勾股定理的应用——最短路程的探究.docx

2016年一师一优课参赛课<教学设计

北师大版·八年级数学上册·第一章·勾股定理

1.3勾股定理的应用
——最短路程的探究
教学设计

郑州市第七十一中学 刘 娜

《勾股定理的应用——最短路程的探究》教学设计
郑州市第七十一中学 刘 娜
一、教材分析：
《勾股定理的应用》是北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》的第三节，本课时教材注重突出学生的自主探索和动手操作.是在学习了勾股定理与立体图形的展开与折叠的相关知识的基础上，从实际操作入手，逐步探索出利用勾股定理建模求最短路径的方法，是对已学知识的综合应用和深化.
二、学情分析：
1、学生的已有基础：
知识基础：通过本章前两节的学习，学生已经掌握了勾股定理并能运用勾股定理求线段长度，同时通过七年级的学习，学生已经了解空间图形、能对一些空间图形进行展开与折叠，知道在同一平面内两点之间线段最短.
经验基础：经过七年级的学习，学生已经初步经历过观察-猜想-操作验证-得出结论的知识探究过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验，并且能够通过小组合作完成知识的获取与分享，具备了一定的合作和交流能力.
2、学生面临的问题：
该年龄段的学生虽然学习积极性高，但数学活动的经验较少，缺乏对知识和方法的概括总结能力，因此在通过展开图将空间问题转化为平面问题时，准确的绘制出平面图形对部分学生还有一定的难度，特别是利用分类讨论的思想将长方体表面部分展开确定最短路程时难度会表较大.
三、目标制定：
课标分析：
《课程标准》中与本节课相关的描述有：能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.本节课的课标分解如下：
知识分类：勾股定理

从认知角度进行分解：

学科内涵：能应用勾股定理求线段长.

行为动词：应用、执行

生活情境引入，复习两点之间线段最短和勾股定理
从能力角度进行分解：
技能内化

立体图形
新情境产生认知冲突
圆柱侧面最短路程及
长方体表面最短路程
应用

动手操作、小组合作利用勾股定理解决问题的方法
变式练习
猜想

平面图形
建模

依据《课程标准》，根据教材内容和本班学生的实际情况，确定本节课的学习目标为：
1. 通过探究活动一的动手操作、合作交流，能将圆柱体沿侧面最短路程问题转化成平面图形中的问题，找出利用勾股定理解决实际生活中最短路程的方法，体会数学建模的思想.
2. 通过探究活动二进一步熟练立体图形表面最短路程问题转化到平面图形进行解决的方法，并体会分类讨论的必要性和分类标准的制订依据.
3. 在探究活动中自主动手操作、积极同伴交流展示、及时小结反思，不断积累活动经验，获得解决简单实际问题的数学方法.
重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理，并用它们解决生活中确定最短路程问题.
难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理，求解最短路程问题.
四、评价设计:
针对本节课的三个学习目标，评价任务如下：
评价任务一：学生能够将立体图形通过部分表面展开的方式将空间最短路程转化成平面图形中两点间最短路程的问题.
评价任务二：学生能够独立思考并积极参与小组合作和课堂交流，在探索活动中建模，利用勾股定理求解最短路程.
评价任务三：学生能够通过基础巩固，变式练习等活动，提高问题解决过程中对数学思想的总结与应用能力.
五、教法、学法：
新课程标准明确指出：学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者,因此本节课我采用的是探索归纳教学法.教学中，我充分运用多媒体资源及大量的实物教具和学具，在观察、思考、操作、归纳、应用等师生的共同活动中引导学生学习，使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，从而实现教与学的最优化，最终达成本节课的学习目标.
六、课前准备：
多媒体课件、圆柱形易拉罐、长方体盒子、线绳、刻度尺、白纸、彩笔、裁纸刀等.
七、 教学过程：
学习环节
学习目标
学习评价
学习活动
设计意图

情景导入引入新课

通过生活实例，复习两点之间线段最短的性质，应用勾股定理求线段长，做好知识准备.

关注学生能否都认真看题积极思考，能否立刻利用两点之间线段最短确定最短路径AB，并熟练的应用勾股定理求线段长

活动一：
教师创设情景，“大家认识这位我们数学课本中的名人么？小明同学带着他的little dog在公园散步时走到了点A处，放开绳子小狗会沿小路跑向长椅么？”出示问题：“小明从点A沿小径走到长椅要比小狗多走几米？”

这样的设计不仅可以激发学生的学习兴趣，培养学生积极的情感，同时还可以让学生初步感受到最短路程是我们生活中经常碰到的问题.

学习环节
学习目标
学习评价
学习活动
设计意图

情景导入引入新课

关注学生是否认真进行阅读.

学生作答后，老师适时的提出：“小明多走的2米走出了我们的人类文明，走出了小明的环保意识，可小狗为什么会沿线段AB跑向长椅呢？”
学生回答：“两点之间线段最短”
活动二：
出示本节课的学习目标.

做好知识准备的同时提高学生的环保意识

学习目标的了解使本节课的学习活动的目的性变得更加明确

实践探究交流新知

目标1： 通过探究活动一的动手操作、合作交流，能将圆柱体沿侧面最短路程问题转化成平面图形中的问题，找出利用勾股定理解决实际生活中最短路程的方法，体会数学建模的思想.

关注学生是否认真读题.

关注学生是否积极的寻找自己的方法.

关注学生能否利用教具积极参与小组合作，分工明确进行探究和交流.

探究活动一：
小明同学一坐到长椅上就喝了杯饮料，杯口剩余的那滴甜甜的饮料引来了一只小蚂蚁，请看问题

都读完题了，那大家先独立想象一下小蚂蚁可能的爬行路径

请学生上台演示
小结：

小组合作探究哪种路程最短：
展示：

以小明的行为发现提出问题进行衔接，问题呈现自然，同时教师用教具的引导，使学生理解题意，构建出圆柱体的数学模型.
提高学生空间想象力,培养其独立思考的习惯.
学生利用学具上台演示交流自己的发现，提高学生的表达能力

多数学生通过预习会认为第三种路程最短，但却不能准确说理，所以此处安排
学习环节
学习目标
学习评价
学习活动
设计意图
实践探究交流新知

目标1
目标3：
探究活动中自主动手操作、积极同伴交流展示、及时小结反思，不断积累活动经验，获得解决简单实际问题的数学方法.

关注学生能否正确选择出最短路径，能否用流畅简洁的语言进行展示.

关注学生能否积极的讨论并尝试自己的方法，能否得出正确的结论.

关注学生能否用勾股定理求出最短路程.
1.实验法 以绳长测路程长直接比较
2. 几何法 在侧面直接画出三种路线，侧面展开后利用几何知识“两点之间线段最短”证明方法三为最短路程

确定了最短路径，怎样求出最短路程的长度呢？
学生活动：尝试利用勾股定理计算最短路程
学生可能提出：
1. 用绳子确定路线再测量绳子

2.利用侧面展开的的方式将空间问题转化为平面问题：

探索过程中我们可以使用各种学具，可最终我们要上升到理论高度，数学模型化，公式化！如果题目中的已知条件是圆柱的高h和底面半径r，能表示出最短路程么？
板书：A'B=πr
数学模型化、公式化后，我们就可以解决实际问题了
基础练习：
若已知易拉罐高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，求蚂蚁从点A到点B的最短爬行路程.
学生进行小组讨论.
学生从用绳子代表路程长进行比较的实验法到将圆柱侧面展开，利用两点之间线段最短比较出三条路程中的最短路程，由直观感受上升到理性分析.

有误差且受环境限制产生认知冲突引入代数法.

提高学生用含字母的代数式表示规律的能力,使学生能够逐步归纳出用h和r表示出求沿侧面最短路程的公式.

能准确代入求值，巩固基础.
学习环节
学习目标
学习评价
学习活动
设计意图
实践探究交流新知
目标1
目标3
关注学生是否能利用所学快速算出结果，格式是否规范.

关注学生是否能够积极地思考并用严谨的数学语言概括.

关注学生经过思考能否灵活应用新学知识进行正确解题.
学生独立完成

明确答案后，同桌相互检查一下解题过程是否完善
归纳总结：
哪位同学总结一下求圆柱体侧面最短路径的主要步骤？
教师引导学生用思维导图建构知识系统
变式练习：
在小蚂蚁上爬的过程中，小明同学手一抖，会怎样？请看题

利用刚才我们总结的方法，请各位同学先尝试独立解决这个问题.
1分钟后可出示提示图：

一位同学板书问题解决过程，并请其他同学点评
点评后如果还有不清楚的地方就组内协助解决！
老师点拨学生提出的共性问题.
规范做题格式，培养学生严谨的学习态度.

引导学生通过反思，逐步归纳出沿圆柱侧面求最短路程的方法，培养学生利用思维导图建构知识系统的能力.

该环节设置的目的在于让学生巩固基础的同时，增强运用知识的灵活性，帮助学生对新知识进行内化.

学习环节
学习目标
学习评价
学习活动
设计意图
实践探究交流新知
目标2：
通过探究活动二进一步熟练立体图形表面最短路程问题转化到平面图形进行解决的方法，并体会分类讨论的必要性和分类标准的制订依据.

关注学生能否积极的讨论并尝试自己的方法，能否得出正确的结论.

关注学生能否抓住长方体的本质特征，用分类讨论的思想进行问题探究.

关注学生能否正确的画出长方体的部分展开图，能否准确标注出直角三角形各边长利用勾股定理求出最短路程.
探究活动二：除了圆柱，我们常见的立体几何朋友还有谁呀？来看问题

有了刚才的学习经验，相信学生能够很快解决这个问题的！老师提出：“分小组探究，并选出代言人介绍你们的探究经过和结论。”
讨论结束后，请小组的代言人给大家分享一下自己小组的探究过程和结论，并请其他小组补充.
预期结论：
1.三类路径：沿三条棱长；沿棱长+面；面+面；三种比较面+面比较短）
2.“面+面”有三种组合方式.（引导学生探寻分类的依据）
老师提出：“那究竟哪条路径最短呢？为什么？那这个结论适用于所有长方体么？”
引导学生在回答中注意到究竟选哪条路径跟长方体的棱长有关，并给出一组长、宽、高的数据，引导学生实例探究.
邀请学生上讲台能引领大家以“前+上”为例利用教具，将上底展开与前面在同一平面内，求解路程的平方（老师辅助板书展开图的画法）并让学生上来标注展开图上每条线段的长。

理清思路后，学生分为两大组求解另外两条路程的平方.
以小明的行为发现进行衔接，自然的过渡到对长方体表面最短路程的探究，同时教师用教具引导，帮助学生理解题意.

大多数学生能直接应用侧面展开的方式确定最短路程，却不能抓住长方体与圆柱体的区别，利用分类讨论的思想找到沿两个面的三种路线，所以此处安排学生进行小组合作探究，以便培养学生抓住事物的本质特征进行分类讨论的能力，并得到沿长方体表面最短路程的确定方法

教师示范帮助学生准确建模.

练习利用画侧面展开图求路程的方法
学习环节
学习目标
学习评价
学习活动
设计意图
实践探究交流新知
目标2
目标3
关注学生能否正确计算出不同路程长，能否经过比较总结出确定最短路程的方法.

关注学生的方法是否正确，能否正确解题.
提示学生可以借助手中学具，对长方体盒子进行部分展开后再画图.

经过比较，引导学生从中发现最短路径与长方体的长、宽、高数值之间的关系.
归纳总结：
学生题后反思：沿长方体表面最短路程的求解过程与圆柱体沿侧面最短路程的求解过程有何异同。
变式练习：

先请学生分析题意再独立解题，2分钟后可以寻求同学帮助梳理解题思路后再独立完成。
学生板书解题过程，再请其他同学批改、点评，最后同桌交换批改，看是否已经完善解题过程
学生题后反思:变式练习题和探究活动题目的区别与联系,梳理解题思路
学生通过比较，发现最短路程与长方体的棱长有关.通过类比，强调分类讨论思想在数学建模中的重要作用，并引导学生发现本题的分类依据“长方体三个面交于一点，且相对面相同”，使学生思路更加清晰.

该变式练习的设置的目的在于让学生增强运用知识的灵活性，帮助学生对新知识进行类比内化.

当堂测试
目标3
关注学生能否积极参与练习，同时关注学生的做题方法和错误的原因.

测试题：

测试后对答案，并小组互助解决问题
该环节设置的目的在于检验目标达成度、反馈学情.同时，基础题的设置，可以使更多的学生参与到学习中来，感受到成功的快乐.
学习环节
学习目标
学习评价
学习活动
设计意图
回顾反思
目标1
目标2
目标3
关注学生是否能够用自己的语言说出本节课的感悟.
回顾反思：
这节课我的收获是……

想想看，你还想继续探究什么？

本环节既是对本节课一系列探究活动的小结反思，又为学生展开了新的探究空间，激发兴趣.
作业布置
目标1
目标2
目标3

作业布置：
1. 课本第19页第12题.
2.拓展延伸
当小蚂蚁在外壁爬到距离上底3cm的点A时，那滴甜甜的饮料顺着瓶子内壁滑到了距离下底3cm的点B处，此时小蚂蚁到达点B处的最短路程是多少？

题目设置：1.是对基础知识的巩固;2.是发展学生合情的推理能力，解题时轴对称性质的使用提高学生解题的综合能力，让不同层次的学生得到不同的发展
总结升华深化提高

关注学生能够对所讲内容产生兴趣.
结束语：
同学们，今天我们利用勾股定理帮小明探究了一系列最短路程的问题，今后我会还会用勾股定理解决更多的问题，敬请期待吧……

该环节既给本节课画上了一个圆满的句号，又给学生预留了课后继续探寻的方向，可以调动学生的学习兴趣.
八、板书设计：