周末练习(1).doc

周末训练一（数列）
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．在等差数列{an}中，a3＝2，则{an}的前5项和为________．
1．10
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝________.
2．4
3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________．
3．3
4．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则数列{an}的通项公式为________．
4．an＝24－n
5．已知等比数列{an}的前n项和是Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝________.
5．16
6．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a10－a12的值为________．
6．12
7．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝________.
7．31
8．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和．若S16>0，且S17<0，则当Sn最大时n的值为________．
8．8
9．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则
|m－n|＝______.

9.
10．已知等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则＝________.
10.
11．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn取到最大值的n是________．
11．20
12．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．
已知数列{an}是等和数列，且a1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2 011项和S2 011＝________.
12．1 004
13．等差数列{an}中，a10<0，且a11>|a10|，Sn为数列{an}的前n项和，则使Sn>0的n的最小值为__________．
13．20

14.如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，
Bn…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形
AnBnBn＋1An＋1的面积均相等.设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数
列{an}的通项公式是________.
答案　an＝

二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．数列{an}中，a1＝，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝()n＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；
(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．

15．解　(1)由Sn＋1－Sn＝()n＋1得an＋1＝()n＋1(n∈N*)，
又a1＝，故an＝()n(n∈N*)．
从而Sn＝＝[1－()n](n∈N*)．
(2)由(1)可得S1＝，S2＝，S3＝.
从而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列得
＋3×(＋)＝2×(＋)t，解得t＝2.

16．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
16．解　(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．

17. 设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.
（1） 求{an}，{bn}的通项公式；
（2） 求数列的前n项和Sn.

17. 解：(1) 设数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}的公比为q，且q＞0，根据题意 解得d＝2，q＝2, 所以an＝2n－1，bn＝2n－1.
(2) 根据错位相减法，得Sn＝6－.

18．已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn.

18．解　(1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2，
所以数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，
对n＝1时也适合，
∴an＝2n－1.
(2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n，
所以anbn＝n·2n－1.
Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①
2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.②
由①－②得：－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，
所以Tn＝(n－1)2n＋1.

19．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设数列{}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<.

19．解　(1)由Sn＝nan－2n(n－1)得
an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)an＋1－nan－4n，
即an＋1－an＝4.
∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴an＝4n－3.
(2)Tn＝＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝(1－＋－＋－＋…＋－)
＝(1－)<.
又易知Tn单调递增，
故Tn≥T1＝，得≤Tn<.

20.设数列{an}的前n项和为Sn，且（3－m）Sn＋2man＝m＋3（n∈N*），其中m为常数，m≠－3且m≠0.
（1） 求证：数列{an}是等比数列；
（2） 若数列{an}的公比q＝f（m）且b1＝a1，bn＝f（bn－1）.求证：数列为等差数列，并求bn.
20. 证明：(1) (3－m)Sn＋2man＝m＋3，　①
(3－m)Sn－1＋2man－1＝m＋3，　②
①－②，得(3－m)an＋2man－2man－1＝0，
∴ (3＋m)an＝2man－1(n≥2)，
又m≠－3且m≠0，又由①得a1＝1≠0，
∴ ＝为常数，故{an}为等比数列．
(2) f(m)＝，q＝，
在{an}中，(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，a1＝1，
∴ b1＝a1＝1, bn＝f(bn－1)＝·＝，
＝1，＝＝＋，－＝，∴ 为等差数列，
则＝1＋(n－1)·＝＋，故bn＝.