基本不等式的证明教学设计方案.doc

基本不等式的证明教学设计方案

学 科
数学
学 校
镇江市丹徒高级中学
教 者
蔡鹏
课 题
基本不等式的证明
课 型
新授课
地 点
本校
课程分析：（本课的作用和学习本课的意义，阐述学什么？为什么学的问题）

课前问题：
问题一：什么是两个正数算术平均数和几何平均数？
问题二: 猜想算术平均数和几何平均数有着怎样的大小关系？
问题三: 怎么比较算术平均数和几何平均数？
问题四：如何证明你的猜想？
问题五：为什么要规定是两个正数？
问题六：试着猜想三个及以上的正数算术平均数和几何平均数又有着什么样的大小关系？
教学构想及目标:（阐述如何学的问题，包括对微课创意的简单说明）

知识目标：
1.探索并了解基本不等式的证明过程；
2.体会证明基本不等式的基本思想方法；
3.初步学会运用基本不等式求最值。
能力目标：
1.掌握基本不等式的取等条件，并能用此方法求函数最大值。
2.通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种证明中简单的方法证明其它不等式问题。
3.体会类比的数学思想方法，培养其观察、分析问题的能力和总结概括的能力
情感目标：
通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。
（上述目标亦可以知识与技能；过程与方法；情感态度与价值观体现）
教学重点：
基本不等式的证明
教学难点：
基本不等式的证明
教学方法：
问题探究
所需设备：
直尺、圆规、计算机
教师活动
学生活动
设计意图
打开多媒体excel表格、让同学们观察表格中的数据。在此过程中约一分钟对电子表格的最后一行进行自定义输入数据进行求其几何平均数和算术平均数，同时也观察数据规律。

首先让同学们回答的平均数（全部举正数），然后引入这个式子，然后用课件演示,和的大小关系
问题1：从刚刚的演示上得出和的大小关系是什么？
从刚刚多媒体的观察数据中同学们已经看出：，
所以我们猜想：
是不是两个正数的几何平均数都不小于他们的算术平均数？

求证：基本不等式
，（）（当且仅当时取）
比较法，比较不等式的两端，因此可以考虑用作差比较，例如：初中的移项。提示学生用作差法证明。（作差或作商）
综合法（执因索果），正常思路是从已知入手，从已知逐步推向结论，这是常用的做题方法。综合法的是设计让学生体会现实综合法是设计让学生体会显示中每一个事物都有本身的性质，培养学生探索发现新事物的能力。
分析法（执果索因），分析法是让学生从结论出发的一种证明方法，是做题中容易的一种方法，因此要培养学生分析法在实际问题上的应用。
分析：比较法，综合法，分析法
题：本证明方法有什么特点？平时有没有遇到过？

基本不等式的几何解释——“半径不小于半弦”

1．例1 设为正数，证明下列不等式成立：
（1） （2）
注意：要说明不等式中等号成立的条件。
这两道例题在讲授时以提问学生为主，让学生自己说，老师在前面板书。
第2小题变式：
教师启发，学生简单讨论，学生讲教师写，或让学生上黑板板演。

学生观察表格中的数据。讨论几何平均数和算术平均数的大小情况，同时将观察数据比较给出结论。

小于或等于。
转向多媒体输入特殊的，这时输入的都相等，让同学们观察数据回答。
问题2：有没有可能出现？什么时候会出现号？
（生）有，时

证法1 作差
= 变形
= 判断符号
当且仅当，即时取 取等条件
注意：注意取等“=”时的情况，出现这种情况可以让学生仔细从证明问题中注意“”号，进而提示学生没有完成。该过程可以提高学生对问题的细心程度，可以培养学生对周围事物的观察力，善于发现问题的能力。
证法2
要证
只要证
只要证
只要证
因为最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当，即时取
证法3 对于正数 ，有

从结论出发，逐步反推已知。在初中几何中遇到过。
问题：能否举例说明你所遇到过的类似此证明的思路问题？

自主学习，实战演练1：
课堂练习：
证明：
（1）x2+1≥2x； （2）（a>1）
引导学生观察不等式（3）右边的常数部分和等号成立的条件，引出最值和取得最值的条件，过度到下一话题——求最值。
例2 已知函数，，求此函数的最小值。
注意：要说明什么时候取得最小值。

在学生对多媒体原有的兴趣上，让数据做的尽量人性化，可以让学生集中精神关注数据的变化。这样可以激发学生的研究热情，起到很好的导入效果。

引导学生进入主题，充分发挥学生的主体作用，让学生成为学习主动者、探索者。

第一种证明方法一般不会忽视取“=”条件。证法2的方法我们称之为“分析”，其特点是从结论出发（出发点让学生总结），形式是“要证……，只要证……只要证……”，从本质上看，只是对问题做尝试的探索的过程（即执果索因）。当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的。

这种从已知推向未知，再从未知推向新的未知，直到结论成立的方法称之为综合法（即执因导果）。改证明的过程有前两个方法做起来比较容易，是学生的正常思路，主要给出综合法的思维过程。

图像观察更直接、给人以深刻的印象。

课堂总结：
请学生针对本节的内容进行自我小结，学生之间相互补充后，最后教师总结。
教师总结：
（1） 从生活中的例子观察、归纳出数学模型；
（2） 证明所做的猜想或所得规律的正确性，并学会不等式的几种证法，理解它们的思路和步骤；
（3） 研究基本不等式的关键点，从而做到准确应用基本不等式；
（4） 应用基本不等式求函数的最值。

教学反思：形数结合是我们认识数学的重要思想。本课由问题引出基本不等式——利用代数知识证明基本不等式——从几何和代数两个角度发掘基本不等式的变形形式——数学建模，利用基本不等式求最值——实际应用，利用基本不等式指导生活实践。
从几何图形中提炼和挖掘数学知识，完成从感性认识逐步上升为以抽象概括为主的理性认识，然后指导生活实践. 在整个设计过程中，始终体现以学生为中心的教学理念，在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，为增强学生学习兴趣，在设计之初精心安排，同时在后续探究中，不断的让学生从单位圆中发现基本不等式的变形形式，到后面让学生用代数知识证明不等式链，让学学生探究问题的过程中既复习了数学知识，又培养了他们形数结合的数学思想；在思维拓展中，利用课本变式，引导学生用基本不等式求最值，训练了学生的建模思想，体会了不等式的应用；最后围绕电脑屏幕问题，让学生学以致用，真正感受到数学无穷的魅力所在；以上种种正好体现出新课程的新理念。

收获与体会：
在本节课教学中，一是问题情境的创设与生成始终渗透是一大亮点，让学生始终从数和形两方面加深对不等式的认识；二是源于课本，对教材的加工、改造和策划成功，做到了既贴近学生的最近发展区，又有效地达成了本节课的教学标准。
改进与建议：
由于本节课教学预设特别充分，因此实际生成容受到到学生对象的制约，教学节奏不够理想，过程展开不够充分，课堂结尾显得有些仓促。