且数列为等差数列？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由；
（3）求数列的前项和.
解：（Ⅰ）由得
（Ⅱ）假设存在实数t ,使得为等差数列. 则

为等差数列.
(Ⅲ)由（Ⅰ）、（Ⅱ）知:

26.已知数列中，，其前项和满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设(为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．
解：（1）由已知，（，）， 即（，），且．∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴．
（2）∵，∴，要使恒成立，
∴恒成立，∴恒成立，∴恒成立．
（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，∴．
（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，∴．
即，又为非零整数，则．综上所述，存在，使得对任意，都有．
27.是上的函数，对于任意和实数，都有，且
（1）求的值； （2）令，求证：为等差数列；（3）求的通项公式。
解：（1）令；再令
（2） 令代入已知得：
＃ （3）。
28.已知分别以为公差的等差数列满足
（1）若，且存在正整数，使得，求证：；
（2）若，且数列的前项和满足
，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，令，问不等式是否对恒成立？请说明理由。
解：（1），推出是成立的，由均值不等式既得。
（2）
。
（3）
当时，恒成立；当时，恒成立；
当时，恒成立。所以对任意的正整数，不等式恒成立。
29.已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且．
（1）求a的值；（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求b的值；
（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．
解：（1）由已知，得．由，得．
因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又，故b≥3．再由，得 ．
由，故，即．由b≥3，故，解得．
于是，根据，可得
（2）由，对于任意的，均存在，使得，则．
又，由数的整除性，得b是5的约数．故，b=5． 所以b=5时，存在正自然数满足题意．
（3）设数列中，成等比数列，由，，
得．化简，得．（※）
当时，时，等式（※）成立，而，不成立． 当时，时，等式（※）成立．
当时，，这与b≥3矛盾．这时等式（※）不成立．
综上所述，当时，不存在连续三项成等比数列；当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．
30.设数列的前项和为，且，其中；
（１）证明：数列是等比数列；
（２）设数列的公比，数列满足，（，求数列的通项公式；
（３）记，记，求数列的前项和为；
解：（1）由，
相减得：，∴，∴数列是等比数列
（2），∴，
∴是首项为，公差为1的等差数列；∴ ∴
（3）时，，∴，
∴， ①
②
②-①得：，
∴，
所以：
31.已知数列中，且点在直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数求函数的最小值；
（3）设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得
对于一切不小于2的自然数恒成立？
若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．
解：（1）由点P在直线上，即，
且，数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列
，同样满足，所以
（2）
-

所以是单调递增，故的最小值是
（3），可得，
，
……

，n≥2

故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立
32.已知函数，数列满足对于一切有，且．数列满足，设．
（Ⅰ）求证：数列为等比数列，并指出公比；
（Ⅱ）若，求数列的通项公式；
（Ⅲ）若（为常数），求数列从第几项起，后面的项都满足．
解（Ⅰ）
故数列为等比数列，公比为３.
（Ⅱ）
所以数列是以为首项,公差为 loga3的等差数列. 又
又=1+3,且

（Ⅲ）
假设第项后有
即第项后，于是原命题等价于

故数列从项起满足．
33.已知数列的前n项和为，且．
（Ⅰ）求数列通项公式；
（Ⅱ）若，，求证数列是等比数列，并求数列的前项和．
解：（Ⅰ）n≥2时，．n＝1时，，适合上式，
∴．
（Ⅱ），．即．
∴数列是首项为4、公比为2的等比数列．
，∴．Tn＝＝．
34.已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的(q∈R)的等比数列，
若函数，且,,，
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，对一切，都有成立，求
解：(1)数列是公差为的等差数列 ，且

数列是公比为的(q∈R)的等比数列 ，且,,

(2) ，

设

综上
35.在正项数列中,令.
（Ⅰ）若是首项为25,公差为2的等差数列,求；
（Ⅱ）若（为正常数）对正整数恒成立,求证为等差数列；
（Ⅲ）给定正整数,正实数,对于满足的所有等差数列,
求的最大值.
解：（Ⅰ）解：由题意得,,所以=
（Ⅱ）证:令,,则=1
所以=（1）,=（2）,
（2）—（1）,得—=,
化简得（3）
（4）,（4）—（3）得
在（3）中令,得,从而为等差数列
（Ⅲ）记,公差为,则=
则,

则,当且仅当,即时等号成立
36.在等差数列中，,.
(Ⅰ)求数列的通项；(Ⅱ)令，证明：数列为等比数列；
（Ⅲ）求数列的前项和.
解：(Ⅰ)由，得方程组，
解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，
是首项是4，公比的等比数列。
(Ⅲ) 由 得：　

相减可得： 　
37.已知数列的前项和为，若且．
(Ⅰ)求证是等差数列，并求出的表达式；
(Ⅱ) 若，求证．
解：（I）证明：∵ ∴当n≥2时，an = Sn – Sn – 1
又 ∴，
若Sn = 0，则an = 0，∴a1 = 0与a1 =矛盾！ ∴Sn≠0，Sn – 1≠0．
∴即 又．∴{}是首项为2，公差为2的等差数列
（2）解：由（I）知数列{}是等差数列．∴即
∴当 又当
∴
（III）证明：由（II）知
∴

38.设数列{}的前n项和为，并且满足，（n∈N*）.
（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想{}的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）设，，且，证明：≤.
解：（Ⅰ）分别令，2，3，得
∵，∴，，
（Ⅱ）证法一：猜想：，由 ①
可知，当≥2时， ②
①-②，得 ，即.
1）当时，，∵，∴；
2）假设当（≥2）时，.
那么当时，，
∵，≥2，∴， ∴.
这就是说，当时也成立，∴（≥2）. 显然时，也适合.故对于n∈N*，均有
证法二：猜想：，1）当时，成立；
2）假设当时，. 那么当时，.
∴，
∴
（以下同证法一）
（Ⅲ）证法一：要证≤，
只要证≤，
即≤， 将代入，得≤，
即要证≤，即≤1. ∵，，且，∴≤,
即≤，故≤1成立，所以原不等式成立.
证法二：∵，，且，∴≤
当且仅当时取“”号. ∴≤ ②
当且仅当时取“”号. ①+②，得
（）≤，当且仅当时取“”号.
∴≤
证法三：可先证≤. ∵，
，≥， ∴≥，
∴≥，当且仅当时取等号. 令，，即得
≤，
当且仅当即时取等号.
39.已知二次函数同时满足：①不等式 ≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立,设数列｛｝的前项和.
（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求数列｛｝的通项公式；
（Ⅲ）设各项均不为0的数列｛｝中，所有满足的整数的个数称为这个数列｛｝的变号数，令（）,求数列｛｝的变号数.
解：（Ⅰ）∵不等式≤0的解集有且只有一个元素 ∴　解得或
当时，函数在递增，不满足条件②
当时，函数在（０，２）上递减，满足条件②
综上得，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 当时，
当≥２时＝＝ ∴
（Ⅲ）由题设可得∵，，∴，都满足 ∵当≥３时，
即当≥３时，数列｛｝递增，∵，由，
可知满足 ∴数列｛｝的变号数为３.
40.已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn.
解：（1）由题意知， ，又，故
（2）由（1）知，

于是
两式相减，得

41.已知等差数列和正项等比数列，，．
⑴求、；⑵对，试比较、的大小；
⑶设的前项和为，是否存在常数、，使恒成立？若存在，求、的值；若不存在，说明理由．
解：⑴由，得-------1分 由且得
所以，
⑵显然，时，；时，，，
时，
-------6分
因为、，所以时，
⑶
恒成立，则有
，解得，
，

所以，当，时，恒成立
42.设数列的前n项和为，数列满足: ,且数列的前n项和为.
(1)求的值； (2)求证：数列是等比数列；
(3)抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，……余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前n项和为，求证：.
解:(1)由题意得: ;
当n=1时,则有: 解得: ;
当n=2时,则有: ,即,解得: ;
(2) 由 ① 得:
②
② - ①得: ,
即: 即:;
,由知: 数列是以4为首项,2为公比的等比数列
(3)由(2)知: ,即
当n≥2时, 对n=1也成立, 即(n
数列为,它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；
当n=2k-1 时,

当n=2k 时,

.
43.已知数列是等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，记数列的前n项和为Tn，试证明：恒成立。
解：（1）设等差数列
所以d=3 所以数列的通项公式
（2） 当n≥2时，
∴数列是等比数列，首项
恒成立
44.已知数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）设
（3）设是否存在最大的整数m，使得对任意，均有成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由。
解：（1） （2）
（3）由（1）可得
则
由Tn为关于n的增函数，故，于是欲使恒成立
则 ∴存在最大的整数m=7满足题意
45.已知数列满足：，且
（Ⅰ）求； （Ⅱ）求证数列为等比数列并求其通项公式；
（Ⅲ）（理）求和S2n+1=
（文）求和
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）当

∴ ∴
（理）（Ⅲ）∵
∴

（文）（Ⅲ）∵ ∴=

46.已知各项均为正数的数列，的等比中项。
（1）求证：数列是等差数列；（2）若的前n项和为Tn,求Tn。
解：（1）由题意，
当
即
即 是等差数列
（2）
① ②
①—②得
47.{an}为等差数列，且，为数列{}的前n项和，设
（1）比较f（n）与f（n+1）的大小；
（2）若，在x∈[a，b]且对任意n＞1，n∈N*恒成立，求实数a、b满足的条件。
解：（1）an=n，f（n+1）- f（n）=S2（n+1）- Sn+1-[ S2n- Sn]= S2（n+1）- S2n- （Sn+1-Sn）= a2n+2+ a2n+1-an+1
=-=＞0 ∴f（n+1）＞ f（n）
（2）由上知：{ f（n）}为递增数列，只须log2x＜12 f（2）成立，f（2）= S4-S2=
∴log2x＜7， ∴0＜x＜128， ∴0＜a＜b＜128
48.若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1，且满足an=，n=3，4，5，…
（1）求c的值；
（2）设bn=n·an求数列{bn}的前项和Sn .
解：（1）2a3 =a2+a1，c=1，c=-，（2）①当c=1时，an=1，bn=n·an=n，Sn=
②当c=-时，an=（-）n-1，bn=n·an=n（-）n-1，
Sn= 1·（-）1-1+2·（-）2-1+3·（-）3-1+…+n·（-）n-1
-Sn= 1·（-）2-1+2·（-）3-1+…+（n-1）·（-）n-1+ n·（-）n
相减得；Sn=-（+）·（-）n
49.已知数列的前n项和为且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和；
（Ⅲ）设，证明：．
解：（Ⅰ）（1） (2)
（2)－(1)得： ，所以 （3分）

（Ⅱ） （3）
（4）
（3)－(4)得：

50.已知数列满足
（1）求
（2）设的通项公式；
（3）求数列的通项公式。
解：（1） 证明：

（2）

（3）当时，有

而
51.设a>2，给定数列
求证：（1），且 （2）如果。
证明：（1）使用数学归纳法证明 当n=1时，
假设当时命题成立，即
当
即 综上对一切
当>2时， …
（2）因为>2，所以
故
由此可得

52.已知数列的前项和为，点在直线上，其中.令，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和
解：（1）∵，∴. ∴（）.
∴（）. ∴（）.
∴（）.∴数列等比，公比，首项，
而，且，∴. ∴. ∴.
（2）， ①
∴2. ②
①-②得 -，
∴.
53.设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）在集合，，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由；
解：（1）由题意得， ①， 当时，，解得，
当时，有 ②，①式减去②式得，
于是，，，
因为，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以的通项公式为（）．
（2）设存在满足条件的正整数，则，，，
又，，…，，，，…，，
所以，，…，均满足条件，它们组成首项为，公差为的等差数列．
设共有个满足条件的正整数，则，解得．
所以，中满足条件的正整数存在，共有个，的最小值为．
（3）设，即，……（15分），
则
，其极限存在，且
．
注：（为非零常数），（为非零常数），
（为非零常数，）等都能使存在．
按学生给出的答案酌情给分，写出数列正确通项公式的得3分，求出极限再得3分．
54.观察数列：
①；②正整数依次被4除所得余数构成的数列；
③
(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列，如果________________________，对于一切正整数都满足___________________________成立，则称数列是以为周期的周期数列；
(2)若数列满足为的前项和，且，证明为周期数列，并求；
(3)若数列的首项，且，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论.
解：(1) 存在正整数；
(2)证明：由
所以数列是以为周期的周期数
由
于是 又
所以，
(3)当=0时，是周期数列，因为此时为常数列，所以对任意给定的正整数及任意正整数，都有，符合周期数列的定义.
当时，是递增数列，不是周期数列.
下面用数学归纳法进行证明：①当时，因为
所以，
且 所以
②假设当n=k时，结论成立，即，
则即 所以当n=k+1时，结论也成立.
根据①、②可知，是递增数列，不是周期数列.
55.如图是一个具有行列的数表，第一行是首项为，公比为的等比数列，第一列是首项为，公差为的等差数列，其它空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写。设表示第行第列的数.
1
q
q2
┅
qn-1
1+d

1+2d

┅

1+(n-1)d

(1)求的表达式；
(2)第二行能否构成等比数列？若能，求出满足的条件；若不能，请说明理由.
(3)请根据这张数表提出一个与问题(2)相类似的问题，并加以研究和解决(根据所提问题的难度及解答情况评分).
解：(Ⅰ)
(Ⅱ)若成等比数列，则成等比数列，
，整理，得
此时， ，成等比数列，此时，
(Ⅲ)(以下根据提出问题的难易及解答情况给分)问题①：第2行能否成等差数列？研究：若成等差数列，则成等差数列，
解得，，此时，=，
，成等差数列，此时，
问题②：第2列能否成等差数列？研究略；问题③：第2列能否成等比数列？
问题④：第3行能否成等差数列？
56.已知二次函数对任意满足，且图像经过点及坐标原点.
（1）求函数的解析式；
（2）设数列前项和，求数列的通项公式；
(3）对(2)中，设为数列前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ) (Ⅱ)
(Ⅲ)，设存在满足条件的.
当，解得.
当,解得.
猜想：.
下面用数学归纳法证明：
证明：(1)当时，由上述可知，结论成立，
(2)假设当时，结论成立，即成立，
则时，左边=
即时，结论也成立；根据(1)(2)可知，对时，结论成立.

因此，存在满足条件.
57.已知：.若数列使得成等差数列.
(1)求数列的通项；
(2)设，若的前项和为，求.
解:(1)
(2) ，①
，②
②-①，整理，得
58.设数列的图象上。
（1）求的表达式；
（2）设使得不等式
都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）将数列{}依次按1项，2项循环地分为，
…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为的值；
（4）如果将数列{}依次按1项，2项，3项，…，项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
解：（1）

（2）
设

故
要使不等式
（3）数列依次按1项， 2项循环地分为（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），…，每一次循环记为一组。由于每一个循环含有2个括号，故b100是第50组中第2个括号内各数之和。
由分组规律知，的等差数列。
所以
（4）当n是m的整数倍时，求的值。
数列依次按1项、2项、3项，…，m项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），…，第m组，第2m组，…，第组的第1个 数，第2个数，…，第m个数分别组成一个等差数列，其首项分别为
则第m组、第2m组，…，第km组，…的各数之和也组成一个等差数列，其公差为
第m组的m个数之和为
当
58.已知数列的前项和为，，且（为正整数）.
（1）求数列的通项公式；
（2）记.若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.
[解] （1）， ① 当时，. ②
由 ① - ②，得. .
又 ，，解得 .
数列是首项为1，公比为的等比数列. （为正整数）.
（2）由（1）知，，.
由题意可知，对于任意的正整数，恒有，解得 .
数列单调递增， 当时，数列中的最小项为，
必有，即实数的最大值为.
59.如图，在直角坐标系中，有一组对角线长为的正方形，
其对角线依次放置在轴上（相邻顶点重合）. 设是首项为，公差为的等差数列，点的坐标为.

（1）当时，证明：顶点不在同一条直线上；
（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点均落在抛物线上；
（3）为使所有顶点均落在抛物线上，求与之间所应满足的关系式.
[证明]
（1）由题意可知，，
. ，
顶点不在同一条直线上.
（2）由题意可知，顶点的横坐标，
顶点的纵坐标. 对任意正整数，点的坐标满足方程，
所有顶点均落在抛物线上.
（3）[解法一] 由题意可知，顶点的横、纵坐标分别是

消去，可得 . 为使得所有顶点均落在抛物线上，则有 解之，得 . 所应满足的关系式是：.
[解法二] 点的坐标为 点在抛物线上，
. 又点的坐标为 且点也在抛物线上， ，把点代入抛物线方程，解得 .
因此，， 抛物线方程为.
又
所有顶点落在抛物线上.
所应满足的关系式是：.
60.在数列中，对任意，有，且，在个1与第个l之间恰有个2，即1，2，1，2，2，1，…
(1)第10个1是的第几项?第个1呢?
(2)求
(3)设表示的前项和，是否存在正整数，使或若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
解：（1）在第10个1之前有1+2+…+29-1=511个2.所以第10个1是511+10=521项

61.设数列的各项都是正数，， ， .
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；
（3）求证： .
解：⑴由条件得： ∴ ∵ ∴ ∴为等比数列∴
⑵由 得 又 ∴ ⑶∵
（或由即），∴为递增数列.