高一数学必修1,4各章知识点总结.doc

高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
第一节 集合
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1） 列举法：{a,b,c……}
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB，BA
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA
②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC
④ 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型
交 集
并 集
补 集
定 义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
S
A
记作，即
CSA=
韦
恩
图
示

S
A

性

质
AA=A
AΦ=Φ
AB=BA
ABA
ABB
AA=A
AΦ=A
AB=BA
ABＡ
ABB
(CuA) (CuB)
= Cu (AB)
(CuA) (CuB)
= Cu(AB)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ．

例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c }的真子集共有 个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .
4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

第二节 函数及其表示
二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法 　　(2)配方法　　　(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2) 画法
描点法：　　　图象变换法
常用变换方法有三种
平移变换　　　伸缩变换　　　　对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．

5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(２)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴ ⑵
2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _
3.若函数的定义域为，则函数的定义域是
4.函数 ，若，则=
5.求下列函数的值域：
⑴ ⑵
(3) (4)

第三节 函数的基本性质
一．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
任取x1，x2∈D，且x1<x2；
作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
2．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
3、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例题：
1.已知函数，求函数，的解析式
2.已知函数满足，则= 。
3.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=
在R上的解析式为
4.求下列函数的单调区间：
⑴ ⑵ ⑶
5.判断函数的单调性并证明你的结论．
6.设函数判断它的奇偶性并且求证：．

第二章 基本初等函数
第一节 指数函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．
u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
当是奇数时，，当是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
，
u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）· ；
（2） ；
（3） ．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1

定义域 R
定义域 R
值域y＞0
值域y＞0
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1）
函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；

第二节 对数函数
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）
说明： 注意底数的限制，且；

；
注意对数的书写格式．
两个重要对数：
常用对数：以10为底的对数；
自然对数：以无理数为底的对数的对数．
u 指数式与对数式的互化

幂值 真数

＝ N＝ b

底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果，且，，，那么：
·＋；
－；
．

注意：换底公式
（，且；，且；）．
利用换底公式推导下面的结论
（1）；（2）．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
对数函数对底数的限制：，且．

2、对数函数的性质：
a>1
0<a<1

定义域x＞0
定义域x＞0
值域为R
值域为R
在R上递增
在R上递减
函数图象都过定点（1，0）
函数图象都过定点（1，0）

第三节 幂函数
（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
例题：
1. 已知a>0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是　　　　　　 (　 )

2.计算： ① ;②= ；= ;
③ =
3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为
4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=
5.已知，（1）求的定义域（2）求使的的取值范围
第三章 函数的应用

第一节 函数与方程

一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、函数零点的求法：
（代数法）求方程的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数．
（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

第二节 函数模型及其函数

1.函数的模型
收集数据
画散点图
选择函数模型
求函数模型
用函数模型解释实际问题
符合实际
不符合实际

检验

高中数学必修4知识点总结

第一章 三角函数（初等函数二）
第一节 任意角和弧度制

1 任意角

2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角终边相同的角的集合为
4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．

2 弧度制
1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．
2、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．
3、弧度制与角度制的换算公式：，，．
4、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．

第二节 任意角的三角函数
1、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．
Pv
x
y
A
O
M
T
2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
3、三角函数线：，，．
4、 同角三角函数的基本关系：
； ．

第三节 三角函数的诱导公式
1、三角函数的诱导公式：
，，．
，，．
，，．
，，．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
，．
，．
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

第四节 三角函数的图像与性质
1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

2、正弦函数、余弦函数的性质：
（1）定义域：都是R。
（2）值域：都是，对，当时，取最大值1；当时，取最小值－1；对，当时，取最大值1，当时，取最小值－1。
3、正弦、余弦、正切函数的图像和性质

定义域
R
R

值域

R
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数

14、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
函数的性质：
①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．
函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，．
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

图象

定义域

值域

最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在

上是减函数．
在上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴

第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为的向量．
单位向量：长度等于个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：．
⑷运算性质：①交换律：；
②结合律：；
③．
⑸坐标运算：设，，则．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设，，则．
设、两点的坐标分别为，，则．
19、向量数乘运算：
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．
⑵运算律：①；②；③．
⑶坐标运算：设，则．
20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
设，，其中，则当且仅当时，向量、共线
21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．

23、平面向量的数量积：
⑴．零向量与任一向量的数量积为．
⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．
⑶运算律：①；②；③．
⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．
若，则，或．
设，，则．
设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸（）；
⑹（）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵（，）．
⑶．
26、，其中．