高考数学重点题型方法归类一.doc

高考数学重点题型方法归类（一）三角函数问题
一、图象性质问题
［老题重审］
1.（第6次月考4）函数f(x)=sin2x+在区间上的最大值是 ( )
A.1 B. C. D.1+

2.（10＋2专项训练7.10）向量a=（sinωx+cosωx，1），b=（f（x），simωx），其中0<ω<l，且a∥b．
将f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移个单位，得到g（x）的图象，
已知g（x）的图象关于（，0）对称
（1）求ω的值；
（2）求g（x）在[0，4π]上的单调递增区间．

3.（第5次月考16）已知函数f (x) = a() + b．
（1）当a = 1时，求f (x)的单调递减区间；
（2）当a＜0时，f (x)在[0，]上的值域是[2，3]，求a，b的值．

4．（第7次月考16）已知函数f (x) = 2sinx sin(x – ) – 1，
①求 f (x)的最小正周期；
②若x∈[–]．求f (x)的值域．

［方法总结］
图象性质问题：
1.审题：（题型特征明显，解法固定，变化小）
（１）已知函数为关于sin(ωx+φ), cos(ωx+φ)的齐次式，或二次齐次式。
（２）求周期，值域与最值，单调性，图象变换
2.解法：化一法
（1）周期问题：化一马上得周期
化一公式：
（２）值域与最值问题　①化一，②求的范围，③利用的单调性的值域或最值。
（３）单调性问题　　　①化一，②利用的单调区间得f(x)的单调区间。
（４）图象变换问题　　①化一，②利用三角函数图像变换规律求解。

［快速审题］

O
3
x
y
－3

1. 给出函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象的一段(如右图所示)，则f(x)的表达式为____ y=3sin(2x＋)___________

１. 已知函数f(x)=2cosx·sin(x+)-sin2x+sinx·cosx.
（1）求函数f(x)的单调递减区间；
（2）将函数f(x)的图象按向量a=(m,0)平移，使得平移之后的图象关于直线x=对称，求m的最小正值.
解：（1）f(x)=2cosx(sinx+cosx)-sin2x+sinxcosx
=sinxcosx+cos2x-sin2x+sinxcosx
=sin2x+cos2x=2sin(2x+). 　　（４分）
由+2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z.
故函数f(x)的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z. (6分)
（写成开区间不扣分）
（2）y=2sin(2x+)y=2sin(2x+-2m), （8分）
∵y=2sin(2x+-2m)的图象关于直线x=对称，
∴2·+-2m=kπ+(k∈Z), ∴m=-(k-1)π-(k∈Z).
当k=0时，m的最小值正值为π. （12分）
２．已知函数，．
（１）求的最值和最小正周期；
（２）设，，若是的充分条件，求实数的取值范围．
解：（１）
． …………………………………………………………………４分
;T=．　　 …………………………………6分（２）由题意可知: 在上恒成立
，，即，
． …………………………………………………9分
，，
且，
，即的取值范围是．　　 …………………………………12分

3、(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)若函数的图象与直线y=m相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.
（1）求m的值；
（2）若点图象的对称中心，且，求点A的坐标.
解：（1） 3分
由于y=m与的图象相切，
则； 5分
（2）因为切点的横坐标依次成公差为等差数列，所以
12分

5、(湖北黄陂一中2009届高三数学综合检测试题)已知函数的图象按向量，平移得到函数
的图象.
(1)求实数、的值；
(2)设函数，，，求函数的单调递增区间和最值。
解:(Ⅰ)依题意按向量m平移g(x)得
f(x)－＝sin［2(x＋)＋］ 得f(x)＝－sin(2x＋)＋
又f(x)＝acos(x＋)＋b＝－sin(2x＋)＋＋b 比较得a＝1,b＝0 ……………6分
(Ⅱ)(x)＝g(x)－f(x)＝sin(2x＋)－cos(2x＋)－＝sin(2x＋)－
∴(x)的单调增区间为， 值域为 ……………12分

２. 已知函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称．
（１）求的解析式；
（２）若函数的图象与直线在上只有一个交点，求实数的取值范围．

３ 已知，且（O为坐标原点）。
⑴求 y关于x的函数关系式；
⑵若时，的最大值为4，求m的值；若此时函数的图象可由的图象经过向量平移得到，求出向量.

４. 设函数
（１）写出函数的最小正周期及单调递增区间；
（２）时，函数的最小值为２，求此时函数的最大值，并指出取何值时，函数取到最大值．

6、(江苏运河中学2009年高三第一次质量检测)已知DABC的三个内角A，B，C对应的边长分别为，向量与向量夹角余弦值为。
(1)求角B的大小； (2)DABC外接圆半径为1，求范围
解：(1) ，，
，，，
由，得，即
（2），

又，，
所以
又==，所以。

16、(本题满分12分) 在△ABC中，为三个内角为三条边， 且 （1）判断△ABC的形状； （2）若，求的取值范围
16、解：（1）由及正弦定理有：
∴或 ……….2分
若，且，
∴，； ……….4分
∴，则，∴三角形． ……….6分
（2）∵ ，∴，
∴，而， ……….8分
∴，∴，∴． ……….12分

8、(北京五中12月考)已知锐角三角形ABC中，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若AB=3，求AB边上的高。
解：（1）①
②
①+②得：，③ ④
③/④得：，即 （4分）
（2）是锐角三角形，
又，，
， 即
由（1），
即，
是锐角， （8分）
（3）如图，设AB边上的高，
，
，即AB边上的高是 （12分）
12、(河北省衡水中学2008—2009学年度第一学期期中考试)已知不是的最大内角，且,.
（1）求的值； （2）求边长的最小值.
解：（1）由 得
不是最大角，所以 故 ---------6分
（2）因为，所以得，
又（当时）
所以的最小值为2。 ---------------12分
17、(江苏省盐城市田家炳中学09届高三数学综合练习)在中，角的对边分别为,且满足；
(1)求角的大小；
(2)设的最大值是5，求k的值．
解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)
∵A+B+C=π， ∴2sinAcosB=sinA ∵0<A<π,∴sinA≠0.
∴cosB=∵0<B<π，∴B=
（II）=4ksinA+cos2A =－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）
设sinA=t，则t∈.则=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈
∵k>1，∴t=1时，取最大值.依题意得，－2+4k+1=5，∴k=.

34、(江苏省南京师大附中2008—2009学年度第一学期高三期中考试)如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，．
B
A
C
D
E
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求．
解：（Ⅰ）因为，
， 所以．
所以．
（Ⅱ）在中，，由正弦定理
． 故．

16．（本题满分12分）已知函数（，），且函数的最小正周期为．
(Ⅰ)求函数的解析式并求的最小值；
(Ⅱ)在中，角A，B，C所对的边分别为，若=1，,
且，求边长．

16、解：（1）由可得 （----------2分）
所以由正弦定理可得 = （----------5分）
（2）由已知可知A为钝角，故得（----------7分）
从而 ，（----------10分）
所以（----------12分）

16．(本小题满分12分)
已知⊿ABC的三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，向量m=(sinB，l-cosB)与向量
N=(2，0)夹角θ的余弦值为．
(1)求角B的大小，
(2) ⊿ABC外接圆半径为1，求a+c的范围．
16．解：∴
(1)∵
由=，0<B<得=，即B= (6分)
(2)

所以sinA+sinC∈(，1]
（12分）

ycy
16、（满分10分）已知在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，S是该三角形的面积，若向量，，且。
（1）求角B的大小；
（2）若B为锐角，，，求b的值。

16.解：（1）由
∴
∴
∴
∴或 …………………………… 5分

（2）由a=6,S=，得
∴c=4。
由
∴ …………………………… 10分

17．（本小题满分12分） △ABC中，角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且满足
（1）求角C；
（2）若△ABC的周长为2，求△ABC面积的最大值。
解：(1) ……………………4分
（2）由
……………………8分
故（舍）或
故当………………12分

16．(本小题满分12分)已知中，，，，
Ａ
Ｂ
Ｃ
120°

记，
（1）求关于的表达式；
（2）求的值域；
16．解：（1）由正弦定理有：；……2分
　　　　∴，；……4分
∴……6分
……8分
（2）由；……10分
∴；∴……12分

一．资料编制格式
（1）考题重做：列举几道做过的典型题，能够归纳出一般的方法。
（2）方法归类：通过做过的典型题（特别是月考试题）归纳出解题方法与规律。
规律写出来，学生作资料保存
（3）新题快审：
二、高考数学重点题型
（一）
1.高考动向：湖南高考三角函数规律非常明显，一个小题一个大题，一个解三角形，一个图像性质，题目以中档题为主，可能出创新问题，应用题。
2.方法类型选择：
（1）图像性质问题，注意“化一”，“闭区间最值”，“图像平移”，“向量平移”，“单调区间”
（2）解三角形问题：