方法技巧专题六 中点联想训练.doc

方法技巧专题六　中点联想训练
1．与中点有关的定理
(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
(2)等腰三角形“三线合一”的性质．
(3)三角形的中位线定理．
(4)垂径定理及其推论．
2．与中点有关的辅助线
(1)构造三角形的中位线，如连结三角形两边的中点；取一边的中点，然后与另一边的中点相连结；过三角形一边的中点作另一边的平行线等等．
(2)延长角平分线的垂线，构造等腰三角形的“三线合一”．
(3)把三角形的中线延长一倍，构造平行四边形．
一、选择题
1．[2017·宜昌] 如图F6－1，要测定被池塘隔开的A、B两点的距离．可以在AB外选一点C，连结AC，BC，并分别找出它们的中点D、E，连结DE.现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(　　)
A．50 m B．48 m
C．45 m D．35 m

图F6－1

2．[2017·株洲] 如图F6－2，点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是(　　)

图F6－2
A．一定不是平行四边形
B．一定不会是中心对称图形
C．可能是轴对称图形
D．当AC＝BD时，它为矩形
3．[2017·湖州] 如图F6－3，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于(　　)
A．1 B.
C. D．2

图F6－3

4．如图F6－4，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是(　　)

图F6－4
A．2.5 B.
C. D．2
5．如图F6－5，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC.若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝(　　)

图F6－5
A. B.
C. D.
二、填空题
6．[2017·巴中] 如图F6－6，在△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC＝________．

图F6－6

7．[2017·宁夏] 如图F6－7在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝DM.当AM⊥BM时，BC的长为________．

图F6－7
8．[2017·天津] 如图F6－8，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连结PG，则PG的长为________．

图F6－8

9．如图F6－9，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ACE＝∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F.若BC＝2，则EF的长为________．

图F6－9
三、解答题
10．[2017·徐州] 如图F6－10，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连结DO并延长，交AB的延长线于点E.连结BD，EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形．

图F6－10

11．[2017·成都] 如图F6－11，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连结DE交线段OA于点F.
(1)求证：DH是⊙O的切线；
(2)若A为EH的中点，求的值；
(3)若EA＝EF＝1，求⊙O的半径．

图F6－11

12．[2016·舟山] 如图F6－12①，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：

(1)如图②，将图①中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；
(2)如图③，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；
(3)在(2)的条件下求出正方形CFGH的边长．

图F6－12

参考答案
1．B　2.C　3.A　4.B
5．B　[解析] 延长GP交DC于点H，则△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD.∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD＝CB，GF＝GB，∴CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形，∴PG⊥PC.∵∠ABC＝60°，∴∠GCP＝∠BCD＝60°.∴＝.故选B.
6．1∶4　7.8　

8.　[解析] 如图，延长GE交AB于点N，过点P作PM⊥GN于M.由正方形的性质可知AN＝AB－BN＝AB－EF＝2，NE＝GN－GE＝BC－FC＝2.根据点P是AE的中点及PM∥AN，可得PM为△ANE的中位线，所以ME＝NE＝1，PM＝AN＝1，因此MG＝2.根据勾股定理可得PG＝＝.

9.－1　[解析] 如图，BD＝DC＝1，AF＝CF＝2，FD＝.过点F作FG∥BC交AB于点G，则＝，∴GF＝2(2－)．由＝，得EF＝－1.

10．解：(1)证明：∵平行四边形ABCD，∴AE∥DC，
∴∠EBO＝∠DCO，∠BEO＝∠CDO，
∵点O是边BC的中点，∴BO＝CO，
∴△EBO≌△DCO(AAS)，∴EO＝DO，
∴四边形BECD是平行四边形．
(2)若四边形BECD为矩形，则BC＝DE，BD⊥AE，又AD＝BC，∴AD＝DE.
根据等腰三角形的性质，可知∠ADB＝∠EDB＝40°，故∠BOD＝180°－∠ADE＝100°.
11．解：(1)证明：连结OD，如图，

∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是⊙O的切线．
(2)∵∠E＝∠B，∠B＝∠C，∴∠E＝∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
又∵DH⊥AC，点A是EH中点，
∴设AE＝x，则EC＝4x，AC＝3x，
连结AD，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
又∵△ABC是等腰三角形，∴D是BC中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，OD＝AC＝x，∴∠E＝∠ODF.
在△AEF和△ODF中，
∴△AEF∽△ODF，∴＝，
∵＝＝，∴＝.
(3)设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，
∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，
又∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，
则∠FOD＝∠EFA＝∠OFD，
∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF＋EF＝r＋1，
∴BD＝CD＝DE＝r＋1，
∵∠BDE＝∠EAB，
∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，
∴BF＝BD＝1＋r，
∴AF＝AB－BF＝2OB－BF＝2r－(1＋r)＝r－1.
在△BFD与△EFA中，
∴△BFD∽△EFA，
∴＝，∴＝，
解得r1＝，r2＝(舍去)．
∴⊙O的半径为.
12.

解：(1)证明：如图，连结BD，
∵C，H是AB，DA的中点，
∴CH是△ABD的中位线，
∴CH∥BD，CH＝BD，
同理FG∥BD，FG＝BD，
∴CH∥FG，CH＝FG，
∴四边形CFGH是平行四边形．
(2)如图所示．

(3)∵BD＝，
∴FG＝BD＝，
∴正方形CFGH的边长是.