一元二次方程的解法———配方法.docx

《一元二次方程的解法(二)——配方法》教案
黄州区堵城中学 贺立勇
一、教材分析
解一元二次方程——配方法，是在学生已经学过直接开平方法解一元二次方程的基础上，来进一步研究它的解法的一个重要理论内容，它是前面知识的深化与总结. 它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来解一元二次方程，又可以为今后研究奠定基础，并且可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力.
二、教学目标
1、知识目标：理解配方法，会利用配方法解一元二次方程.
2、能力目标：总结出配方的解题步骤，提高推理能力.
3、情感目标：通过配方法的探究活动，培养学生勇于探究的学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
三、教学重点和难点
1、教学重点：用配方法求解一元二次方程.
2、教学难点：掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的配方.
四、教学准备
制作课件，精选习题.
五、教学过程
活动一、复习引入
【问题】1、填空：(1)方程3x2－1=5的根是_______________；
(2)方程 3(x－1)2－9=0 的根是_____________.
（(1)x1＝，x2＝－；(2)x1＝，x2＝－）
【活动方略】学生独立求解，教师巡视、检查学生解方程的情况.
2、以上方程的根是用什么方法求得的？这种方法适合哪一类型的一元二次
方程？应用时应注意什么？
左边降次
右边开平方
直接开
平方法

注意：当p＜0时，方程没有实数根.
【活动方略】学生回顾，教师点拨.
【设计意图】复习直接开平方法，为继续学习引入作好铺垫．

活动二、探索新知
【问题情境】
要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽应各是多少？
1、设场地的宽为x m，则长为________m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程______________，化为一般形式为_____________.
（长为(x＋6)m，x(x＋6)＝16，x2＋6x－16＝0）
【活动方略】学生通过思考，自己列出方程，教师点评.
【设计意图】通过问题导向，激发学生的求知欲望．
2、怎样解x2＋6x－16＝0这个方程？能不能用直接开平方法？解方程x2＋6x＋9＝2，并模仿此方程的过程，试解方程x2＋6x－16＝0.
x2＋6x＋9＝2
解：方程可化为
(x－3)2＝2
∴x＋3＝
即 x＋3＝或x＋3＝
∴方程的两根为
x1＝－3，x2＝－－3

x2＋6x－16＝0
得到两个一元一次方程

右边开方
移项
两边同时加上9
解：x2＋6x－16＝0

左边降次

【活动方略】学生完成方程x2＋6x＋9＝2的求解，尝试解方程x2＋6x－16＝0. 教师检查解方程x2＋6x＋9＝2的情况，用课件给出求解过程，引导学生分析两个方程的区别与联系，组织学生相互讨论、交流，求解方程x2＋6x－16＝0.
并通过追问，得出解第二个方程的关键是，移项后在方程两边同时加上9，把方程左边配成一个完全平方式.
【设计意图】通过比较的方法，引导学生利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解方程．
3、填一填（根据 ）

追问：a、以上所给的等式的左边有什么共同的特点？配方时应在等式的两边同时加上一个怎样的数？你是怎样找到的？
（二次项系数都为1，配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.）
b、为什么要在方程x2＋6x＝16两边加9？加其他数行吗？
【活动方略】学生完成填空，探讨、交流，总结规律. 教师点拨、引导，完善学生数学术语的表述.
教师总结：像这样，把方程的左边配成含有x的完全平方形式，右边是非负数，从而可以用直接开平方法来解方程的方法叫做配方法.
【设计意图】强化配方的关键，突破配方的难点．

活动三、理解运用
例1 用配方法解方程：x2－8x＋1＝0.
解：移项，得x2－8x＝－1，
配方，得x2－8x＋42＝－1＋42，
即(x－4)2=15，∴x－4=，
∴x1＝＋4，x2＝－＋4.
【活动方略】学生完成. 教师强调配方的关键，示范规范的解题过程.
对应练习 用配方法解方程：
(1)x2＋10x＋9＝0；(2)x2－x－＝0.
【活动方略】学生演板，独立完成，订正错误. 教师巡视、指导、点评.
【设计意图】让学生学会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，在解方程的过程中体会配方的关键，初步掌握用配方法解一元二次方程得一般过程．

例2 用配方法解方程：
(1)2x2＋1＝3x；(2)3x2－6x＋4＝0.
引导分析：例1与例2在二次项的系数上有什么区别？能转化为例1的形式吗？
解：(1)移项，得2x2－3x＝－1，
系数化为1，得x2－x＝－，
配方，得x2－x＋()2＝－＋()2，
即(x－)2＝，∴x－＝，
∴x1＝1，x2＝.
(2)移项，得3x2－6x＝－4，
系数化为1，得x2－2x＝－，
配方，得x2－2x＋12＝－＋12，
即(x－1)2＝－，
∵(x－1)2≥0，∴此方程无解.
【活动方略】学生在教师的引导下完成，教师给出规范的解题过程.
对应练习 用配方法解方程：
(1)2x2－5x＋2＝0；(2)5x2－2x＝x2－4.
【活动方略】学生演板，独立完成，订正错误. 教师巡视、指导、点评.
【设计意图】由浅入深，让学生学会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，进一步掌握用配方法解一元二次方程得一般过程．

活动四、课堂小结
1、你知道怎样用配方法解一元二次方程？归纳出一般步骤.
(一移：把常数项移到方程的右边；二化：将二次项系数化为1；三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，并将方程写成(x+n)2＝m的形式；四开：左边降次,右边开平方；五解：分别解两个一元一次方程,得到原方程的解.)
2、配方法中，最关键的是哪一步？
3、通过本节课的学习你有哪些收获或不足？在今后的学习中应当怎样注意？
【活动方略】学生交流、总结. 教师指导、点评，激励.
【设计意图】让学生掌握用配方法解一元二次方程的方法步骤，通过自己对学习的剖析，总结经验，认识不足，有利于学生找到正确的学习方法，树立学习数学的信心，养成良好的学习习惯．

活动五、布置作业
课本P17第2、3题.
【活动方略】学生独立完成.
【设计意图】巩固新知、知识升华.

六、教学反思
用配方法解一元二次方程，在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，在教学过程及课后作业批改中发现学生出现以下几个问题：
1、在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加.
2、在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方.
3、当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方.
因此，学生应加强适当练习、上台演板、相互交流，出现问题时，教师要及时讲评，做好个别辅导和跟踪反馈，才能让学生熟练掌握.