八年级上册数学第十五章分式导学案.doc

陵阳中学导学案
八年级数学组
【学习课题】 3.1 分式
【学习目标】1、能判断一个代数式是否为分式
2、能说出一个分式有意义的条件
3、会求分式值为零时，字母的取值
【学习重点】会求分式有意义时，字母的取值范围
【学习难点】求分式值为零时，字母的取值
（一） 自学展示：
1.什么是整式？ 2.自主探究：完成P127--128页思考后回答问题：
一般的，整式A除以整式B，可以写成____的形式。如果B中含有____，
式子就叫____，其中A叫___ _，B叫__ __。
3.分式有意义的条件是什么？分式的值为O的条件是什么？
4.我的疑惑：
（二）合作学习：
1.下列哪些代数式是整式，哪些代数式是分式？
① ②2a+b ③- ④ ⑤ ⑥ ⑦-
整式有： ；分式有：
2.（对照例1）解答：
已知：分式
1).当x取何值时，分式没有意义？ 2).当x取何值时，分式有意义？
3).当x为何值时，下列各式有意义？ 4).当x取何值时，分式的值为0？
，， . ，，.
归纳小结：
1.判别分式的方法：（1） __ （2）___ （3）____
2、分式有意义的条件_____
3.分式的值为零所需要的条件为（1） _ （2） _。
（三 ） 质疑导学：
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
9x+4, , , , ，
整式有： ；分式有：
2.当x取什么值时，下列分式有意义？
（1） ；（2） ；（3） ；
分式有无意义，判断的标准是什么？
答：
（4） ；
3.当x取什么值时，下列分式无意义？
（1） ；（2） 。
4.当x取什么值时，下列分式的值为零？
（1） ；（2） ；（3） 。
（四）学习检测：
1、式子① ② ③ ④ ⑤＋4 ⑥中，是分式的有（ ）
A．①②③⑥ B. ①③⑤ C. ①③ D.①②
2、分式中，当时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零 B.分式无意义
C. 若时,分式的值为零 D. 若时,分式的值为零
3.当_____时,分式无意义.4.当______时,分式有意义.
5.当_______时,分式的值为1.6.当______时,分式的值为正.
7.当______时分式的值为负
（六）学后反思：

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八年级数学组
【学习课题】 3.2 分式的基本性质（1）
【学习目标】1、能叙述分式的基本性质并会用式子表示；
2、能利用分式的基本性质对分式进行恒等变形．
【学习重点】1、分式的基本性质
　　　　　　2、会利用分式的基本性质对分式进行恒等变形
【学习难点】会利用分式的基本性质对分式进行恒等变形
一、【自学展示】
　1.分数的基本性质：分数的分子与分母都_______________________________，分数的值不变。　　　　
2.分解因式：
（1） （2）　 (3)

二、【合作学习】：阅读P129页思考
归纳分式的基本性质：
用字母表示 ：
3.我的疑惑：

三、【质疑导学】：
探究一（对照课本例2）：填空
（1） （2） （3）
（4）
观察分子分母是怎么变化的？

探究二、下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）=　　（）； （2）=(x不等于0)
解：（1）因为，利用_____________，在的分子、分母中同____，
即==
（2）
探究三、变一变：不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母不含负号
（1） （2） （3） （4）
归纳符号法则
四、【学习检测】
：1.不改变分式的值把分子、分母的系数都化为整数：

2.填空：

3.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号：

五、【学后反思】

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八年级数学组
【学习课题】 3.2 分式的基本性质（2）
【学习目标】1了解约分和最简分式的概念；理解约分的依据是分式的基本性质
2了解通分和最简公分母的概念。
【学习重点】1.找到分子分母中的公因式，并利用分式的基本性质约分.
[学习难点] 2.找到各分母的最简公分母，并利用分式的基本性质通分。
【学习难点】1. 分子、分母是多项式的分式的约分2. 各分母的最简公分母的求法。
一、【自学展示】
（一）复习
1．分式的基本性质
2．把下列分数化为最简分数：=_____； =______； =______
3.回顾：异分母分数 是如何化成同分母分数的？
4、 什么是分数的通分？ 。其根据和关键是什么？
5、把分式中的分子、分母的 约去，叫做分式的约分，约分的依据是 ，约分的关键是 。
6、分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母 ，再约分。
7. 把异分母分式化成 叫做分式的约分，通分的依据是
，通分的关键是
二、【合作学习】
探究一.（对照第131页例3）约分
（1） （2） （3）
温馨提示：结果要化成最简分式
归纳小结：（1）分子与分母是单项式时：
（2）分子与分母是多项式时：
探究二.（对照例4）通分
（1） （2）

归纳小结：
1. 通分的关键是：
2. 如何找最简公分母：
四、 【学习检测】课堂练习：P132页练习1.2题
1..下列各分式正确的是( )
A. B. C. D.
2.约分
（1） （2） （3） （4）

3. 通分
（1） 和 （2）和

五、【学后反思】小结:本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？

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【学习课题】 3.3 分式乘除法（1）
【学习目标】1、类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则；
2、会进行分式的乘除法的运算；
【学习重点】掌握分式乘除法的法则及其应用。
【学习难点】分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算。
一、【自学展示】
1．你能完成下列运算吗？
2．请写出分数的乘除法法则
乘法法则：____________________________________
除法法则：____________________________________
二、【合作探究】
探究一：
问题：（1）类比上面的分数乘除法运算，猜一猜与同伴交流。
（2）类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
乘法法则：分式乘分式，用____________作为积的分子，_____________作为积的分母
步骤：
① 把分式的除法变成分式的乘法；
②求积的分式，并确定积的符号；
③约分；
除法法则：分式除以分式，把_____________________________后，再与____________相乘。
用式子表示为：
______________________________________________
探究二：
（对照P136例1）计算：
（1） （2） （3）
解：（1）原式=____________ （2）原式=____________（3）原式=________________
三、【质疑导学】
（对照P1136例2）计算：
（1） （2）
四、【学习检测】
1．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．使分式的值等于5的的值是（ ）
A．5 B． C． D．
3．计算： （1） （2） （3）

（4） (5) (6)

拓展提高：
1．已知x－3y=0，求·（x－y）的值
2. 若,求=_______．
3．已知m+=2，计算=_______．
4.计算：

5、先化简后求值：÷（a2+a），其中a=－．

五、【学后反思】

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八年级数学组
学习课题： 3.3.分式的乘除（2）
学习目标：熟练地进行分式乘除法的混合运算.学习重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.学习难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.
一、【自学展示】1．计算：（1） （2）

步骤：
① 把乘除法的混合运算先统一成乘法运算；
② 把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式；
③ 约分；

二、【合作学习】
计算：（对照P138页例4）
（1） （2）
解：（1）原式=____________________（2）原式=____________________________
=__________________ =________________________
=________________ =________________
探究二：
问题：根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算 ： ________ _____ _______ 猜想：________________
归纳：分式乘方的运算法则：____________________________
三、【质疑导学】问题：（对照P139例5）计算：
（1）（1） （2） （3）
解：

(4)先化简再求值：，其中。

反思小结：
分式的乘除混合运算：把分式乘除法统一成乘法再算，每一步注意符号的确定，最后要化成最简分式
四、【学习检测】
1．计算的结果为________
2．计算：的结果为________
3．计算：(1) （2）

（3） （4）

五、【学后反思】：

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八年级数学组
异分母的分式加减法的一般步骤：
（1）通分，将异分母的分式化成同分母的分式；
（2）写成“分母不变，分子相加减”的形式；（3）分子去括号，合并同类项；
（4）分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式.

学习课题 3.4分式的加减（1）
学习目标：熟练地进行分式加减法的运算.
学习重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
学习难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
一、【自学展示】1.分数的加减运算法则是什么？计算下列各式
_______________________________________
________________________________________
类比分数的加减法，你能猜想出分式的加减法则吗？怎样用语言和式子表示？
同分母分式相加减，分母________________，把分子________________
异分母分式相加减，先________________，变为________________，再加减
可用式子表示为_________________________
二、【合作学习】
对照（P140）例6.计算
（1） （2） （3）

三、【质疑导学】
（1） （2）

(3) （4）

四、【学习检测】
1、 2、

3、 4、

5、计算下列各式
（1） （2）
（3） （4）
6．下面各运算结果正确的是（ ）

7．下列各式计算正确的是（ ）

8．计算（1） （2）
五、【学后反思】

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学习课题：3.5分式的混合运算
学习目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.
学习重点：熟练地进行分式的混合运算.
学习难点：熟练地进行分式的混合运算.
学习过程;
一、【自学展示】
分式的混合运算，要注意运算顺序：先——，再 -----，然后-----,最后结果分子、分母要进行------，注意运算的结果要是------或---------
二、【合作学习】（对照P141例7/8计算）
（1） （2）

三、【质疑导学】
（1）
[分析] 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边.
解：（2）
[分析] 这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边.
解：
四、【学习检测】
(1) （2）

（3）

四、达标检测
1．计算
(1) (2) 2．计算，并求出当-1的值.
五、【学后反思】

课题： 3.6分式方程（一）
学习目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
学习重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
学习难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
一、【自学展示】
解方程：x-2=3；
在以上方程中，x-2和3都是____式，方程属于____________方程.
二. 【合作学习】（课本P149）
问题1：一艘轮船在静水中的最大流速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
解：设____________________________________
根据等量关系：__________________________________，
可得方程：_____________________，方程的________中含有未知数，像这样的方程叫做__________.
问题2：解下列两个方程，根据解题过程思考问题：
⑴； ⑵；
三. 【质疑导学】
1.解方程：； 2.解方程：；
3.解方程：；
根据以上问题，我们可以得到解分式方程的一般步骤为：四、【学习检测】解方程 （2）
学生探究：什么是增根？
增根应满足两个条件：一是其值应使（ ）为0，二是其值应是去分母后所得（ ）的根。
1.若在解分式方程的过程中产生增根，导致分式方程无解，求k的值.
达标检测：
(1) (2)

（3） （4）

（5） （6）

五、【学后反思】

3.6分式的运算同步测试题
一、精心选一选
1．下列算式结果是－3的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2008黄冈市）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
3.把分式中的x、y都扩大2倍,则分式的值( )
A.不变 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D.扩大4倍
4．用科学记数法表示-0.000 0064记为（ ）
A. -64×10-7 B. -0.64×10-4 C. -6.4×10-6 D. -640×10-8
5．若，则等于 （ ）
A． B． C．1 D．
6.若，则分式（ ）
A.1 B. C. D.－1
7.一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为U像距为V，凸透镜的焦距为F，且满足，则用U、V表示F应是（ ）
A. B. C. D.
8．如果＞＞0，那么的值是（ ）
A. 0 B. 正数 C. 负数 D. 不能确定
二、细心填一填
1. (16x3-8x2+4x) ÷(-2x)= 。
2.已知a+b=2,ab=-5,则＝____________
3.（2007年芜湖市）如果，则= ____________
4.一颗人造地球卫星的速度是8×103/秒，一架喷气式飞机的速度是5×102米/秒，这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的____________倍.
5.a取整数 时，分式(1-)·的值为正整数.
6. 已知a＋＝6，则（a－）2 =
7.已知，则=_____________
8.已知｜x+y-3|+(x-y-1)2=0，则=______________________
三、仔细做一做
1.计算

2. （1）化简：，并指出x的取值范围

（2）先化简，再求值已知，，求的值．

3. 已知 y = ÷ － ＋ 1 ，试说明在右边代数式
有意义的条件下，不论x为何值，y的值不变。

4.按下列程序计算：

（1）填表。
输入n
3

…
输出答案
1

1

（2）请将题中计算程序用式子表达出来，并化简。

课 题： 3.7 分式方程
学习目标：
1、会分析题意，找出等量关系；
2、会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
学习重点：利用分式方程解决实际问题
学习难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.
使用方法：阅读课本p35例题3，感受建立数学模型的方法，提高自己解决实际问题的能力，然后完成预习导学 当堂训练 课堂检测部分。
一、学习过程：
预习导学：
1、 叫做分式方程.
2、解方程：①－＝－ ②＋1＝

3列一元一次方程解决实际问题，最关键的是 .
二、新课学习：
1、师生共同学习P152例3
分析：本题是一道工程问题，基本关系是：工作总量＝工作效率×工作时间，这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作时间的单位为“日”.
甲队1个月完成总工程的，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的 ，乙队半个月完成总工程的 ，两队半个月完成总工程的 .
本题的等量关系是：
三、当堂训练：
1、P37练习题1、题.
2、学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习，甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个，又已知甲每分比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个？
四、课堂检测：
1、一项工程要在限期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做，需要超过规定日期4天才能完成；如果两组合作3天后，剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？
2、甲乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行速度和骑自行车的速度.
3、某校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程，在下午5时到达，后来由于把速度加快，结果于下午4时到达，求原计划行军速度.五、我的收获和疑惑：

分式方程测试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.在下列方程中，关于的分式方程的个数有（ ）
① ②. ③.④.⑤
⑥. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2. 关于x的方程的根为x=1，则a应取值( ) A.1 B.3 C.－1 D.－3
3.方程的根是（ ） A.=1 B.=-1 C.= D.=2
4.那么的值是（ ） A.2 B.1 C.-2 D.-1
5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ）
A. 去分母得，；
B.，去分母得，；
C.，去分母得，；
D. 去分母得，2；
6. 关于的分式方程，下列说法正确的是（ ）
A．方程的解是 B．时，方程的解是正数 C．时，方程的解为负数 D．无法确定
7. .赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是( )
A.=14 B. =14 C.=14 D. =1
8.若关于的方程无解，则的值是（ ） A.3 B.2 C.1 D.-1
9.若方程那么数A、B的值为（ ） A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1
10.如果那么（ ） A.1- B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共30分）除武装 11. 满足方程：的x的值是________.
12. 当x=________时，分式的值等于.13.分式方程的增根是 .
14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v1千米，t小时可到达，如果每小时多行驶v2千米，那么可提前到达________小时.
15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x千米/时，则所列方程为 .
16.已知则 .17. 时，关于的方程的解为零.
18.飞机从A到B的速度是，返回的速度是，往返一次的平均速度是 .
19.当 时，关于的方程有增根.
20. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m，则根据题意可得方程 .
三、解答题（共5大题，共60分）
21. .解下列方程(1) (2) （3）．

22. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？

23.在一次军事演习中，红方装甲部队按原计划从A处向距离150的B地的蓝方一支部队直接发起进攻，但为了迷惑蓝方，红方先向蓝方另一支部队所在的C地前进，当蓝方在B 地的部队向 C地增援后，红方在到达D地后突然转向B地进发。一举拿下了B地，这样红方比原计划多行进90，而且实际进度每小时比原计划增加10，正好比原计划晚1小时达到B地，试求红方装甲部队的实际行进速度.（由于实际地形条件的限制，速度不能超过每小时50）

24.小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室内发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？

八年级上册第十五章分式复习学案（1）
一、 学习目标 姓名：
1、 掌握分式的定义、分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的基本性质；
2、 掌握0指数、负整数指数的运算法则，熟练地进行整数指数幂的运算；
二、 学习重点：
1、 分式的基础知识； 2、整数指数幂的运算；
三、课前自读：
一）知识归纳与梳理：
1、分式的定义： ；
2、分式有意义的条件： ；
3、分式的值为0的条件： ；
4、分式的符号法则：分子、分母和分式本身，任意改变 地方的符号，分式的值 。
换句话说：分子的符号或者分母的符号可以提到 去；
请特别注意：分子改变符号，是整个分子全部改变符号，分母也是一样。
5、0次幂等于 ；0的0次幂 ；
6、负整数指数幂的处理口诀： ， ；即 （a≠0）；
7、整数指数幂的运算法则：
同底数幂相乘，底数 ，指数 ；即 ；
同底数幂相除，底数 ，指数 ；即 ；（a≠0）
幂的乘方，底数 ，指数 ；即 ；
积的乘方，等于 ；即 ；
分式的乘方，等于 ；即 （a≠0）；
二）例题分析：
例1、下列分式中，x取何值时分是有意义？
①； ②； ③；引导分析：分式在什么情况下有意义？
例2、下列式子中，分式有（ ）（填序号即可）
①；②；③；④；⑤；
例3、不改变分式的值，将分式、的分子、分母中各项系数整 例4、当x取何值时，下列分式①，②的值都是0？
引导分析：分式的值为0的条件是怎样的？
解：①∵分式的值是0，∴ ，∴ 。
但是当x= 时，代入分母得 ，∴ ；
故：当x= 时，分式的值为0.
②
例5、计算：①= ；
④ ；
三）课堂检测
①当x= 时，分式的值为0；
②当x 时，分式有意义；当y 时，分式无意义；
③不改变分式的值，将分式中分子、分母最高次项的符号变为正。
A）； B）； C）。
④ ； = ；

八年级上册第十五章分式复习学案2
一、 学习目标： 姓名：
1、 灵活运用分式的符号法则，熟练地进行分式的运算；
2、 会解可化为一元一次方程的分式方程，并会验根；以及分式方程的应用。
二、 学习重点：
1、 分式的四则混合运算；
2、 解分式方程以及分式方程的应用；
三、课前知识梳理：
分式方程： 的方程；
解分式方程的思路：去分母，化分式方程为 ；
解分式方程的关键：方程两边同乘以 ；
解分式方程易错处：分式方程一定要验根！切记。
四、例题讲解
例1、先化简，再求值：，其中a=。
点拨：本题可以看作两个分式与三个整式的和，也可以看作是两个分式与一个整式的和。通分时，整式看作是分母为的分式，分数线起着括号的作用，应该是，小心！
解：原式= 练习：化简：①；

例3、解方程： 【练习】解方程：；
本题转化为整式方程后一定要检验！ 解：
解：两边同乘以 ，得

解之得
检验：把t= 代入 ，
∴ 。
例4、当m取什么值时，关于x的方程有增根？
点拨：先把分式方程去掉分母转化成整式方程，化简整式方程。因为原方程有增根，那么这个增根就会使分母等于0，故得到增根，代入化简后的整式方程，从而得到m的值。
解：原方程可化为 ；
两边同乘以 ，得 ；
整理得 。
∵关于x的方程有增根
∴x= 或者x= ；
当x= 时，代入 ，解得m= ；
当x= 时，代入 ，解得m= 。
∴当m 时，关于x的方程有增根。
例6、市政公司承建一条6000米长的防洪大堤，修了30天后，气象部门通知汛期将提前到达，公司增派人手抢建大堤，工效比原来提高20%，工程恰好比原计划提前5天完工。求该公司实际修建防洪大堤的天数。
解：

五、当堂检测：
①，其中； ②，其中；
解：原式=
解：原式=
③
④若关于x的方程无解，则m的值是 ；
⑤如果关于x的方程有增根，则a的值是 。
⑥A、B两地相距80Km，甲骑摩托车从A地出发1小时后，乙也从A地出发乘小车前往B地。因为小车速度是摩托车速度的1.5倍，故乙比甲还早20分钟到达B地。求甲、乙二人的速度。

八年级(上)数学单元检测题
（第十五章 分式）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列式子是分式的是（ ）A． B． C． D．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
4．化简的结果是（ ） A. B. C. D.
5．若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍
6．若分式方程有增根，则a的值是（ ）A．1 B．0 C．—1 D．—2
7．已知，则的值是（ ） A． B. C.1 D.
8．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（ ）
A． B． C． D．

9．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。设原计划行军的速度为xkm/h，，则可列方程（ ）
A． B.
C. D.
10.已知 ，则直线一定经过（ ）
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．计算= ． 12．用科学记数法表示—0.000 000 0314= ．
13．计算　　 ．14．方程的解是　　　　　　　　　．
15．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门。请你尝试用含你n的式子表示巴尔末公式　　 　　．
三、解答题（共52分）
17．（10分）计算：
（1）