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小专题(一)　反比例函数与一次函数图象的综合题
——教材P21复习题T8的变式与应用
教材母题：已知反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点(2，4)，求这个反比例函数的表达式，并在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象．
【解答】　将(2，4)代入反比例函数y＝中，得k＝2×4＝8，∴反比例函数的表达式为y＝.
在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象如下：

【方法归纳】　解反比例函数与一次函数的综合题，常用方法如下：
(1)已知反比例函数和一次函数的图象经过某一点，求反比例函数和一次函数的表达式，解这类题的方法常从反比例函数入手，先求出反比例函数的表达式，再求出另一个交点的坐标，最后利用待定系数法求一次函数的表达式；
(2)求反比例函数与一次函数的交点坐标，解这类题的方法是将两个函数表达式联立得方程组，求得方程组的解即为交点坐标．
变式训练：
1．(常德中考)如图，直线AB与坐标轴分别交于A(－2，0)，B(0，1)两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4，n)，求一次函数和反比例函数的表达式．

解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，反比例函数的表达式为y＝.
把A(－2，0)，B(0，1)代入y＝kx＋b中，得解得
∴一次函数的表达式为y＝x＋1.
把C(4，n)代入y＝x＋1中，得n＝3.
∴点C的坐标为(4，3)．
把C(4，3)代入y＝中，得m＝12.
∴反比例函数的表达式为y＝.

2．(郴州中考)如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点M，作MN⊥x轴，N为垂足，且ON＝1.

(1)在第一象限内，当x取何值时，y1＞y2？(根据图象直接写出结果)
(2)求反比例函数的表达式．
解：(1)当x＞1时，y1＞y2.
(2)把x＝1代入y1＝x＋1中，得y＝2.
∴M点的坐标为(1，2)．
把M(1，2)代入y2＝中，得k＝2.
∴反比例函数的表达式为y2＝.
3．如图，反比例函数y＝的图象与直线y＝x－2交于点A，且A点纵坐标为1.

(1)求反比例函数的表达式；
(2)当y＞1时，求x的取值范围．
解：(1)把y＝1代入y＝x－2中，
得x＝3.
∴点A的坐标为(3，1)．
把点A(3，1)代入y＝中 ，得k＝3.
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)∵当x<0时，y<0，当x＞0时，反比例函数y＝的函数值y随x的增大而减小，把y＝1代入y＝中，得x＝3，
∴当y＞1时，x的取值范围为0＜x＜3.
4．(襄阳中考)如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点．
(1)m＝4，n＝1．若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数图象上的两点，且0＜x1＜x2，则y1＞y2(填“＜”“＝”或“＞”)；
(2)若线段CD上的点P到x轴，y轴的距离相等，求点P的坐标．

解：∵直线y＝ax＋b经过点A(1，4)，B(4，1)，
∴解得
∴y＝－x＋5.
当x＝y时，x＝－x＋5，
解得x＝.
∴P(，)．

5．(自贡中考)如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝的图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)观察图象，直接写出方程kx＋b－＝0的解；
(3)求△AOB的面积．
解：(1)∵B(2，－4)在双曲线y＝上，∴m＝－8.
∴反比例函数的表达式为y＝－.
∵A(－4，n)在y＝－上，∴n＝2.∴A(－4，2)．
∵直线y＝kx＋b经过A(－4，2)，B(2，－4)，
∴解得
∴一次函数的表达式为y＝－x－2.
(2)x1＝－4，x2＝2.
(3)设一次函数的图象与y轴的交点为C.
∵当x＝0时，y＝－2，∴C(0，－2)．∴OC＝2.
∴S△AOB＝S△ACO＋S△BCO＝×2×4＋×2×2＝6.

6．(威海中考)如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为(2，6)，点B的坐标为(n，1)．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．
解：(1)把点A(2，6)代入y＝，得m＝12.
则反比例函数的表达式为y＝.
把点B(n，1)代入y＝，得n＝12.
则点B的坐标为(12，1)．
由直线y＝kx＋b过点A(2，6)，B(12，1)，得解得
则一次函数的表达式为y＝－x＋7.
(2)设直线AB与y轴的交点为P，点E的坐标为(0，t)，连接AE，BE，则点P的坐标为(0，7)．
∴PE＝|t－7|.
∵S△AEB＝S△BEP－S△AEP＝5，
∴×|t－7|×(12－2)＝5.
∴|t－7|＝1.
解得t1＝6，t2＝8.
∴点E的坐标为(0，6)或(0，8)．