【高中数学】《高中数学解读与扩展系列之三角函数》.doc

一、三角函数
三角函数是高中数学中基本初等函数之一. 是每年高考的必考内容.
（1）主要知识
1. 弧度制： 角．

2. 扇形的周长、面积公式：扇形的半径为，圆心角的弧度数是，则：
扇形的周长= 扇形的弧长：，扇形的面积：.

3. 终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，构成角的集合是： 终边相同的角的同名三角函数值相等．

4. 三角函数定义：设角是任意角，角的终边上任意一点P的坐标,
，那么.

5.三角函数线

如图（I）～（IV），设任意角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合且与单位圆交于点，终边与单位圆交于点，过点作垂直轴于点，过点作轴垂线与角的终边或其延长线交于点，则有向线段分别称为角的正弦线、余弦线、正切线，即正弦线：；余弦线：；正切线：．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．

6. 诱导公式：

组数
一
二
三
四
五
六
角

正弦

余弦

正切

口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变符号看象限

三角函数值在各个象限的符号：I全正，II正弦，III两切，IV余弦．

7. 同角三角函数的基本关系：，.

8. 和、差、倍公式
，

9. 函数的基本性质
函数　　
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
图象

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
对称性
对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
无对称轴
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)

周期
2π
2π
π
单调性
单调增区间

单调减区间

单调增区间

单调减区间

单调增区间
奇偶性
奇
偶
奇

10. 图象变换的两种途径
先相位变换后周期变换
．
、先周期变换后相位变换
．

11.三角函数式的化简常用方法：
直用公式，逆用公式，变用公式，切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次．

12.三角函数式的证明常用方法：
活用公式，化繁为简，左右归一，变更等式，高次化低，化异为同，异角化同角，异名化同名．
三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．

13. 三角函数的求值类型有三类：
给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题．
给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．
给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．
常用的角的变换：；；
；；
； ；

14.几种常见函数的最值的求法
①或型，利用或，注意对字母的讨论.
②型：引进辅助角化成，再利用或求解.
③型：利用转化，再配方后求二次函数的最值，应注意的约束.

能用三角函数定义求解的数学问题一般有两种题型，一类是知道角α的终边上一点的坐标；另一类是与单位圆有关.利用三角函数定义可以求三角函数值、参数值、判断角的象限.

一、求三角函数值
例1. 已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0), 且sin α＝，求cos α， tan α的值．
【解析】由题设知x＝－，y＝m，
所以r2＝|OP|2＝2＋m2(O为原点)，r＝.
所以sin α＝＝＝，
所以r＝＝2，
即3＋m2＝8，解得m＝±.
所以m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
所以cos α＝＝－， tan α＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
所以cos α＝＝－， tan α＝.
点评：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．

例2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝____.

【解析】因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.
点评：在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．
二、求参数值
例2. 【2016学年湖南衡阳一中高一下期末】已知角的终边过点，且，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题设可得,经检验成立,应选A.
点评：对于三角函数的定义要牢固记忆，并且与单位圆中的要区分开，要知道只有在单位圆中点的纵坐标才是角θ的正弦．

三、三角函数定义下的创新
例3.(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为(　　)

【解析】如图所示，当x∈时，则P(cos x，sin x)，M(cos x，0)，作MM′⊥OP，M′为垂足，
则＝sin x，所以＝sin x，
所以f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，则当x＝时，f(x)max＝；
当x∈时，有＝sin (π－x)，f(x)＝－sin xcos x＝－sin 2x，
当x＝时，f(x)max＝.只有B选项的图象符合．

点评：本题是三角函数与圆的结合，利用三角函数定义首先写出P、M坐标，结合图形用x表示出f(x)，即可判断出结果，此类问题见证了数学中的“以静制动”．近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导．一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式，运用三角知识考查学生分析问题解决问题的能力．

研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.

一、用三角函数定义求值
例1.已知角α的终边经过点P(x，－)(x≠0)且cosα＝x，求sinα＋tanα的值．
【解析】因为P(x，－)(x≠0)，
所以点P到原点的距离r＝.
又cosα＝＝x，所以x＝±，r＝2.
当x＝时，点P(，－)，
由三角函数定义知sinα＝－，tanα＝＝－.
所以sinα＋tanα＝－－＝－.
当x＝－时，同理可求得sinα＋tanα＝.

例2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos θ＝(　　)。
A.－ B.－
C. D.
【解析】取终边上一点(a,2a)(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±.
点评:用定义法求三角函数值的两种情况:
①已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；
②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解.

二、用诱导公式求值
例3.【2016高考四川文科】 .
【解析】由三角函数诱导公式.
例4.已知α∈，sinα＝，则tan(π－α)＝________.
【解析】因为α∈，sinα＝，
所以cosα＝－.所以tanα＝＝－.
所以tan(π－α)＝－tanα＝.
点评:诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了。诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.

三、用同角三角函数间的关系求值
例5.【2016高考新课标Ⅲ文数】若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【解析】．

例6.已知为第二象限角,,则(　　)
A. B.
C. D.
【解析】法一:因为,
所以,
所以,即.
又因为为第二象限角且,
所以,
所以,
所以为第三象限角,
所以，故选A.
法二:两边平方,得
所以.
因为为第二象限角,所以,,
所以，
由，解得，
所以.
点评:已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：
①一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解。
②一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解。
③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解。

四、利用三角函数性质求值
例7.【2016届山西晋城市高三下学期三模】已知函数相邻两对称中心之间的距离为,将函数的图象向左平移个单位所得图象关于直线对称, 则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意，得，解得，所以．
将函数的图象向左平移个单位，得．
因为所得函数图象关于直线直线对称，所以，即．
令，得，故选B．

例8.若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝(　　)

A.5 B.4
C.3 D.2
【解析】由图可知＝，T＝，ω＝＝4. 故选B.

例9.【2016高考新课标2文数】函数的最大值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】因为，
而，所以当时，取最大值5，选B.

例10.已知函数f(x)＝cos，求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解析】因为－≤x≤0，所以－π≤2x＋≤，
所以当2x＋＝－π，即x＝－时，f(x)有最小值，f(x)min＝－1；
当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)有最大值，f(x)max＝，
即f(x)在上的最小值为－1，最大值为.
点评:求三角函数的值域(最值)时，代数中求值域(最值)的方法均适用，如配方法(参看例1(2)，注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等。对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可直接求出ωx＋φ在区间的范围，然后根据单调性求解。

五、用和差公式求值
例11.【2016学年甘省天水一中期末】已知, , 则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为，，所以
,故选C.
点评:给值求值问题，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论.

六、利用倍角公式求值
例12.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】 ，
且，故选D.
例13 .设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________。
【解析】因为sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，所以cos α＝－，
又α∈，所以sin α＝，tan α＝－，
所以tan 2α＝＝＝.
点评:三角函数式的化简求值：一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.

三角函数的图象与性质一直是高考命题的热点，主要考查三角函数的单调性、最值、奇偶性、周期性、图象对称性以及这些性质的综合运用. 主要考查运用数学知识分析解决问题的能力，考查数形结合思想.主要题型有：五点法作图、图象变换、根据图象求解析式、函数图象的交点问题、三角函数的单调性、 三角函数的奇偶性、三角函数的周期性.

题型一：五点法作图
【例1】【2015年湖北卷】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx+φ
0

π

2π
x

Asin(ωx+φ)
0
5

－5
0

（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值.
【解析】（1）由表中数据得A＝5，ω×+φ＝，＝ω×+φ＝，解得ω＝2，φ＝－，数据填补如下：
ωx+φ
0

π

2π
x

Asin(ωx+φ)
0
5

－5
0
故函数的解析式为f(x)＝5sin(2x－).
（2） 由（1）知f(x)＝5sin(2x－)，所以由平移得g(x)= 5sin(2x－+2θ).
因为y=g(x)图象的一个对称中心为(,0)，
所以2×－+2θ=kπ,k∈Z, θ=－，k∈Z,又θ＞0，故θ＝.
点评：函数图象的画法： “五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象.

题型二：三角函数的图象变换
【例2】【2016高考四川文科】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度
C.向上平行移动个单位长度 D.向下平行移动个单位长度
【解析】由题意，为得到函数，只需把函数的图象上所有点向左移个单位，故选A.
点评：将经过下列变换，可得()的图象：
.

题型三：根据图象求解析式
【例3】【2016高考新课标2文数】函数的部分图像如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.

【解析】由图知，，周期，所以，所以，
因为图象过点，所以，所以，
所以，令得，，
所以，故选A.
点评：逆用五点法作图的过程是求函数的解析式的关键．五点法作图时，五个点的横坐标求解的方法是，将与函数相比较，令，得到x的值，便是第一个点的横坐标；令，得到第二个点的横坐标，等等．

题型四：函数图象的交点问题
【例4】【2014年上海卷】设常数使方程在闭区间[0,2π]上恰有三个解，则 ．
【解析】原方程可变为a=2sin(x+)，如图，作出函数y=2sin(x+), x∈[0,2π]的图象，再作直线y=a，
从图象可知函数y=2sin(x+), x∈[0,2π]在[0,]上递增，[,]上递减，在[,2π]上递增，
只有当a=时，由图知，直线y=a与函数y=2sin(x+), x∈[0,2π]图象有三个交点，，，，
所以．

点评：找到恰有三个公共点的位置是解题的关键.在处理方程的根的个数时，往往将方程转化为两个函数的交点的个数.

题型五：三角函数的单调性
【例5】【2016届河南省洛阳市高三毕业班三练】设函数，则以下结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递增
【解析】，
所以函数先减后增；，
所以函数先增后减；，
所以函数单调递减；，
所以函数先减后增；选C.
点评：在[2kπ－,2kπ+](k∈Z)上递增，在[2kπ+，2kπ+](k∈Z)上递减；在[2kπ－π,2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上递减；在开区间内都是增函数，但要注意在整个定义域上不具有单调性.

题型六： 三角函数的奇偶性与周期性
【例6】已知函数，，则是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
【解析】因为f(x)＝(1+cos2x)=(1－cos2x)=－=－，
所以，，故选D．
点评：函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

题型七：三角函数图象的对称性
【例7】【2016届河南新乡名校学术联盟高三高考押题】已知函数（）与轴的交点为，且图象上两对称轴之间的最小距离为，则使成立的的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以，所以，所以，
所以，
由题意，得，
所以关于直线对称，
所以，，所以，，
所以的最小值为．
点评：本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查，叙述方式新颖，是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①的单调区间长度是半个周期；②若的图象关于直线 对称,则 或.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．

角度变换在解题中是至关重要的，角度“变换”三角变换的核心.求解三角函数问题常用角度“变换”方法有：复角与单角的转化、非特殊角与特殊角转化、倍角与半角的转化、结论角与条件角的转化、引入辅助角.

一、复角与单角的转化
例1. 已知，
求的值．
【解析】因为sin θ＝，所以sin θ＝.
所以原式＝＋
＝＋
＝＋＝
＝
＝＝18.
点评:对角度形如：、、，用诱导公式进行变换，没用一次公式角度都会变，注意准确选用公式，其三角函数值的符号.

二、非特殊角与特殊角转化
例2. ＝(　　)
A． － B．－
C. D.
【解析】＝
＝＝sin30°＝. 故选C.
点评:特殊角的三角函数时同学们熟悉的，把问题中的非特殊角向特殊角转化长是解题的突破口. 本题利用，减少非特殊角的数量.

三、倍角与半角的转化
例3.【安徽省合肥市第八中学2016届高三阶段考试】已知，则（ ）
【解析】由倍角公式可将化为，
所以，
当时，，所以；
当时，，.
综上.
点评：形如“，，”的化简问题，就要想到二倍角公式、辅助角公式.

四、结论角与条件角的转化
例4. 已知α，β为锐角，sinα＝，cos(α－β)＝，求cosβ的值．
【解析】因为sinα＝<，α∈，所以0<α<.
因为cos＝<，α－β∈，0＜β＜，所以－<α－β<0.
所以cosα＝＝.
sin(α－β)＝－＝－＝－.
所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.
点评：当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
五、引入辅助角
例5. 在中，，求的值.
【解析】因为在中，，
所以，即，
所以，又，则，即，
所以.
点评：形如型可利用辅助角公式解决，
，其中
，.

三角函数是高中数学的重要内容之一,其中蕴含着丰富的数形结合思想、分类讨论思想、等价转换思想、函数与方程思想思想、换元思想、整体代换思想，本文举例说明.

一、数形结合思想
例1.【2016高考新课标2文数】函数的部分图像如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.

【解析】由图知，，周期，所以，所以，
因为图象过点，所以，所以，
所以，
令得，，所以，故选A.
点评:解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值.

二、分类讨论思想
例2:已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0), 且sin α＝，求sin 2α+tan 2α的值.
【解析】 由题设知x＝－，y＝m，
所以r2＝|OP|2＝2＋m2(O为原点)，r＝.
所以sin α＝＝＝，
所以r＝＝2，
即3＋m2＝8，解得m＝±.
①当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
所以cos α＝＝－， sin α＝,tan α＝－；
所以sin 2α+tan 2α

.
②当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
所以cos α＝＝－， sin α＝,tan α＝.
所以sin 2α+tan 2α

.
点评 :本题中点P(－，m)(m≠0)的坐标中有参数，由于的符号不同，点的位置不同，相应的角的三角函数值不同，因此求解本题需要对进行讨论.

三、对称思想
例3. （2016届湖北七市教研协作体高三4月联考数学（文）试卷）将已知函数（为常数，，）在处取得最大值，则函数是（ ）
A．奇函数且它的图象关于点对称 B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称 D．偶函数且它的图象关于点对称
【解析】因为在处取得最大值,
所以，即，
所以函数，
故函数是偶函数，且关于点对称,故选B.
点评:函数图象的对称轴方程可由求得；对称中心的横坐标可由求得，纵坐标是0.

四、等价转化思想
例4:【2016学年甘省天水一中期末】已知，则__________．
【解析】因为，所以，
因为，
所以
所以

.
点评:本题主要是进行角的转化，常见的角变换有：
，
，
，
，
,
.

五、函数方程思想
例5.若关于x的方程cos2x－2cosx＋m＝0有实数根，则实数m的取值范围是________.
【解析】原方程可化为m＝－cos2x＋2cosx。
令f(x)＝－cos2x＋2cosx，
则f(x)＝－2cos2x＋1＋2cosx，
由于－1≤cosx≤1，
所以当cosx＝时，f(x)取得最大值，
当cosx＝－1时，f(x)取得最小值－3，
故函数f(x)的值域为，
即m∈.
点评 本题若令cosx＝t，则可通过换元法将原方程化为关于t的一元二次方程，但求解过程将非常繁琐，而通过分离参数，引进函数，便可通过函数的值域较为简单地求得参数m的取值范围.

六、整体代换思想
例6.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
【解析】因为f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
所以f(2 015)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β
＝－(asin α＋bcos β)
＝－3.
即f(2 017)＝－3.故选D.　
点评:本题中字母多，不可能求出每个字母的值，通过f(4)＝3，得到asin α＋bcos β＝3，再计算f(2 017)，用整体代换思想求解快捷.