仁寿县华兴中学高2014级第一次适应性考试试题.doc

仁寿县华兴中学高2014级第一次适应性考试试题
数 学(理科)
出题人：邓琪 审题人：余博
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数的定义域为
A． B． C． D．
2．在直角坐标系中，点的坐标为，是第三象限内一点，且，则点的横
坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．设，，，则的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）
A．36 B．24 C．12 D．6
5．已知实数满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（ ）.
A．5 B．6 C．7 D．8
7．在数列中，，则( )
A． B． C． D．5
8．若函数满足，则函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
9．若关于的不等式的解集为区间，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10. 在长为3的线段上任取一点，则点与线段两端点的距离都大于1的概率等于（ ）
A． B． C． D．
11．经过双曲线的右焦点作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于两点，若，则该双曲线的离心率是（ ）
A.或 B. 或 C. D.
12．已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数的取值范围是（ ）
A．（，2] B． C． D．

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
13．已知向量，若与共线，则的值为_____________
14． 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若
，则实数的取值范围是 ．
15．在中，内角所对的边分别为，如果的面积等于8，,,那么= .
16．若函数的图象关于直线对称，则的最大值是

三、解答题：共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
如图所示，在平面四边形中，，，为边上一点，，，，.（1）求的值；（2）求的长.

18．（本小题满分12分）
随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．

19.（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且，AB=PC=2，PA=PB=.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设H是PB上的动点，求CH与平面PAB所成最大角的正切值.

20．（本小题满分12分）
已知椭圆的左右焦点其离心率为，点为椭圆上的一个动点，内切圆面积的最大值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若是椭圆上不重合的四个点，且满足,求的取值范围.

21．(本小题满分12分)
已知，函数，是的导函数，
（Ⅰ）当时，求证：存在唯一的，使得；
（Ⅱ）若存在实数，使得恒成立，求的最小值．

选做题：请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且＝.
(1)若CD∥AB.证明：直线AC平分∠DAB；
(2)作DE⊥AB交AC于E.证明：CD2＝AE·AC.

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角是，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线的极坐标方程是．
（Ⅰ）若直线和曲线有公共点，求倾斜角的取值范围；
（Ⅱ）设为曲线任意一点，求的取值范围．

仁寿县华兴中学高2014级第一次适应性考试试题
数 学(理科)参考答案
1.答案：B解析：根据根式、分式、对数的概念，可得：，即，解得：。
2.答案：A 【解析】设，则，，
，故选A．
3.【答案】.【解析】试题分析：因为，所以，而，，所以，故应选.
4. 【答案】C试题分析：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，
其中底面是边长为的正方形，平面平面平面，∴四棱锥的体积．
5.【答案】D【解析】试题分析：如图，表示可行域内的动点与定点连线的斜率．由图可知，，即，选D．
6.答案：B解析：第1步：s＝1，k＝2；第2步：s＝2，k＝3；第3步：s＝6，k＝4；第4步：s＝15，k＝5；
第5步：s＝31，k＝6；第6步：s＝56，退出循环，此时k=6
7. 答案：C【解析】
试题分析：因为，所以，，即数列是周期数列，周期为4，则；故选C．
考点：1.数列的递推式；2.数列的周期性
8. 【答案】D
考点：1、三角函数的最值；2、三角函数的单调性．

9.【答案】A【解析】
试题分析：令，，其示意图如图，若，要满足，则，此时.从而.若，要满足，则.而，不满足.所以，选A．
考点：直线与圆的位置关系．
10.【答案】D【解析】
试题分析：设线段的三等分点分别为（如图所示），因为点与线段两端点的距离都大于1，所以在线段上，则点与线段两端点的距离都大于1的概率；故选D．

考点：几何概型．
11. 【答案】B【解析】： 易得选B
12. 【答案】B【解析】方法1. 易得在单调增，且
所以使得的的整数解不可能为正整数和零，只可能负整数，
所以分离参数得：，作出与的图像易知只有两个整数解满足条件。进而选择B.
方法2.研究与　　　方法3.特殊值法
13.答案：1 解析：＝，因为与共线，所以，3k＝，所以，k＝1
14.【答案】

15．【答案】
．
16. 【答案】
【解析】
考点：函数的综合应用及函数的图象．．
17. 【答案】（1）；（2）．
【解析】
考点：正、余弦定理的应用；三角函数的诱导公式及和角公式的应用
18解析：（1）由茎叶图知：设样本中甲班10位同学的平均身高为，乙班10位同学的平均身高为.则
==170 2分
==171.1 4分
，据此可以判断乙班同学的平均身高较高.
（2）设甲班的样本方差为，由（1）知=170.则
6分
=57.2 8分
（3）由茎叶图可知：乙班这10名同学中身高不低于173cm的同学有5人，身高分别为173cm、176cm、178cm、179cm、181cm.这5名同学分别用字母A、B、C、D、E表示.则记“随机抽取两名身高不低于173cm的同学”为事件Ω，则Ω包含的基本事件有：[A,B]、[A,C]、[A,D]、[A,E]、[B,C]、[B,D]、[B,E]、[C,D]、[C,E]、[D,E]共10个基本事件. 10分
记“身高为176cm的同学被抽中”为事件M，
则M包含的基本事件为：[A,B]、[B,C]、[B,D]、[B,E]共4个基本事件.
由古典概型的概率计算公式可得：. 12分
考点：茎叶图、方差、平均数、随机事件的概率.
19.解析：解：(Ⅰ)证明：取AB中点O，连结PO、CO，----------1分
由PA=PB=，AB=2，知△PAB为等腰直角三角形，
∴PO=1，PO⊥AB，-----------------------------------2分
由AB=BC=2，，知△ABC为等边三角形，
∴，-------------------------------------3分
由得,
∴PO⊥CO，-------------------------------------------------------4分
又，∴PO⊥平面ABC，----------------------------------------------5分
又平面PAB，∴平面平面----------6分
（Ⅱ）解法1：如图，连结OH，由（Ⅰ）知，
∴CO⊥平面PAB，为CH与平面PAB所成的角，-----------7分
在Rt△COH中，∵，-----------8分
要最大，只需取最小值，
而的最小值即点O到PB的距离，这时，，-------------10分
故当最大时，.
即CH与平面PAB所成最大角的正切值为.------------------------------12分
【解法2：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABC，，
如图所示，以O为原点，OC、OB、OP所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，-----------------------------7分
设点H的坐标为，，
则，∴，即，------8分
则，为平面PAB的法向量，
设CH与平面PAB所成的角为，
则
,------10分
当时，取最大值，，-------------------------11分
又，此时最大，，
即CH与平面PAB所成最大角的正切值为.-----------------12分】
20.试题解析：（1）当P为椭圆上下顶点时，内切圆面积取得最大值，设内切圆半径为r，．
，化为，又，联立解得-------------------------------------------------4分

．把代入上式可得：，
，设，
，．
综上可得：的取值范围是[） -------------------------------------------------12分
21.解析：（Ⅰ）证明：∵，，------------------------1分
当时，，∴函数在上的单调递增，------------------------2分
又，，------------------------------------------------------3分
∴存在唯一的，使得；-----------------------------------------------4分
（Ⅱ）解：（1）当时，则当时，，即函数在上单调递增，且当时，，这与矛盾；---------------------------5分
（2）当，由，得，∴；------------------------------------------6分
（3）当，由（Ⅰ）知当时，；当时，；
即在上单调递减，在上单调递增，----------------------------------7分
∴，-----------------------------------------------------------------------------------8分
其中满足，故且，
∵恒成立，∴
即，于是，------------------9分
记，，则，-----------------10分
由得，即函数在上单调时递减，
得，即函数在上单调递增， ∴，
综上得的最小值为，此时．--------------------------------------------------12分

22．【解析】(1)由题设CD∥AB可知，∠DCA＝∠BAC，
因为＝，所以∠DAC＝∠DCA，
从而∠DAC＝∠BAC，因此，AC平分∠DAB. ．---------------------------------------5分
(2)由DE⊥AB知，∠ADE＋∠DAB＝90°，
因为AB为直径，所以∠DBA＋∠DAB＝90°，
从而∠ADE＝∠ABD，又因为∠ABD＝∠DCA，
所以∠ADE＝∠ACD.
因此△ADE∽△ACD，
所以AD2＝AE·AC，而AD＝DC.
所以CD2＝AE·AC. -----------------------------------------------------------------10分

23.解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程转化成直角坐标方程是，
由题意知直线的斜率存在，设直线，其中．
联立消去得．
因为直线和曲线有交点，所以，即，
即，所以（Ⅱ）曲线的参数方程是（为参数），
所以点的坐标可以写成，
所以，因为，
所以．-----------------------------------------------------------------10分
考点：1、极坐标方程与直线坐标方程的互化；2、直线与圆的位置关系；3、两角和与差的正弦；4、三角函数的图象与性质．