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第二章 动量
【知识梳理】
一、动量与冲量的概念
1. 动量
（1）质量与速度的乘积定义为动量，动量的表达式为p=mv。
（2）动量是矢量，方向与该状态下速度的方向一致。
（3）物体的动量总是指物体在某一时刻的动量，计算时相应的速度应取这一时刻的瞬时速度。由于物体的速度与参考系的选取有关，所以物体的动量具有相对性。
（4）动量的变化是指某段过程（或时间间隔）末状态动量p'与初状态动量p的差。即。由于动量是矢量，求动量变化时，应利用平行四边形定则；如果物体在同一直线上运动，那么选定正方向后，动量的方向可以用正、负号表示，将矢量运算化为代数运算。
2.冲量
（1）力与力的作用时间的乘积叫力的冲量，冲量的表达式为I=Ft。
（2）冲量是矢量。如果在时间t内F的方向不变，则冲量的方向与F一致；如果F的方向改变，则冲量的方向可通过动量的变化的方向判断。
（3）冲量的大小与参考系的选取无关。
（4）冲量是过程量，反映的是力对时间的积累效应。物体受到力的作用立即产生加速度，然而要改变物体的运动状态，必须经过一段时间的作用才能实现，冲量描述的正是这一物理过程。
【例1】某物体在运动过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．在任何相等时间内，它受到的冲量都相同，则物体一定做匀变速运动
B．如果物体的动量大小保持不变，则物体一定做匀速运动
C．只要物体的加速度不变，物体的动量就不变
D．只要物体的速度不变，物体的动量就不变
【分析与解答】
由I=Ft可知，在任意相等的时间内，物体受到冲量相同，意味着F为恒力，所以物体一定做匀变速运动，A正确。物体做竖直上抛运动（不计阻力）的过程中，上升、下降过程中经过同一位置时，速度大小相等，方向相反，这两个时刻动量大小保持不变，但物体不是做匀速运动，故B错误。物体做匀加速直线运动过程中，加速度不变，动量逐渐增大，故C错误。由动量表达式p=mv可知，D正确。故本题正确答案为AD。
二、动量定理
1.用动量表示牛顿第二定律
假定物体在恒力作用下做匀变速直线运动。时刻t的初速度为v，时刻t'的末速度为v'，则F=ma=mv-v't-t'=p-p't-t'，即F=∆p∆t。物体动量的变化率等于它所受的力，这是牛顿第二定律的另一种表达形式。
2.动量定理
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量，表达式为I=∆p，或者F合∙t=mv末-mv初。该表达式为矢量式，合外力冲量的方向与物体动量变化的方向相同。
3.动量定理的适用范围
（1）成立条件：动量定理在惯性参考系中成立。没有特别说明时，以地面为惯性参考系。
（2）动量定理的应用范围广阔：尽管动量定理是根据牛顿第二定律和运动学公式在恒定外力的情况下沿直线运动时推导出来的，但可以证明：
①动量定理不但适用于恒力，也适用于随时间变化的变力，对于变力情况，动量定理中的F应理解为变力在作用时间内的平均值。
②动量定理不仅可以解决匀变速直线运动的问题，还可以解决曲线运动中的有关问题，将较难的计算问题转化为较易的计算问题。
4.应用动量定理解题的一般步骤
（1）确定研究对象和物理过程，进行受力分析。
（2）选定正方向，确定研究对象所受合外力的冲量和动量的变化。
（3）由动量定理列方程，求解。
【例2】从同一高度落下的玻璃杯掉在水泥地上易碎，掉在沙地上不易碎，解释比较确切的是（ ）
A. 掉在水泥地上，受到的冲量大所以容易破
B. 掉在沙地上，玻璃杯碰撞后不易跳起，只碰撞一次，所以不易破
C. 掉在水泥地上，与硬地碰撞时，容易振动，所以易破
D. 掉在沙地上，碰撞时受到沙地对它的作用力小，所以不易破。
【分析与解答】
由运动学公式v2=2gh可知，玻璃杯从同一高度落下，落到地面的瞬时速度v相同。由动量定理可知，与地面碰撞过程中，玻璃杯受到的冲量I=∆p=0--mv=mv，因此，玻璃杯受到的冲量相同。玻璃杯掉到沙地上时，与地面的作用时间较长，由I=F合t=F地-mgt可知，玻璃杯受到地面对它的作用力较小，因此不易破碎，D正确。

三、动量守恒定律
1.系统内力和外力：两个或两个以上的物体组成了一个力学系统，系统内两物体的相互作用力称为内力，系统以外的物体对系统的作用力称为外力。
2.动量守恒定律：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。表达式为p=p' 或 m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2' 或 ∆p1+∆p2=0。
【注意】（1）动量守恒方程是矢量方程，对于作用前后物体的运动方向在同一直线上的问题，应选取统一的正方向，与选取的方向相同的动量为正，相反为负。（2）动量是瞬时量，不同时刻的动量不能相加。（3）动量大小与参考系的选取有关，因此应用动量守恒定律时，各物体的速度必须是相对同一惯性系的速度，一般以地面为参考系。
3. 动量守恒的条件
（1）系统不受外力或系统所受外力的合力为零。
（2） 系统所受的合外力虽不为零，但系统外力比内力小得多，如碰撞问题中的摩擦力，爆炸过程中的重力等，可以忽略不计。
（3）系统所受外力的合力虽不为零，但在某个方向上的分量为零，则在该方向上系统总动量的分量保持不变。
4.动量守恒定律的普适性：不仅适用于两个物体所组成的系统，也适用于多个物体组成的系统，不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统。
5.应用动量守恒定律的一般步骤
（1）明确研究对象，进行受力分析。
（2）判断动量是否守恒。
（3）规定正方向，确定初、末状态的动量。
（4）建立动量守恒方程求解。
6.可近似应用动量守恒定律解决的问题：爆炸、反冲、碰撞等。

【例3】如图所示，在光滑的水平桌面上静止一质量为M的木块。现有A、B两颗子弹沿同一轴线，以水平速度vA、vB分别从木块两侧同时射入。子弹A、B在木块中嵌入深度分别为SA和SB。已知木块长度为L，SA>SB，且SA+SB<L，木块始终处于静止。则下列说法中正确的是（ ）
A．入射时，子弹A的速率等于子弹B的速率
B．入射时，子弹A的动能大于子弹B的动能
C．在子弹运动过程中，子弹A的动量大于子弹B的动量
D．在子弹运动过程中，子弹A受到的摩擦阻力大于子弹B受到的摩擦阻力
【分析与解答】
由于桌面光滑，在子弹射入木块的过程中，子弹A、B及木块组成的系统动量守恒，即mAvA-mBvB=mAvA'-mBvB'+M∙0=0，故C错误。由于木块始终处于静止状态，木块受到子弹A的摩擦力和子弹B的摩擦力大小相等，方向相反；因此，子弹A受到的摩擦阻力等于子弹B受到的摩擦阻力，即fA=fB，D错误。由动能定理，-fASA=0-12mAvA2，-fBSB=0-12mBvB2，又由于题目已知SA>SB，所以vA>vB，A错误，B正确。本题正确答案为B。

四、碰撞
1.两个物体在极短的时间内发生相互作用，这种情况称为碰撞。在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力的条件，可认为碰撞的系统动量守恒。
2.根据碰撞过程中系统总机械能的变化情况，可将碰撞分为几类：
（1）弹性碰撞：如果碰撞过程中机械能守恒，这样的碰撞称为弹性碰撞。
假设碰撞两物体的质量分别为、，碰撞前速度分别为、，则发生弹性碰撞后，末速度分别为：
，
这两个公式是矢量式，除能给出速度大小外，其正、负性表明速度的方向。当两个质量相等的物体发生弹性弹性碰撞时，由上式可知，它们的速度互换。
（2）非弹性碰撞：碰撞过程中，机械能有部分损失。
（3）完全非弹性碰撞：两物体碰撞后合为一个整体，以某一共同速度运动。此类碰撞中机械能损失最多。
3.对心碰撞与非对心碰撞
发生碰撞的两物体，如果碰撞前后均在同一直线上运动，这种碰撞叫正碰，也叫对心碰撞；除此之外的碰撞叫非对心碰撞。
4.碰撞的基本特征（判断碰撞过程是否存在的原则）
（1）动量守恒
（2）动能不增加，即Ek1+Ek2≥Ek1'+Ek2' 或 p122m1+p222m2≥p1'22m1+p2'22m2。
（3）速度要符合实际情况。
如果碰前两物体同向运动，则后面的物体速度必大于前面物体的速度，即v后>v前，否则无法实现碰撞。碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，如果仍同向，则原来在前的物体速度大于或等于原来在后的物体的速度，即v前'>v后'，否则碰撞没有结束。
如果碰前两物体是相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。
【例4】质量为M的物块以速度v运动，与质量为m的静止物块发生正撞，碰撞后两者的动量正好相等，两者质量之比M/m可能为（ ）
A.2 B.3 C.4 D. 5
【分析与解答】
根据题意，假设碰撞后二者的动量都为P。根据动量守恒定律，碰撞前M的动量为2p。由于碰撞过程中Ek初≥Ek末，即EkM1≥EkM2+Ekm2，结合动量与能量的关系p2=2mEk，可得4p22M≥p22M+p22m。解得Mm≤3。
由于碰撞前M的速度为v，即2p=Mv,则碰撞后，M的速度为v'=pM=v2, m的速度为vm'=pm=M2mv≥v2。因此，不论M/m取何值，本题中速度总是符合实际情况。
综上所述，Mm≤3，故AB正确。