圆锥曲线专题复习：椭圆部分.doc

椭圆
（一）椭圆的定义
【知识梳理】

椭圆的定义
已知是平面上两个定点，是平面上的动点，
则
【练习突破】
1、设为平面上一动点，是平面上两个不同定点，则“为定值
是“的轨迹是以为焦点的椭圆”的（ B ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【变式】已知动点的轨迹方程为，其中，①若动点的轨迹表示椭圆，则的取值范围是 ；②若动点的轨迹表示线段，则 2 ；③若动点的轨迹不表示任何图形，则的取值范围是 ；
2、已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点，如果延长到，使得,那么动点的轨迹方程是
3、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则 8
4、椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 2 ；的大小为
.w【解析】u.c.o.m本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵，
∴，
∴，
又，∴， （第13题解答图）
又由余弦定理，得，
∴，故应填.
5、设椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，已知，则的面积为
6、已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，为的中点，为坐标原点，若,则
【答案】1
7、已知圆，定点,动点在圆上运动，线段的垂直平分线交线段于一点，则动点的轨迹为（ B ）
A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线
8、已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，如果线段的中点在轴上，那么是的（ A ）
A.7倍 B.5倍 C.4倍 D. 3倍
9、已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上任一点，是平面上任意点，设关于的对称点为，关于的对称点为，关于的对称点为，则
10、设椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值； 【答案】或2

（二）椭圆的方程
【知识梳理】

椭圆的标准方程：

条 件
以线段所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建坐标系；
以线段所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建坐标系；

标准方程

求法
①定义法； ②待定系数法；
【练习突破】
1、已知关于的方程，
①若方程表示两条平行直线，则 2或4 ；
②若方程表示圆，则 ；
③若方程表示椭圆，则的取值范围是 ；
④若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ；
⑤若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ；
⑥若方程表示双曲线，则的取值范围是 ；
⑦若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 ；
⑧若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ；
2、动圆与圆内切，与圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为
3、 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，过点的直线交于两点，且的周长为16，那么的方程为_________
4、已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，离心率为，则那么椭圆C的方程为
5、已知且垂直于轴的直线交于且则的方程为
【解析】设椭圆方程为，则，①
当时，，所以， ②
解①②得，.故所求的方程为，
6、已知椭圆，过点作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
7、（2012山东）已知椭圆：的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ D ）
A. B. C. D.

（三）椭圆的几何性质
【知识梳理】
椭圆的几何性质（以焦点在轴上的椭圆为例）
三个常量
及其关系
①叫长轴长，叫长半轴；
②叫短轴长，叫短半轴；
③叫焦距，叫半焦距； ④三者关系：
对称性：
（两轴、一中心）
①对称轴：轴、轴； ②对称中心：坐标原点
六个定点
（两个焦点，四个顶点）
① 与坐标轴的交点叫顶点： ，
② 焦点：

四个范围
① 离心率及其范围： ；
② 椭圆上任意点范围：，
③ 椭圆上任意点到椭圆中心距离的范围：
即的最大值为， 的最小值为
④ 椭圆上任意点到椭圆的一个焦点距离的范围：

；
【练习突破】
1、已知椭圆 则（　 D 　）
A．与顶点相同. B．与长轴长相同.
C．与短轴长相同. D．与焦距相等.
2、如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：其中正确的是（ ）
①； ②； ③； ④＜
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
3、设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　 A 　）
Ａ．必在圆内 Ｂ．必在圆上
Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能
4、设是椭圆的长轴,点在上,且.若,,则的焦距为______ _.
，代入椭圆的标准方程得。
【变式一】在中，，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率
【变式二】在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率
5、过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ B ）
A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】因为，再由有从而可得，故选B
【变式一】设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（ D ）
（A） （B） （C） （D）
因为,所以。又，所以，即椭圆的离心率为，选D.
【变式二】已知椭圆的左焦点为,椭圆与过原点的直线相交于两点，连接了,若,则的离心率为（　 B 　）
A． B． C． D．
由余弦定理，AF=6，所以，又，所以,选B.
【变式三】设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为 （　 C 　）
A． B． C． D．
6、从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点,是椭圆与轴正半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是（　 C　）
A． B． C． D．
由已知得，点在椭圆上，代入椭圆的方程，得，因为AB∥OP，所以，，，所以，，选C.
【变式一】已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ D ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A． B． C． D．
【变式二】椭圆的左、右顶点分别是,左、右焦点分别是,若成等比数列,则此椭圆的离心率为________
【变式三】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为x
y
O
A
P
B
半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=

7、已知分别为椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上运动，则① 4 ；②的取值范围为 ；
③的最大值为 4 ；④的取值范围为 ； ⑤的取值范围为 ；
【变式】已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为
【答案】
. 解法1，因为在中，由正弦定理得
则由已知，得，即
设点由焦点半径公式，得则
记得由椭圆的几何性质知，整理得
解得，故椭圆的离心率
解法2 由解析1知由椭圆的定义知
，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.
8、在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.
(Ⅰ)求椭圆的方程; 【答案】
(Ⅱ)在椭圆上,是否存在点,使得直线:与圆:相交于不同的两点、,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.
【答案】、、、,对应的面积为.