第7课时正弦定理和余弦定理.doc

第7课时　正弦定理和余弦定理

考情分析
考点新知
　　正余弦定理及三角形面积公式．

　　掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.

1. 正弦定理：＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．
2. 余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC或cosA＝，cosB＝，cosC＝.
3. 三角形中的常见结论
(1) A＋B＋C＝π.
(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>Ba>bsinA>sinB.
(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4) △ABC的面积公式有：
① S＝a·h(h表示a边上的高)；
② S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝；
③ S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；

1. 在△ABC中，若∠A＝60°，BC＝4，AC＝4，则∠B＝________．

2. 在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c的取值范围是________．

3. 在△ABC中，＝，则∠B＝________．

4. (必修5P17习题6改编)已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2－c2＝ab，则∠C＝________．

5. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对应的边分别为a、b、c，若∠A，∠B，∠C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝________．

题型1　正弦定理解三角形
例1　已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，求b.

在△ABC中，
(1) 若a＝4，B＝30°，C＝105°，则b＝________．
(2) 若b＝3，c＝，C＝45°，则a＝________．
(3) 若AB＝，BC＝，C＝30°，则∠A＝________．

题型2　余弦定理解三角形
例2　在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长．已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A及.

变式训练
在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2.求∠C和a.

题型3　三角形形状的判定
例3　在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角∠A、∠B、∠C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三角形的形状．

变式训练
在△ABC中，a、b、c分别为内角∠A、∠B、∠C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1) 求∠A的大小；
(2) 若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

题型4　三角形的面积公式
例4　△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，已知向量m＝(a，btanA)，n＝(b，atanB)．
(1) 若m∥n，试判定△ABC的形状；
(2) 若m⊥n，且a＝2，b＝2，求△ABC的面积．
(提示：本题模拟高考评分标准，满分14分)

变式训练
在△ABC中，a、b、c分别是内角∠A、∠B、∠C的对边，且＝－.
(1) 求∠B的大小；
(2) 若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．

1. (2012·北京改编)在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C＝________．
2. (2012·陕西理改编)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为________
3. (2012·苏北四市期末)在△ABC中，已知BC＝1，∠B＝，△ABC的面积为，则AC的长为__________．

4. (2012·无锡市期末)已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为________．
5. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且满足cos＝＝，·＝3.
(1) 求△ABC的面积；
(2) 若c＝1，求a的值．

6. 在△ABC中，A、B为锐角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且sinA＝，sinB＝.
(1) 求A＋B的值；
(2) 若a－b＝－1，求a、b、c的值．

7. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c.
(1) 若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a、b的值；
(2) 若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．

8. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，b＝2，cosC＝.求：
(1) △ABC的周长；
(2) cos(A－C)的值．