解三角形单元复习答案.doc

《解三角形》单元复习
学习目标
1.掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
学习重点
正弦定理、余弦定理等知识和方法的运用
学习难点
运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决实际问题．

热身训练：
1.在△ABC中，－－＝_____0___.
2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为_____．
3.在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c＝__2或__.
4.△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为_____．
知识应用
【例1】在△ABC中， a=12，A=，要使三角形有两解，则对应b的取值范围为

【例2】在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cos A＝.
(1)求sin2 ＋cos 2A的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.
解　(1)sin2 ＋cos 2A＝＋cos 2A＝＋2cos2 A－1＝.
(2)∵cos A＝，∴sin A＝.
由S△ABC＝bcsin A，得3＝×2c×，解得c＝5.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得
a2＝4＋25－2×2×5×＝13，∴a＝.

【例3】如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．

解　∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∠OCP＝120°.
在△POC中，由正弦定理得＝，
∴＝，∴CP＝sin θ.
又＝，∴OC＝sin(60°－θ)．
因此△POC的面积为
S(θ)＝CP·OCsin 120°
＝·sin θ·sin(60°－θ)×
＝sin θsin(60°－θ)
＝sin θ
＝2sin θ·cos θ－sin2θ
＝sin 2θ＋cos 2θ－
＝sin－，
∴θ＝时，S(θ)取得最大值为.

课堂小结
1. 本节课主要内容：
本节课主要思想方法：
课堂检测
1.在下列情况中三角形解的个数唯一的有__①③④_．
①a＝8，b＝16，A＝30°；
②b＝18，c＝20，B＝60°；
③a＝5，c＝2，A＝90°；
④a＝30，b＝25，A＝150°.
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
解　(1)∵cos B＝>0，且0<B<π，∴sin B＝＝.
由正弦定理得＝，sin A＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝acsin B＝4，∴×2×c×＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.
课后作业
1.在△ABC中，a＝2，b＝，c＝1，则最小角的大小为____．
2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝，b＝，B＝120°，则a＝_____.
3.在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为___．
4.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin C＝_____1___.
5.已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是__2<x<2__．
6.下列判断中正确的是__②___．(填序号)
①△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解；
②△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解；
③△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解；
④△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解．
7.在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为_____．
8.若＝＝，则△ABC的形状是____等腰直角_____三角形．
9.在△ABC中，B＝30°，AB＝，AC＝1，则△ABC的面积为__或_．
10.已知△ABC的周长为＋1，且sin A＋sin B＝sin C．若△ABC的面积为sin C，角C的度数为__60°__．
11.我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．

解　设我艇追上走私船所需时间为t小时，则
BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，
由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：
(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos 120°，∴t＝2.
答　我艇追上走私船所需的时间为2小时．
12.设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsin A.
(1)求B的大小．
(2)若a＝3，c＝5，求b.
解　(1)∵a＝2bsin A，∴sin A＝2sin B·sin A，
∴sin B＝.∵0<B<，∴B＝30°.
(2)∵a＝3，c＝5，B＝30°.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝(3)2＋52－2×3×5×cos 30°＝7.
∴b＝.

13.如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．

(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
(2)求四边形OPDC面积的最大值．
解　(1)在△POC中，由余弦定理，
得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cos θ＝5－4cos θ，
所以y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sin θ＋×(5－4cos θ)＝2sin＋.
(2)当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋.
答　四边形OPDC面积的最大值为2＋.