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鸽巢原理的运用及其转化
濮阳县鲁河镇杜堌中心小学 李国柱
鸽巢原理是数学中的一个重要原理，它最早由德国数学家狄利克雷提出并运用于解决数论中的问题，所以该原理又称“狄利克雷”原理。该原理有两个经典案例，一个是把十个苹果放进九个抽屉里，总有一个抽屉里至少放了两个苹果，所以这个原理又称为“抽屉原理”；另一个是六只鸽子飞进五个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进两只鸽子，所以也叫“鸽巢原理”。
涉及鸽巢原理的问题主要有三类：
1、 am只鸽子飞进m个鸽巢，总有一个鸽巢至少要飞进a+1只鸽子。或者n只鸽子飞进m个鸽巢，总有一个鸽巢至少要飞进n/m(进一法保留整数，即有余数进一)只鸽子。
2、 m个鸽巢，每个鸽巢最多可飞进a只鸽子，至少需要am+1只鸽子，可以保证每个鸽巢里都飞进了鸽子。
3、 m个鸽巢，一定有一个鸽巢至少飞进b只鸽子，需要mb – m +1只鸽子。
典型例题：
1、11只鸽子飞进4个鸽巢，总有一只鸽巢至少飞进3只鸽子，为什么？
因为11/4=2.75，根据进一法， 2.75保留整数，则为3。
2、4个鸽巢，每个鸽巢最多可飞进5只鸽子，则至少需要多少只鸽子，可以保证每个鸽巢里都飞进了鸽子。
因为4 X 5+1=21，所以至少需要21只鸽子，方可保证每个鸽巢里都飞进了鸽子。
3、4个鸽巢，至少需要多少只鸽子，一定有一个鸽巢不少于3只鸽子。
方法一：4x3 – (4 – 1)=9(只)。
方法二：4x(3 – 1)+1=9(只)。
鸽巢原理是以鸽子和鸽巢为例来说明一个数学问题，但在实际运用中，我们遇到的往往并非只是鸽子和鸽巢的问题，但却完全可以运用鸽巢原理来解决。这就存在一个鸽巢原理的转化问题，关键是我们必须搞清楚在此类问题中谁相当于鸽巢、谁相当于鸽子。
问题示例：
把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里，至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？
分析：颜色相当于鸽巢，球相当于鸽子，符合鸽巢原理第三类问题。
解决方案一：4 x (2 – 1)+1=5。
解决方案二：4 x 2– (4 – 1)=5。
上述示例，只是一个比较简单的鸽巢原理的转化问题，鸽子和鸽巢的相关项很直接，但还有很多情况，鸽子和鸽巢的相关项不是那么明确、那么直接。我们该怎么办？这就需要我们练就孙悟空的火眼金睛，洞穿问题的本质，找到鸽巢和鸽子的相关项，然后在运用鸽巢原理解决问题。例如：
养老院买了一些苹果、梨和橘子，每位老人任意选两个水果，至少应有几位老人才能保证必有2位或2位以上的老人所选水果相同？
分析：这也是一个关于鸽巢原理的问题。鸽子和鸽巢的相关项分别是什么？无疑老人相当于鸽子，鸽巢呢？是水果的品种吗？不！问题是“至少应有几位老人才能保证必有2位或2位以上的老人所选水果相同？”关键在于“所选水果相同”，我们应该再“选”字上做文章，水果的选法有多少种呢？选两个任选一种水果有三种选择方法，任选两种水果有三种选择方法，一共有六种选择方法。所以“水果的选择方法”就相当于鸽巢！
解决方案一：6 x (2 – 1) + 1 = 7。
解决方案二：6 x 2 – (6 – 1) = 7。
综上在鸽巢原理的转化问题中，寻找鸽巢和鸽子的相关项，应该从问题中查找，鸽子的问题解决了，与鸽子的相关项关系最直接的项目就是鸽巢的相关项。