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初高中数学教学衔接策略的实践研究

一． 课题的起源
因女儿上了高中，与高中老师的接触也多起来了，在与高中数学老师的交流中，逐渐感到我们的初中数学教学与高中数学教学的衔接上存在一定的问题。
近两年随着杭州市中考阅卷的改革，数学中考的试题难度有所提高，广大师生和社会各界颇有争议。但笔者认为这是一种正常现象，站在普通高中教师的角度看问题，现在的初中数学教学与高中数学教学确实存在一定的不协调性，导致有许多高一学生适应不了高中的数学学习，甚至部分在初中阶段所谓的数学优等生进入高中后却变成了数学困难生。为了解决这一矛盾，笔者认为应加强初高中数学的衔接教学研究，但目前杭州市的普通高中和初中是分离的，客观上使这一研究碰到了困难。笔者在暑假期间阅读了高中数学课程标准和高中数学各册教材，对比初中数学课程标准和教材，结合我校数学组的教学实践研究活动，分析和研究了初高中数学教学的异同点，主要从初中数学教学的角度出发提出相应的一些策略和方法，为此，在教研组内开设了《初高中数学教学衔接策略的实践研究》这一研究课题，通过一年的努力，取得了初步的效果，为初高中数学教学的衔接研究提供一定参考价值。
二．初中数学教学与高中数学教学的对比分析
（一）两种课程标准的比较
1．基本理念
两个“标准”都强调数学课程的基础性和发展性。
初中数学新课程标准更强调基础性和大众化，而高中数学新课程标准在强调基础性的同时也突出教学要求的多样性与选择性，。高中数学课程由必修系列课程和选修系列课程组成。必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求；选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。
2．学习方式
初中数学新课程标准认为有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。高中数学新课程标准中指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。可见两种学习方式的要求基本相同，高中增加了阅读自学的能力要求。
3．学习活动
初中数学新课程标准中强调：学生应主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。高中数学新课程标准中强调：高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力；人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维活动。另外，初中主要强调培养学生的直观感知，并逐步学会数学地思考；高中则更强调理性思维，数学逻辑性要求和理论性更高。
4．教学活动
初中数学新课程标准中指出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。高中数学新课程标准中强调：发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
可见，高中的数学教学活动更强调学生的主动性和创造性。
5．教学评价
初中数学新课程标准中指出：评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习 和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。
高中数学新课程标准中强调：高中数学课程应建立合理、科学的评价体系，包括评价理念、评价内容、评价形式和评价制度等方面。评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注他们数学学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化。在数学教育中，评价应建立多元化的目标，关注学生个性与潜能的发展。对于数学探究、数学建模等学习活动，要建立响应的过程评价内容和方法。
可见高中对学生数学探究、数学建模的评价要求更高。
6．现代信息技术
初中数学新课程标准中指出：数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更 多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。
高中数学新课程标准中指出：高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的整合（如把算法融入到数学课程的各个相关部分），整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合。鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。
（二）教学内容和要求的比较
1．教学内容的梯度有很大不同
初中数学内容较通俗易懂，难度相对高中较小，大多研究的是常量，且较多的侧重于定量计算；而高中数学较多的研究的是变量，不但注重定量计算，而且还常需作定性研究。
初中内容偏重于实数集内的运算，缺少对概念的严格定义或对概念的定义不全，如函数的定义，三角函数的定义就是如此；对不少数学定理没有严格论证，或直接用公理形式给出而回避了证明，比如不等式的许多性质就是这样处理的；教材坡度较缓，直观性强，对每一个概念都配备了足够的例题和习题。
高中数学从知识内容上整体数量较初中剧增；在知识的呈现、过程和联系上注重逻辑性，在数学语言的抽象程度上发生了突变，高一内容开始就是集合、映射、函数定义及相关证明、逻辑关系等，概念多而抽象，符号多，定义、定理严格、论证严谨逻辑性强，教材叙述比较严谨、规范，抽象思维明显提高，知识难度加大，且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算繁冗复杂，体现了“起点高、难度大、容量多”的特点。
2．教学内容的增减变化
部分教学内容已由原来的初中讲授移到高中讲授（如常用对数、二次函数的图像法），而高中一些教师对调整后的大纲要求认识不够，故对编在附录内的内容认为初中讲了，而未讲这部分知识，形成了初、高中两不管的教材内容，给学生后继过程学习带来了极大的困难。
为了适应义务教育的需要，初中数学教材内容删减较多，而且难度降低幅度较大；而高中数学教材内容删减相对较少，初中较难的部分内容又移到了高中，并且高中为了适应信息社会的要求，又增加了一些现代实用性较强的知识，虽然这些新增知识点教学要求不高，但在一定程度上，加大了初高中数学教材内容的跨度；另一方面，高中由于受客观上升学压力和评价标准的影响，实际难度难以下降，因此，初高中数学教学内容的难度有所加大。
笔者曾抽样问卷调查了杭州市某重点高中高二某班56名学生的学习情况，以下是【高二（上）学生数学学习情况调查问卷】
各位同学，你们好！
从初中跨入高中大门已有一年多了。在这一年多里，同学们在数学学习领域又有了新的发展。为了了解同学们的数学学习情况，现向同学们关于数学学习进行问卷调查，请同学们如实回答，谢谢！
1. 你在初中阶段的数学学习成绩是： （ ）
A.很好 B.好 C.一般 D.不太好
2.你在初中的数学学习兴趣是： （ ）
A.很高 B.较高 C.一般 D.没有
3.你认为初中数学学习内容是： （ ）
A.很难 B.较难 C.一般 D.不难
4.你认为初中数学的主要学习方法是： （ ）
A.看书自学 B.多做练习 C.多问老师 D.上课外培训班
5.进入高中后，你认为你的数学成绩是： （ ）
A.很好 B.好 C.一般 D.不好
6.进入高中后，你对数学学习的兴趣是： （ ）
A.有较大增加 B.有点增加 C.一样 D.有所减弱
7.你认为高中数学学习的难度与初中相比是： （ ）
A.有较大增加 B.有点增加 C.没变 D.有所减少
8.你认为高中数学学习，更要注重： （ ）
A.课堂听课 B.课后作业 C.课前预习 D.上课外培训班
9.你认为高中数学学习，更要注重： （ ）
A.基础知识的落实B.解题技能的提高C.数学综合能力的提高D.对高考题的把握
10.请你结合自己的学习，对初中数学老师的数学教学和初中学生的数学学习提一些合理化的建议：
在“你认为高中数学学习的难度与初中相比是：A.有较大增加 B.有点增加 C.没变 D.有所减少”一问中，有近百分之六十的学生选择A.有较大增加。可见高中数学学习的难度比初中有了明显的提高。
（三）学生的学习特点和教师的教学方法的比较
1．初中生以直观思维为主，高中生抽象思维不断增强
初中学生的逻辑思维能力只限于平面几何证明，知识逻辑关系的联系较少，运算要求降得较低，分析解决问题的能力基本得不到培养，至于立体几何，也只能依靠要求较低的零散的立几知识来呈现，想象能力较差。相对来说，高中对数学能力和数学思想的运用要求比较高，高中数学教学中要突出四大能力，即运算能力，空间想象能力，逻辑推理能力和分析解决问题的能力。要渗透四大数学思想方法，即数形结合思想、函数与方程思想、等价化归与变换思想，分类讨论思想。这些虽然在初中教学中有所体现，但在高中教学中才能充分反映出来。
2．初中生主动学习意识浅薄，高中生强调独立思考
学生在初中三年已形成了固定的学习方法和学习习惯。许多初中学生习惯于跟着老师转，不善于独立思考和刻苦钻研数学问题，缺乏归纳总结的能力，问教师的问题也大多是问问如何解决不会做的题目。而高中则要求学生勤于思考，勇于钻研，善于触类旁通，举一反三，归纳探索规律，然而刚步入高一的学生往往沿用初中的学习方法，因此不能较快地适应高中数学教学。
另一方面，初中学生的学习负担也较重，这使得他们上课注意听讲，缺乏积极思维，遇到新的问题不是自主分析思考，而是寄希望于老师讲解整个解题过程；不会自我科学地安排时间，缺乏自学、看书的能力，而课后也不看书，而是直接按老师上课讲的例题方法套着解题，碰到问题寄希望于老师的讲解，依赖性较强。虽然不少高一教师介绍并强调了高中数学的学法调整，但由于原有学习方法已成习惯，有的同学特别是女生不敢对自己的学习方法进行调整，高一阶段课目多负担重，突出的就是不能真正理解知识、不会灵活运用，高一同学们普遍反映数学课能听懂不会做题，或者说能做作业但考试不会，在数学上花了最多的时间去做练习，但收效不大。
3．两种教法的不同
传统的初中数学教学的一般过程：
复习引导→讲授新课→巩固练习→小结布置作业。
特点：易于使学生理解并掌握系统的数学知识，有利于知识与技能的训练，但学生的主动性难于体现，缺乏学生间的合作与交流，知识方法和产生的过程不易得到显现。
在九年制义务教育阶段，学生接受的绝大多数是这种教学模式，当然，在少数章节中也采取讨论式、发现式的教学，但不足以形成教学气候。
现代的高中数学教学的一般过程：
问题情境→学生活动→建构数学→数学理论→数学应用→回顾反思
特点：学生的自我探索，发现的主动倾向得到充分发挥，知识产生的过程与方法得到显露，同时知识与技能也得到了系统训练。
高中新课程这种教学模式给教师的教学设计与学生的学习探索留下了足够的空间，教学时，教师要注意对教材内容的二次开发。
三．初中数学教学的应对策略
基于以上的比较，作为一名初中教师，应该认清形势，积极主动地投身到数学教学的改革中去，回顾笔者这几年的教学，主要采取了下列一些措施，取得了一点成效，供大家参考。
（一） 不断学习，提高自身素质，夯实数学教学基本功
1． 学习新课程标准，用新课程教学理念指导自己的数学教学实践
阻碍实践教学新理念一个重要因素就是教师的定式思维。特别是有一定教学年限的老师往往凭自己几年或多年积累的教学经验指导自己的教学。然而，在新课程下，教学中最重要的是培养学生的创新意识和合作精神，不应忽略学生获得知识的过程，而应重视这个过程，能力都是在这个过程培养出来的。而有些或者说是大部分老师却认为这个过程并不重要，只要将知识告诉学生，不理解也没什么，只要多做练习题就会用了。
阻碍实践教学新理念另一个重要因素就是不能及时转换教师角色。新课程要求，学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者与合作者，教师应以学生为中心设计教学目标、教学过程、教学方法等。
要强迫自己学新课标，并结合学习其他老师的观摩课、优质课等，慢慢地把新课程理念灌入自己的大脑里，进而在自己的课堂上进行渗透，日积月累，几年下来，哪怕是老教师，你的课堂也会展现出全新的教学风貌，这是何等的喜人局面啊！
2． 抛弃功利性因素，真心为学生服务
由于还存在着升学考试，教师就会不可避免地围绕学生的考试分数做文章，更何况有的学校对老师的考核还是以教师所教学生的分数为标准。说实话，学生的某次考试也只不过是一次抽样，并不能代表学生的学习全部，教师应把重点放在对学生的学习过程的关注，即新课标中过程性评价。
3.研究初高中数学教材的内容和要求
初中新实验教材六册，总的来看，在知识体系的编排上体现了螺旋上升的特点，大大降低了学习的难度，而且每课时的容量也显得较少，易于学生当堂接受课时目标。高中教材的内容逻辑性强，定性分析要求高，每课时的容量相对也比初中多。学生一进入高中碰到的就是概念性抽象性强的集合映射及数形结合难度较高的指数函数等。所以在初中阶段的概念教学还是不能放松，而函数教学应该是初中的重中之重，一定要让学生彻底理解函数的真正含义和数形结合思想，为学生适应高一数学的起始学习打下扎实的基础。
（二）重视情商，培养初中学生良好的数学学习习惯
部分学生虽然智商较高，大脑聪明，但因为在初中阶段没有培养好学习数学的良好习惯，致使进入高中后无法适应高中的数学学习，因为高中数学对学生的自觉性、自主性学习等习惯要求更高。因此，教师一定要认真培养好每一位初中生的数学学习习惯。具体习惯有：课前预习、课堂听课记笔记、课后复习归纳、课后作业纠错反思、质疑问难、自主探索等。
在具体的操作过程中，我们重点是抓学生的课堂学习习惯，要求学生在数学课堂学习中养成一些具体的好习惯：1.学习用品的准备，每位同学必须有一本课堂笔记本，一本草稿本等，对课堂的重难点及教师补充要点及典型题及时记入课堂笔记；2.认真听课的习惯，听课时要专注，积极思维，遇有不理解的数学问题，要求当堂提出，然后交予全班同学讨论解决；3.能够让学生讲的，教师尽量不讲，能够让学生做的，就让学生做。

（三） 重视数学思想方法教育，提高初中学生的数学思维能力。
从某种角度来看，数学思想方法比数学知识更重要，因为学生在学校学的有关数学知识在走向社会后可能用到很少，但解决问题的思想方法却终身受用。因此，教师在教学过程中一定要重视数学思想方法的渗透，以提高学生的数学思维水平。
初中数学的思想方法有：数形结合思想、方程思想、转化思想、分类讨论思想等。
那么，重点体现在哪些方面呢？
思想方法
体现的方面
数形结合思想
1.数与数轴 2. 无理数的意义；3.函数与图像；4.解直角三角形；5.数据的处理与图像等
方程思想
1.列方程解应用题；2.列方程解有关几何计算问题；3.其他有关未知与已知之间存在等量关系等
转化思想
1.高次转化为低次；2.多元转化为一元二元；3.复杂图形转化为简单图形；4.代数问题转化为几何问题；5.几何问题转化为代数问题；6.整体换元等
分类讨论思想
1.对字母按正、负、零进行分类讨论；2.含字母系数的方程、不等式的分类讨论；3.几何问题中按不同图形分类讨论；4.其他有关需要分类讨论的等

（四） 开设衔接教学研究课，落实检验课题研究效果。
我们在平时的课堂教学实践中，一方面注重学生数学能力的培养，另一方面，也不断地探索初高中的教学衔接，补充开设初高中的衔接教学的研究课等。如在学习了二次函数——抛物线的性质后，我们设计了“探索抛物线的平移和对称规律”这一初高中衔接课题，并在教研组内进行“磨课”，后在全区的初高中衔接教学研讨活动中展示，得到了与会领导和老师的高度评价。下面是这一研究课题的详细的教学过程.
【初高中数学教学衔接研究案例】
抛物线的平移和对称
一、教学目标：
1、 复习解平移变换题的方法，回忆其规律。
2、 体验用找顶点、看开口大小与方向的方法解对称变换题。
3、 探索解对称变换题的新方法，总结规律，并将之初步掌握。
二、教学重点与难点：
教学重点：探索解对称变换题的新方法。
教学难点：探索性学习，发现并总结规律，是本节教学的难点。
三、教学准备：教学课件 学案
四、教学过程：
1．复习旧知：
本堂课先请同学们回顾怎样将y=2x2-4x-1的图象平移到抛物线y=2x2+4x的位置，由于两个二次函数，若二次项系数相同，图象的形状、开口方向必相同，从而可由一个位置平移到另一个位置．抛物线的平移又可化为顶点的平移，所以可先求出顶点坐标，再比较顶点的相对位置．因此，将抛物线y=2x2-4x-1先向左平移个单位，再向上平移1个单位（或先向上平移1个单位，再向左平移个单位），就得到抛物线．
复习平移规律：左加右减，上加下减。
【设计意图：从学生较为熟悉的知识引入，激发学生的学习热情，较好地把握学生的认知水平，并让学生体会到数形结合的思想。】
2. 温故知新：
请同学们将y=2x2-4x-1的图象关于y轴对称， 并求所得图象的解析式.
同学们会想到关于y轴对称变换改变图象位置，不改变图象形状、大小，所以对称变换后图象二次函数中不变，顶点发生变化，因此只要求出变换后的顶点坐标。
这时候，老师不用求出顶点坐标，直接可以说出任何一个函数关于y轴对称的解析式。对于对称变换求解析式，我们能否和平移变换一样，找到其解析式求法的规律呢？
师生共同探究：①设A1（x1，y1）在所求函数图象上，则根据题意A1关于y轴的对称点A1′在函数y=2x2-4x-1的图象上，于是可将A1′的坐标代入；②设A2（x2，y2）在所求函数图象上，则根据题意A2关于y轴的对称点A2′在函数y=2x2-4x-1的图象上，于是可将A2′的坐标代入；③设A3（x3，y3）在所求函数图象上，则根据题意A3关于y轴的对称点A3′在函数y=2x2-4x-1的图象上，于是可将A2′的坐标代入；……
综上，对于所求函数图象上的任意一点（x，y）,其关于x轴的对称点定在函数 y=2x2-4x-1的图象上，于是便可找到规律。
接着学以致用，请学生任意写一个抛物线解析式，再请同桌快速写出它关于y轴对称的图象解析式，并共同检验正确与否.
然后请同学们将y=2x2-4x-1的图象关于x轴对称， 并求所得图象的解析式.
同学们会想到关于x轴对称变换改变图象位置，不改变图象形状、大小，所以对称变换后图象二次函数中不变，顶点发生变化，因此只要求出变换后的顶点坐标。
这时候，老师不用求出顶点坐标，直接可以说出任何一个函数关于y轴对称的解析式。对于对称变换求解析式，我们能否和平移变换一样，找到其解析式求法的规律呢？
学生自主探究：①设A1（x1，y1）在所求函数图象上，则根据题意A1关于x轴的对称点A1′在函数y=2x2-4x-1的图象上，于是可将A1′的坐标代入；②设A2（x2，y2）在所求函数图象上，则根据题意A2关于x轴的对称点A2′在函数y=2x2-4x-1的图象上，于是可将A2′的坐标代入；③设A3（x3，y3）在所求函数图象上，则根据题意A3关于x轴的对称点A3′在函数y=2x2-4x-1的图象上，于是可将A2′的坐标代入；……
综上，对于所求函数图象上的任意一点（x，y）,其关于x轴的对称点定在函数 y=2x2-4x-1的图象上，于是便可找到规律。
接着学以致用，请学生任意写一个抛物线解析式，再请同桌快速写出它关于x轴对称的图象解析式，并共同检验正确与否.
最后是请同学们将y=2x2-4x-1的图象关于原点中心对称， 求所得图象的解析式.
用同样的方法便可解决。
生生互动：请以为同学任意给出一个二次函数，然后邀请他的好朋友来说出（或写出）它经过某种变换之后的图象解析式.
【设计意图：通过探究合作学习，同学们可以加深对新知识的理解，以便更好地掌握规律。】
课堂回顾：
作为整堂课的收尾，回顾总结前面的知识，出示两个问题：
1、函数和的图象分别是由函数的图象经过如何变化得到的?
2、二次函数y=-3x2 -6x+5的图象沿x轴正方向平移一个单位后所得图象为C1,又图象C2与C1关于原点对称，求C2对应函数的解析式。
拓展提高：

【学案】
【复习旧知】
1、怎样将y=2x2-4x-1的图象平移到抛物线y=2x2+4x的位置？

【温故知新】
2、将y=2x2-4x-1的图象关于y轴对称， 求所得图象的解析式.

【学以致用】
请你任意写一个二次函数解析式，再请同桌快速写出它关于y轴对称的图象解析式，并共同检验正确与否.

y=2x2-4x
【类比联想】
3、将y=2x2-4x-1的图象关于x轴对称， 求所得图象的解析式.
[方法探究]
①设A1（x1，y1）在所求函数图象上，则根据题意得，A1关于x轴的对称点A1′（ ， ）在函数 的图象上，于是有 ；
②设A2（x2，y2）在所求函数图象上，则根据题意得，A2关于x轴的对称点A2′（ ， ）在函数 的图象上，于是有 ；
③设A3（x3，y3）在所求函数图象上，则根据题意得，A3关于x轴的对称点A3′（ ， ）在函数 的图象上，于是有 ；
…
…
综上，对于所求函数图象上的任意一点（x，y）,其关于x轴的对称点（ ， ）定在函数 的图象上，于是有 ；
因此所求函数解析式为： .
规律：

【学以致用】
请你任意写一个抛物线解析式，再请同桌快速写出它关于x轴对称的图象解析式，并共同检验正确与否.

【类比联想】
4、将y=2x2-4x-1的图象关于原点中心对称， 求所得图象的解析式.
[方法探究]
y=2x2-4x
规律：

【课堂回顾】
5、函数和的图象分别是由函数的图象经过如何变化得到的?

6、二次函数y=-3x2 -6x+5的图象沿x轴正方向平移一个单位后所得图象为C1,又图象C2与C1关于原点对称，求C2对应函数的解析式。

以上只是就几个关键问题作了一定的阐述和研究，要在初中阶段切实做好学生进入高中学校学好数学的衔接工作，需要广大初中教师不断努力，更希望教育行政部门和教学研究部门能组织相关活动，进行研究和讨论，相信我们的初中生在进入高中后能学的轻松点，愉快些！

参阅文献：
1.《数学课程标准解读》 北京师范大学出版社
2.《初中数学新课程教学设计》首都师范大学出版社