资源描述
2012－2013学年第二学期期初高三教学质量调研 数学试卷
2013．02
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合A={－1,0,1, 2}，B={x|x2－x≤0}，则A∩B= ▲ ．
2．设a为实数，若复数 (1＋2i)(1＋ai) 是纯虚数，则a的值是 ▲ ．
3．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：g）数据绘制的
频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间
[96，100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[98，104)的产品个数是 ▲ ．
4．如图所示的流程图的输出S的值是 ▲ ．
（第3题） （第4题）
5．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则两次点数之和为偶数的概率是 ▲ ．
6． 设k为实数，已知向量a(→)＝(1，2)，＝(－3，2)，且(ka(→)＋)⊥(a(→)－3b(→))，则k的值是 ▲ ．
7．在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝ ▲ ．
8. 已知实数x，y满足约束条件， 则z＝2x＋y的最小值是 ▲ ．
9．已知双曲线－＝1 (a＞0，b＞0) 的焦点到渐近线的距离是a，则双曲线的离心率的值是 ▲ ．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a＝2，3bsinC－5csinBcosA＝0，则△ABC面积的最大值是 ▲ ．
11．已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数．若f(1)＜f(lnx)，则x的取值范围是 ▲ ．
12．若点P、Q分别在函数y＝ex和函数 y＝lnx的图象上，则P、Q两点间的距离的最小值是 ▲ ．
13．已知一个数列只有21项，首项为，末项为，其中任意连续三项a，b，c满足
b＝，则此数列的第15项是 ▲ ．
14．设a1，a2，…，an为正整数，其中至少有五个不同值. 若对于任意的i，j(1≤i＜j≤n)，存在k，l（k≠l，且异于i与j）使得ai＋aj＝ak＋al，则n的最小值是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
如图，摩天轮的半径为50 m，点O距地面的高度为60 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.
（1）试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85 m?
(第15题)
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD＝ BC. 点E、F分别是棱PB、边CD的中点.
（1）求证：AB⊥面PAD；
（2）求证：EF∥面PAD.
（ （第16题）
17．（本小题满分14分）
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：＋y＝1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.
（1）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；
（2）求线段MN长的最小值；
（第18题）
（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
19. （本小题满分16分）
设非常数数列{an}满足an+2＝，n∈N*，其中常数α，β均为非零实数，且 α＋β≠0.
（1）证明：数列{an}为等差数列的充要条件是α＋2β＝0；
（2）已知α＝1，β＝， a1＝1，a2＝，求证：数列{| an＋1－an－1|} (n∈N*，n≥2)与数列{n＋} (n∈N*)中没有相同数值的项.
20. （本小题满分16分）
设函数f (x)的定义域为M，具有性质P：对任意x∈M，都有f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1).
（1）若M为实数集R，是否存在函数f (x)＝ax (a＞0且a≠1，x∈R) 具有性质P，并说明理由；
（2）若M为自然数集N，并满足对任意x∈M，都有f (x)∈N. 记d(x)＝f (x＋1)－f (x).
(ⅰ) 求证：对任意x∈M，都有d(x＋1)≤d(x)且d(x)≥0；
(ⅱ) 求证：存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n，满足d(n)＝c.
2012－2013学年第二学期期初高三教学质量调研
数 学（附加题） 2013.02
21、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A、（几何证明选讲选做题）
如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE．
B、（矩阵与变换选做题）
已知M＝，N＝，设曲线y＝sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．
C、（坐标系与参数方程选做题）
在平面直角坐标系xOy中，直线m的参数方程为（t为参数）；在以O为极点、射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsinθ＝8cosθ．若直线m与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．
D、（不等式选做题）
设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋≥2y＋3．
22、【必做题】
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE＝BB1 ，C1F＝CC1.
（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；
（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值.
23、【必做题】
在数列{an}（n∈N*）中，已知a1＝1，a2k＝－ak，a2k－1＝(－1)k+1ak，k∈N*. 记数列{an}的前n项和为Sn.
（1）求S5，S7的值；
（2）求证：对任意n∈N*，Sn≥0.
2012－2013学年第二学期期初高三教学质量调研 数学
参考答案
一、 填空题：·
1. {0, 1} 2. 3. 60 4. 20 5. 6. 19 7. 8. 2
9. 10. 2 11. (0, )∪(e, ＋∞) 12. 13. 14. 13
二、解答题：
15. （1）解：设点P离地面的距离为y，则可令 y＝Asin(ωt＋φ)＋b.
由题设可知A＝50，b＝60. ………………2分
又T＝＝3，所以ω＝，从而y＝50sin(t＋φ)＋60. ………………4分
再由题设知t＝0时y＝10，代入y＝50sin(t＋φ)＋60，得sinφ＝－1，从而φ＝－.
……………… 6分
因此，y＝60－50cost (t≥0). ………………8分
（2）要使点P距离地面超过85 m，则有y＝60－50cost＞85，即cost＜－.
………………10分
于是由三角函数基本性质推得＜t＜，即1＜t＜2. ………………12分
所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85 m的时间有1分钟.
………………14分
16. 证明：（1）因为PD⊥面ABCD，
所以PD⊥AB. ………………2分
在平面ABCD中，D作DM//AB，则由AB=12得
DM=12.
又BC=10，AD＝BC，则AD=5，从而CM=5.
于是在△CDM中，CD=13，DM=12，CM=5，则
由及勾股定理逆定理得DM⊥BC .
又DM//AB，BC//AD，所以AD⊥AB.
又PD∩AD＝D，所以AB⊥面PAD. ………………6分
（2）[证法一] 取AB的中点N，连结EN、FN.
因为点E是棱PB的中点，所以在△ABP中，EN//PA.
又PAÌ面PAD，所以EN//面PAD. ………………8分
因为点F分别是边CD的中点，所以在梯形ABCD中，FN//AD.
又ADÌ面PAD，所以FN//面PAD. ……………10分
又EN∩FN＝N，PA∩DA＝A，所以面EFN//面PAD. ………………12分
又EFÌ面EFN，则EF//面PAD. ………………14分
[证法二] 延长CD，BA交于点G.
连接PG，EG，EG与PA交于点Q.
由题设AD∥BC，且AD＝ BC，所以CD＝DG，BA
＝AG，即点A为BG的中点.
又因为点E为棱PB的中点，所以EA为△BPG的中位线，即EA∥PG，且EA:PG＝1:2，故有EA:PG＝EQ:QG＝1:2. ………………10分
又F是边CD的中点，并由CD＝DG，则有FD:DG
＝1:2. ………………12分
在△GFE中，由于EQ:QG＝1:2，FD:DG＝1:2，所以EF∥DQ.
又EFË面PAD，而DQÌ面PAD，所以EF∥面PAD. ………………14分
17. 解：（1）由题设知x＝5时y＝11，则11＝＋10(5－6)，解得a＝2.
………………3分
（2）由（1）知该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)，所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3) [＋10(x－6)]＝2＋10(x－3) (x－6)，3＜x＜6. ………………6分
对函数f(x)求导，得f ′(x)＝10[(x－6)＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
令f ′(x)＝0及3＜x＜6，解得x＝4． ………………10分
当3＜x＜4时，f ′(x)＞0，当4＜x＜6时，f ′(x)＜0，于是有函数f(x)在(3，4)上递增，在(4，6)上递减，所以当x＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42. ………………13分
答：当销售价格x＝4时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.
………………14分
18. 解：（1）由题设＋y＝1可知，点A(0，1)，B(0，－1).
令P(x0，y0)，则由题设可知x0≠0.
所以，直线AP的斜率k1＝，PB的斜率为k2＝. ………………2分
又点P在椭圆上，所以（x0≠0），从而有
k1·k2＝.＝＝－. ………………4分
（2）由题设可以得到直线AP的方程为y－1＝k1(x－0)，直线PB的方程为
y－(－1)＝k2(x－0).
由，解得；
由，解得.
所以，直线AP与直线l的交点，直线PB与直线l的交点.
………………7分
于是，又k1·k2＝－，所以
≥2＝4，
等号成立的条件是，解得.
故线段MN长的最小值是4. ………………10分
（3）设点Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点，则·＝0，故有.
又，所以以MN为直径的圆的方程为
. ………………13分
令，解得或.
所以，以为直径的圆恒过定点（或点）．
………………16分
注：写出一点的坐标即可得分.
19. （1）解：已知数列，.
①充分性：若，则有，得
，所以为等差数列. ………………4分
②必要性：若为非常数等差数列，可令(k≠0). 代入
，得.
化简得，即.
因此，数列{an}为等差数列的充要条件是α＋2β＝0. ………………8分
（2）由已知得. ………………10分
又因为，可知数列(n∈N*)为等比数列，所以 (n∈N*).
从而有n≥2时， ，.
于是由上述两式，得 （）. ………………12分
由指数函数的单调性可知，对于任意n≥2，| an＋1－an－1|＝·≤·＝.
所以，数列中项均小于等于.
而对于任意的n≥1时，n＋≥1＋＞，所以数列{n＋}(n∈N*)中项均大于.
因此，数列与数列{n＋}(n∈N*)中没有相同数值的项.
………………16分
20．证明：（1）因f (x)＝ax (a＞0且a≠1)，所以ax ≠ax+2，即f (x)≠f (x＋2).
………………2分
由题设以及算术平均与几何平均不等式，得
f (x)＋f (x＋2)＝ax＋ax+2＞2＝2 ax+1＝2 f (x＋1)，
这与f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1)矛盾.
故不存在函数f (x)＝ax(a＞0且a≠1)满足性质P. ………………4分
（2）(ⅰ)由题设对任意，f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1)，所以
f(x＋2)－f(x＋1)≤f(x＋1)－f(x).
于是对任意x∈N，d(x＋1)≤d(x). ………………6分
下面用反证法证明：对任意x∈N，d(x)≥0.
假设存在某个非负整数k使d(k)＜0，则由题设对任意x∈N，f(x)∈N，得d(x)∈Z，于是有d(k)≤－1. ………………8分
由任意x∈N，d(x＋1)≤d(x)，所以－1≥d(k)≥d(k＋1)≥d(k＋2)≥…≥d(k＋n)≥….，这里n是自然数. 于是有
d(k＋n)＋d(k＋(n－1))＋d(k＋(n－2))＋…＋d(k)≤(n＋1) d(k)≤(n＋1)×(－1).
而d(k＋n)＋d(k＋(n－1))＋d(k＋(n－2))＋…＋d(k)＝f (k＋n＋1)－f (k)，
所以f (k＋n＋1)－f (k)≤－(n＋1).
取n＝f (k)，得f (k＋f (k)＋1)≤－f (k)－1＋f (k)＝－1，这与f (k＋f (k)＋1)∈N矛盾.
因此，必有对任意x∈N，d(x)≥0. ………………12分
(ⅱ)由(ⅰ)可知 d(1)≥d(2)≥d(3)≥…≥d(n)≥…≥0.
当d(1)＝0时，则有d(1)＝d(2)＝d(3)＝…＝d(n)＝0，结论成立.
当d(1)≠0时，对任意n∈N，有d(n) ∈N，且d(n) ∈[0, d(1)].
因为在区间[0, d(1)]上的自然数只有有限个，而落在此区间上的自然数d(n)有无数多个，所以，必存在自然数c∈[0, d(1)]和无穷多个正整数n，满足d (n)＝c. ……………16分
【附加题答案】
21.A. 解：因为AB是圆O的直径，
所以∠APB＝90°，从而∠BPC＝90°． …………2分
在△BPC中，因为E是边BC的中点，所以BE＝EC，从
而BE＝EP，因此∠1＝∠3． …………5分
又因为B、P为圆O上的点，所以OB＝OP，从而∠2＝
∠4． ……………7分
因为BC切圆O于点B，所以∠ABC＝90°，即∠1+∠2=90°，
从而∠3+∠4=90°，于是∠OPE＝90°． ………………9分
所以OP⊥PE． ………………10分
B. 解：由题设得. ………………4分
设所求曲线F上任意一点的坐标为（x,y），上任意一点的坐标为，则
MN＝，解得 . ………………7分
把代入，化简得.
所以，曲线F的方程为. ………………10分
C. 解：直线m的普通方程为. ………………2分
曲线C的普通方程为. ………………4分
由题设直线m与曲线C交于A、B两点，可令,.
联立方程，解得，则有，.
………………7分
于是.
故 . ………………10分
D． 证明：由题设x＞0，y＞0，x＞y，可得x－y＞0. ………………2分
因为2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋ .
………………5分
又(x－y)＋(x－y) ＋，等号成立条件是x－y＝1 .
………………9分
所以，2x＋－2y≥3，即2x＋≥2y＋3． ……………10分
22．解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则
,,,，从而
,. ………………2分
记与的夹角为，则有
.
又由异面直线与所成角的范围为，可得异面直线与所成的角为60º. ………………4分
（2）记平面和平面的法向量分别为n和m，则由题设可令，且有平面的法向量为, ,.
由，得；由，得.
所以，即. ………………8分
记平面与平面所成的角为，有.
由题意可知为锐角，所以. ………………10分
23. 解：（1）S5＝3，S7＝1. ………………2分
（2）由题设的定义可知，对于每个正整数k，有
. ①
. ② ……………4分
则 ，③
. ④ ……………6分
下面证明对于所有的n≥1，Sn≥0.
对于k，用数学归纳法予以证明.
当i＝1，2，3，4，即k=0时，S1＝1，S2＝0， S3＝1， S4＝2.
假设对于所有的i≤4k，Si≥0，则由①、②、③、④知，
S4k+4＝2Sk+1≥0，
S4k+2＝S4k≥0，
S4k+3＝S4k+2＋a4k+3＝S4k+2＋a4k+4＝S4k+2＋(S4k+4－S4k+3)，S4k+3＝≥0.
接下来证明：S4k+1≥0.
若k是奇数，则S4k＝2Sk≥2.
因为k是奇数，所以由题设知数列的各项均为奇数，可知Sk也是一个奇数. 于是
S4k≥2. 因此，S4k+1＝S4k＋a4k+1≥1.
若k是偶数，则a4k+1＝a2k+1＝ak+1. 所以S4k+1＝S4k＋a4k+1＝2Sk＋ak+1＝Sk＋Sk＋1≥0.
综上，对于所有的n≥1，Sn≥0. ………………10分
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